VnDoc.com

Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Tập xác định của hàm số lượng giác

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tập xác định của hàm số lượng giác

I. Tóm tắt lí thuyết của hàm số lượng giác cơ bản
II. Phương pháp tìm tập xác định của hàm số lượng giác
III. Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số lượng giác
IV. Bài tập tự luyện

Trong các chuyên đề Toán học THPT, việc tìm tập xác định của hàm số lượng giác luôn giữ vai trò quan trọng bởi đây là bước đầu tiên để hiểu đúng bản chất của biểu thức lượng giác, đồng thời đảm bảo quá trình biến đổi và giải toán không rơi vào các trường hợp sai lệch. Mỗi hàm số sin, cos, tan, cot đều có giới hạn xác định riêng, xuất phát từ tính chất tuần hoàn và miền giá trị đặc trưng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một hệ thống phương pháp đầy đủ để xác định tập xác định của các biểu thức lượng giác từ đơn giản đến phức tạp, kèm theo các lưu ý thường gặp giúp bạn tránh sai sót khi xử lý những bài toán khó. Nhờ đó, bạn có thể nhanh chóng làm chủ chủ đề này và áp dụng hiệu quả trong các kỳ kiểm tra, thi học kỳ trong chương trình Toán 11.

Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số lượng giác

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Tóm tắt lí thuyết của hàm số lượng giác cơ bản

1. Hàm số y = sinx

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ $D=\mathbb{R}$
Tập giá trị [-1; 1] hay $-1\le \operatorname{sinx}\le 1,\forall x\in \mathbb{R}$ $-1\le \operatorname{sinx}\le 1,\forall x\in \mathbb{R}$
Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$ $T=2\pi$
Hàm số $y=\sin{x}$ $y=\sin{x}$ là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
Hàm số đồng biến trên khoảng _{$\begin{pmatrix} -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, \dfrac{\pi}{2}+k2\pi\end{pmatrix}$} và nghịch biến trên mỗi khoảng _{$\begin{pmatrix} \dfrac{\pi}{2}+k2\pi, \dfrac{3\pi}{2}+k2\pi\end{pmatrix}$}

2. Hàm số y = cosx

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ $D=\mathbb{R}$
Tập giá trị [-1; 1] hay _{$-1\le \operatorname{cosx}\le 1,\forall x\in \mathbb{R}$}
Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì _$T=2\pi$
Hàm số _{$y=\cos{x}$} là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng
Hàm số _{$y=\cos{x}$} nghịch biến trên các khoảng _{$\begin{pmatrix} k2\pi, \pi+k2\pi\end{pmatrix}$}, đồng biến trên các khoảng _{$\begin{pmatrix} -\pi+k2\pi, k2\pi\end{pmatrix}$}

3. Hàm số y = tanx

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \left \{ \dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z} \right \}$ $D=\mathbb{R}\setminus \left \{ \dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z} \right \}$
Tập giá trị: $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$
Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì $T=\pi$ $T=\pi$
Hàm số là hàm số lẻ
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng _{$\begin{pmatrix} -\dfrac{\pi}{2}+k\pi, \dfrac{\pi}{2}+k\pi\end{pmatrix}$}
Đồ thị nhận mỗi đường thẳng $x= \dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ $x= \dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ là một đường tiệm cận

4. Hàm số y = cotx

Tập xác định: _{$D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$}
Tập giá trị: $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$
Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì $T=\pi$ $T=\pi$
Là hàm số lẻ
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng _{$\begin{pmatrix} k\pi, \pi+k\pi\end{pmatrix}$}
Đồ thị nhận mỗi đường thẳng _{$x=k\pi,k\in\setminus\mathbb{Z}$} là đường tiệm cận

II. Cách tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Hàm số _{$y=\sqrt{f(x)}$} có nghĩa khi và chỉ khi _{$f(x)\geq0$} và _$f(x)$ tồn tại
Hàm số _{$y=\dfrac{1}{f(x)}$} có nghĩa khi và chỉ khi _{$f(x)\neq0$} và _$f(x)$ tồn tại

$\sin{u(x)}\neq0\Leftrightarrow u(x)\equiv k\pi,k\in\mathbb{Z}$ $\sin{u(x)}\neq0\Leftrightarrow u(x)\equiv k\pi,k\in\mathbb{Z}$

$\cos{x}\neq0\Leftrightarrow u(x)\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$ $\cos{x}\neq0\Leftrightarrow u(x)\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$

III. Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số: $y=\tan \left( x-\frac{\pi }{6} \right)$ $y=\tan \left( x-\frac{\pi }{6} \right)$

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{2\pi }{3}+k\pi \right\}\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{2\pi }{3}+k\pi \right\}\left( k\in \mathbb{Z} \right)$

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{\sin 2x}$ $y=\frac{1}{\sin 2x}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $\sin2x\neq0\Leftrightarrow 2x \neq k\pi \Leftrightarrow x \neq \dfrac{k \pi}{2},(k \in \mathbb{Z})$ $\sin2x\neq0\Leftrightarrow 2x \neq k\pi \Leftrightarrow x \neq \dfrac{k \pi}{2},(k \in \mathbb{Z})$

Ví dụ 3: Tìm tập xác định của hàm số $y=\sqrt{3-\cos x}+\sqrt{1+\cos x}$ $y=\sqrt{3-\cos x}+\sqrt{1+\cos x}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện:

$\left\{ \begin{matrix} 3-\cos x\ge 0 \\ 1+\cos x\ge 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \cos x\le 3 \\ \cos x\ge -1 \\ \end{matrix}\right.$ $\left\{ \begin{matrix} 3-\cos x\ge 0 \\ 1+\cos x\ge 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \cos x\le 3 \\ \cos x\ge -1 \\ \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \cos x\le 1 \\ \cos x\ge -1 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow x\in \mathbb{R} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \cos x\le 1 \\ \cos x\ge -1 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow x\in \mathbb{R} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$

Vậy tập xác định của hàm số $D=\mathbb{R}$ $D=\mathbb{R}$

Ví dụ 4: Tìm điều kiện của hàm số $y=\frac{3\sqrt{\sin x}}{\cos x+1}$ $y=\frac{3\sqrt{\sin x}}{\cos x+1}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định:

$\left\{ \begin{matrix} \sin x\ge 0 \\ \cos x+1\ne 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge k\pi \\ x\ne \pi +k2\pi \\ \end{matrix} \right. \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ $\left\{ \begin{matrix} \sin x\ge 0 \\ \cos x+1\ne 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge k\pi \\ x\ne \pi +k2\pi \\ \end{matrix} \right. \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$

Ví dụ 5: Tìm điều kiện của hàm số $y=\cot 2a+2\cos a+3$ $y=\cot 2a+2\cos a+3$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định:

$\sin 2a\ne 0\Leftrightarrow 2a\ne k\pi \Leftrightarrow a\ne \frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$ $\sin 2a\ne 0\Leftrightarrow 2a\ne k\pi \Leftrightarrow a\ne \frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$

Ví dụ 6: Tìm điều kiện của hàm số $y=\frac{1}{\cos \left( x+\frac{\pi }{2} \right)}$ $y=\frac{1}{\cos \left( x+\frac{\pi }{2} \right)}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định:

$\cos \left( x+\frac{\pi }{2} \right)\ne 0\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{2}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$ $\cos \left( x+\frac{\pi }{2} \right)\ne 0\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{2}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$

Ví dụ 7: Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{1+\sin 2x}{\cos 3x-1}$ $y=\frac{1+\sin 2x}{\cos 3x-1}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện:

$\cos 3x-1\ne 0\Leftrightarrow \cos 3x\ne 1\Leftrightarrow 3x\ne k2\pi \Leftrightarrow x\ne \frac{k2\pi }{3}$ $\cos 3x-1\ne 0\Leftrightarrow \cos 3x\ne 1\Leftrightarrow 3x\ne k2\pi \Leftrightarrow x\ne \frac{k2\pi }{3}$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{k2\pi }{3} \right\}(k\in \mathbb{Z})$ $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{k2\pi }{3} \right\}(k\in \mathbb{Z})$

Ví dụ 8: Tìm điều kiện xác định của hàm số: $y=\frac{\cot x}{2\sin x-1}$ $y=\frac{\cot x}{2\sin x-1}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định:

$2 \sin x-1\neq 0\Leftrightarrow \sin x\neq \dfrac{1}{2}$ $2 \sin x-1\neq 0\Leftrightarrow \sin x\neq \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{ 6}+k2\pi\\ x=\pi -\dfrac{\pi}{ 6}+k2\pi \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{ 6}+k2\pi\\ x=\pi -\dfrac{\pi}{ 6}+k2\pi \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{ 6}+k2\pi\\ x=\dfrac{5\pi}{ 6}+k2\pi \end{matrix} \right.,(k\in \mathbb{Z})$ $\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{ 6}+k2\pi\\ x=\dfrac{5\pi}{ 6}+k2\pi \end{matrix} \right.,(k\in \mathbb{Z})$

Và $\sin x \neq 0\Leftrightarrow x \neq k\pi,k \in \mathbb{Z}$ $\sin x \neq 0\Leftrightarrow x \neq k\pi,k \in \mathbb{Z}$

Ví dụ 9: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

a._{$y=\sin{(\dfrac{x}{x-2})}$}

b. _{$y=\dfrac{\sin{(x-1)}}{\cos{(x+2)}}$}

c. _{$y=\sqrt{1-cosx}$}

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện xác định của hàm số: $x-2\neq0\Rightarrow x\neq2$ $x-2\neq0\Rightarrow x\neq2$

Vậy tập xác định của hàm số là: _{$D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 2 \right \}$}

b. Điều kiện xác định của hàm số là:

$\cos (x+2) \neq 0\Leftrightarrow x+2 \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow x \neq -2+\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k \in \mathbb{Z}$ $\cos (x+2) \neq 0\Leftrightarrow x+2 \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow x \neq -2+\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k \in \mathbb{Z}$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -2+\dfrac{\pi}{2}+k\pi|k\in \mathbb{Z} \right \}$ $D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -2+\dfrac{\pi}{2}+k\pi|k\in \mathbb{Z} \right \}$

c. Điều kiện xác định của hàm số là: $1-cosx\geq0\Rightarrow x\in\mathbb{R}$ $1-cosx\geq0\Rightarrow x\in\mathbb{R}$

Vậy tập xác định của hàm số: _{$D=\mathbb{R}$}

IV. Bài tập tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Tìm điều kiện xác định của các hàm số lượng giác sau:

$a. y=\cot \left( 1+\frac{\pi }{6} \right)$ $a. y=\cot \left( 1+\frac{\pi }{6} \right)$	$g. y=\sqrt{\cos x}+\sqrt{1-\sin x}$ $g. y=\sqrt{\cos x}+\sqrt{1-\sin x}$
$b. y=\sqrt{1+\tan x}$ $b. y=\sqrt{1+\tan x}$	$h. y=\frac{\sin x}{\sin 5x}$ $h. y=\frac{\sin x}{\sin 5x}$
$c. y=2\cos x-\frac{1}{\cos x}$ $c. y=2\cos x-\frac{1}{\cos x}$	$i. y=\tan x+\tan 2x+1$ $i. y=\tan x+\tan 2x+1$
$d. y=\sqrt{2-{{\cos }^{2}}x}$ $d. y=\sqrt{2-{{\cos }^{2}}x}$	$k. y=\tan (3\pi -8x)$ $k. y=\tan (3\pi -8x)$
$e. y=\tan x-\cot x$ $e. y=\tan x-\cot x$	$l. y={{\cot }^{2}}\left( x+\frac{\pi }{5} \right)$ $l. y={{\cot }^{2}}\left( x+\frac{\pi }{5} \right)$
$f. y=\frac{3(1+\sin x)}{{{\cos }^{2}}x}$ $f. y=\frac{3(1+\sin x)}{{{\cos }^{2}}x}$	$j. y=\tan \left( \frac{\pi }{4}-2x \right)$ $j. y=\tan \left( \frac{\pi }{4}-2x \right)$

------------------------------------------------------------------

Qua những phân tích và phương pháp đã trình bày, việc xác định tập xác định của hàm số lượng giác sẽ trở nên đơn giản và logic hơn rất nhiều. Nắm chắc quy tắc loại trừ các giá trị làm cho biểu thức không xác định chính là chìa khóa giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán lượng giác ở mọi mức độ. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho bạn nền tảng vững chắc để xử lý tốt hơn các dạng toán biến đổi, giải phương trình và khảo sát hàm lượng giác trong chương trình Toán THPT. Đừng quên luyện tập thêm nhiều dạng bài khác nhau để củng cố kỹ năng và rút ra phương pháp cá nhân tối ưu nhất. Chúc bạn học tốt và chinh phục trọn vẹn các bài toán lượng giác!

Tải về

Chọn file muốn tải về: