Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Tìm tập xác định của hàm số lượng giác. Tập xác định của hàm số lượng giác gồm câu hỏi bài tập, ví dụ minh họa có hướng dẫn chi tiết hỗ trợ quá trình ôn luyện cho bạn đọc. Tài liệu được VnDoc biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức Toán 11 hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!

Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số lượng giác

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Tóm tắt lí thuyết của hàm số lượng giác cơ bản

1. Hàm số _{\(y=\operatorname{s}\text{inx}\)}

• Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
• Tập giá trị [-1; 1] hay \(-1\le \operatorname{sinx}\le 1,\forall x\in \mathbb{R}\)
• Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì \(T=2\pi\)
• Hàm số \(y=\sin{x}\) là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
• Hàm số đồng biến trên khoảng _{\(\begin{pmatrix} -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, \dfrac{\pi}{2}+k2\pi\end{pmatrix}\)} và nghịch biến trên mỗi khoảng _{\(\begin{pmatrix} \dfrac{\pi}{2}+k2\pi, \dfrac{3\pi}{2}+k2\pi\end{pmatrix}\)}

2. Hàm số _{\(y=\cos \text{x}\)}

• Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
• Tập giá trị [-1; 1] hay _{\(-1\le \operatorname{cosx}\le 1,\forall x\in \mathbb{R}\)}
• Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì _\(T=2\pi\)
• Hàm số _{\(y=\cos{x}\)} là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng
• Hàm số _{\(y=\cos{x}\)} nghịch biến trên các khoảng _{\(\begin{pmatrix} k2\pi, \pi+k2\pi\end{pmatrix}\)}, đồng biến trên các khoảng _{\(\begin{pmatrix} -\pi+k2\pi, k2\pi\end{pmatrix}\)}

3. Hàm số _{\(y=\tan \text{x}\)}

• Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ \dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z} \right \}\)
• Tập giá trị: \(\mathbb{R}\)
• Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì \(T=\pi\)
• Hàm số là hàm số lẻ
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng _{\(\begin{pmatrix} -\dfrac{\pi}{2}+k\pi, \dfrac{\pi}{2}+k\pi\end{pmatrix}\)}
• Đồ thị nhận mỗi đường thẳng \(x= \dfrac{\pi}{2}+k2\pi\) là một đường tiệm cận

4. Hàm số _{\(y=\cot \text{x}\)}

• Tập xác định: _{\(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}\)}
• Tập giá trị: \(\mathbb{R}\)
• Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì \(T=\pi\)
• Là hàm số lẻ
• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng _{\(\begin{pmatrix} k\pi, \pi+k\pi\end{pmatrix}\)}
• Đồ thị nhận mỗi đường thẳng _{\(x=k\pi,k\in\setminus\mathbb{Z}\)} là đường tiệm cận

II. Phương pháp tìm tập xác định của hàm số lượng giác

• Hàm số _{\(y=\sqrt{f(x)}\)} có nghĩa khi và chỉ khi _{\(f(x)\geq0\)} và _\(f(x)\) tồn tại
• Hàm số _{\(y=\dfrac{1}{f(x)}\)} có nghĩa khi và chỉ khi _{\(f(x)\neq0\)} và _\(f(x)\) tồn tại
• \(\sin{u(x)}\neq0\Leftrightarrow u(x)\equiv k\pi,k\in\mathbb{Z}\)
• \(\cos{x}\neq0\Leftrightarrow u(x)\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)

III. Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số: \(y=\tan \left( x-\frac{\pi }{6} \right)\)

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{2\pi }{3}+k\pi \right\}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số \(y=\frac{1}{\sin 2x}\)

Điều kiện: \(\sin2x\neq0\Leftrightarrow 2x \neq k\pi \Leftrightarrow x \neq \dfrac{k \pi}{2},(k \in \mathbb{Z})\)

Ví dụ 3: Tìm tập xác định của hàm số \(y=\sqrt{3-\cos x}+\sqrt{1+\cos x}\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{matrix} 3-\cos x\ge 0 \\ 1+\cos x\ge 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \cos x\le 3 \\ \cos x\ge -1 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \cos x\le 1 \\ \cos x\ge -1 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow x\in \mathbb{R} \right. \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Vậy tập xác định của hàm số \(D=\mathbb{R}\)

Ví dụ 4: Tìm điều kiện của hàm số \(y=\frac{3\sqrt{\sin x}}{\cos x+1}\)

Điều kiện xác định:

\(\left\{ \begin{matrix} \sin x\ge 0 \\ \cos x+1\ne 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge k\pi \\ x\ne \pi +k2\pi \\ \end{matrix} \right. \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Ví dụ 5: Tìm điều kiện của hàm số \(y=\cot 2a+2\cos a+3\)

Điều kiện xác định:

\(\sin 2a\ne 0\Leftrightarrow 2a\ne k\pi \Leftrightarrow a\ne \frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})\)

Ví dụ 6: Tìm điều kiện của hàm số \(y=\frac{1}{\cos \left( x+\frac{\pi }{2} \right)}\)

Điều kiện xác định:

\(\cos \left( x+\frac{\pi }{2} \right)\ne 0\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{2}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})\)

Ví dụ 7: Tìm tập xác định của hàm số \(y=\frac{1+\sin 2x}{\cos 3x-1}\)

Điều kiện:

\(\cos 3x-1\ne 0\Leftrightarrow \cos 3x\ne 1\Leftrightarrow 3x\ne k2\pi \Leftrightarrow x\ne \frac{k2\pi }{3}\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{k2\pi }{3} \right\}(k\in \mathbb{Z})\)

Ví dụ 8: Tìm điều kiện xác định của hàm số: \(y=\frac{\cot x}{2\sin x-1}\)

Điều kiện xác định:

• \(2 \sin x-1\neq 0\Leftrightarrow \sin x\neq \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{ 6}+k2\pi\\ x=\pi -\dfrac{\pi}{ 6}+k2\pi \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{ 6}+k2\pi\\ x=\dfrac{5\pi}{ 6}+k2\pi \end{matrix} \right.,(k\in \mathbb{Z})\)
• \(\sin x \neq 0\Leftrightarrow x \neq k\pi,k \in \mathbb{Z}\)

Ví dụ 9: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

a.\(y=\sin{(\dfrac{x}{x-2})}\)

b. \(y=\dfrac{\sin{(x-1)}}{\cos{(x+2)}}\)

c. \(y=\sqrt{1-cosx}\)

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện xác định của hàm số: \(x-2\neq0\Rightarrow x\neq2\)

Vậy tập xác định của hàm số là: _{\(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 2 \right \}\)}

b. Điều kiện xác định của hàm số là:

\(\cos (x+2) \neq 0\Leftrightarrow x+2 \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow x \neq -2+\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -2+\dfrac{\pi}{2}+k\pi|k\in \mathbb{Z} \right \}\)

c. Điều kiện xác định của hàm số là: \(1-cosx\geq0\Rightarrow x\in\mathbb{R}\)

Vậy tập xác định của hàm số: _{\(D=\mathbb{R}\)}

IV. Bài tập tự luyện

Tìm điều kiện xác định của các hàm số lượng giác sau:

\(a. y=\cot \left( 1+\frac{\pi }{6} \right)\)	\(g. y=\sqrt{\cos x}+\sqrt{1-\sin x}\)
\(b. y=\sqrt{1+\tan x}\)	\(h. y=\frac{\sin x}{\sin 5x}\)
\(c. y=2\cos x-\frac{1}{\cos x}\)	\(i. y=\tan x+\tan 2x+1\)
\(d. y=\sqrt{2-{{\cos }^{2}}x}\)	\(k. y=\tan (3\pi -8x)\)
\(e. y=\tan x-\cot x\)	\(l. y={{\cot }^{2}}\left( x+\frac{\pi }{5} \right)\)
\(f. y=\frac{3(1+\sin x)}{{{\cos }^{2}}x}\)	\(j. y=\tan \left( \frac{\pi }{4}-2x \right)\)

Trên đây VnDoc đã chia sẻ đến các bạn học sinh Tập xác định của hàm số lượng giác.

Mời các bạn tham khảo thêm một số tài liệu liên quan về tập xác định của hàm số lượng giác được VnDoc.com biên soạn và tổng hợp sau:

• Trắc nghiệm tìm tập xác định của hàm số
• Cách giải các dạng bài tập lượng giác lớp 10
• Tính chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác
• Trắc nghiệm tính chẵn lẻ và chu kì của hàm số lượng giác