Cách tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Số trung bình là một trong những đại lượng thống kê cơ bản, giúp mô tả xu hướng trung tâm của một tập dữ liệu. Trong chương trình Toán lớp 10, việc tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là nội dung quan trọng, thường xuất hiện trong bài kiểm tra và đề thi. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tính số trung bình ghép nhóm, đưa ra công thức, bài tập minh họa có lời giải, giúp bạn nắm chắc kiến thức và áp dụng hiệu quả vào thực tế học tập.

A. Công thức tính số trung bình cộng (số trung bình)

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là đại lượng thống kê dùng để biểu diễn giá trị trung tâm của một tập dữ liệu đã được chia thành các nhóm (lớp). Chỉ số này giúp đánh giá xu hướng chung của dữ liệu và được sử dụng nhiều trong chương Thống kê của Toán 11.

Để tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, cần xác định giá trị đại diện của từng nhóm, nhân với tần số tương ứng, cộng tất cả các tích thu được rồi chia cho tổng tần số của mẫu. Đây là phương pháp chuẩn trong chương trình Toán 11.

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng dưới đây:

Trung điểm \(x_{i}\) của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm \(i\) là giá trị đại diện của nhóm đó.

Cách xác định giá trị đại diện của mẫu số liệu

Giá trị đại diện của một nhóm thường được lấy bằng trung điểm của khoảng lớp. Việc xác định đúng giá trị đại diện là bước quan trọng để tính chính xác số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

Ý nghĩa của số trung bình

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm có thể làm đại diện cho vị trí trung tâm của mẫu số liệu đó khi các số liệu trong mẫu ít sai lệch với số trung bình cộng.

B. Bài tập tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1. Kết quả cự li ném bóng của học sinh lớp 12 được thống kê lại ở bảng sau:

Cự li (m)	[19; 19,5)	[19,5; 20)	[20; 20,5)	[20,5; 21)	[21; 21,5)
Số học sinh	13	45	24	12	6

Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Cự li (m)	[19; 19,5)	[19,5; 20)	[20; 20,5)	[20,5; 21)	[21; 21,5)
Giá trị đại diện	19,25	19,75	20,25	20,75	21,25
Số học sinh	13	45	24	12	6

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là: 

\(\overline{x} = \frac{19,25.13 + 19,75.45 + 20,25.24 + 20,75.12 + 21,25.6}{100} = 20,015\)

Bài 2. Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:

Doanh thu	[5; 7)	[7; 9)	[9; 11)	[11; 13)	[13; 15)
Số ngày	2	7	7	3	1

Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. [7; 9)                               B. [9; 11)

C. [11; 13)                            D. [13; 15)

Hướng dẫn giải

Ta có:

Doanh thu	[5; 7)	[7; 9)	[9; 11)	[11; 13)	[13; 15)
Giá trị đại diện	6	8	10	12	14
Số ngày	2	7	7	3	1

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

\(\overline{x} = \frac{2.6 + 7.8 + 7.10 + 3.12 + 1.14}{20} = 9,4 \in \lbrack 9;11)\)

Bài 3. Dưới đây là sự phân bố một nhóm người theo mức thu nhập khác nhau:

Thu nhập (triệu đồng)	[0; 8)	[8; 16)	[16; 24)	[24; 32)	[32; 40)	[40; 48)
Số người	8	7	16	24	15	7

Tính mức thu nhập trung bình của nhóm người.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Mức thu nhập	\(f_{i}\)	\(x_{i}\)	\(f_{i}x_{i}\)
[0; 8)	8	4	32
[8; 16)	7	12	84
[16; 24)	16	20	320
[24; 32)	24	28	672
[32; 40)	15	36	540
[40; 48)	7	44	308
	N = 77		1956

Mức thu nhập trung bình của nhóm người là: \(\overline{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{f_{i}x_{i}}}{N} = \frac{1956}{77} = 25,04\)

Bài 4. Tính số tuổi trung bình của những người trong khu vực thể hiện dưới bảng số liệu sau đây:

Nhóm tuổi	Số lượng người
[0; 10)	6
[10; 20)	12
[20; 30)	10
[30; 40)	32
[40; 50)	22
[50; 60)	18
[60; 70)	15
[70; 80)	5
[80; 90)	4
[90; 100)	3

Hướng dẫn giải

Trong mỗi nhóm tuổi, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Nhóm tuổi	Số lượng người
5	6
15	12
25	10
35	32
45	22
55	18
65	15
75	5
85	4
95	3
	N = 127

Tuổi trung bình là:

\(\overline{x} = \frac{5.6 + 15.12 + 25.10 + 35.32 + 45.22 + 55.18 + 65.15 + 75.5 + 85.4 + 95.3}{127}\)

\(\overline{x} = \frac{5535}{127} \approx 44\).

----------------------------------------------

FAQ

Bài tập về số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm thường có những dạng nào?

Các dạng bài phổ biến gồm tính số trung bình từ bảng tần số ghép nhóm, so sánh số trung bình của nhiều mẫu dữ liệu, phân tích bảng thống kê và vận dụng vào các bài toán thực tế về điểm số, chiều cao, cân nặng hoặc doanh thu.

Những lỗi nào học sinh thường gặp khi giải bài tập về mẫu số liệu ghép nhóm?

Một số lỗi thường gặp là lấy sai trung điểm của khoảng lớp, nhầm tần số, quên chia cho tổng số phần tử hoặc tính toán không chính xác. Việc trình bày đầy đủ từng bước sẽ giúp hạn chế những sai sót này.

Làm thế nào để học tốt chuyên đề mẫu số liệu ghép nhóm trong Toán 11?

Học sinh nên hiểu bản chất của từng đại lượng thống kê, luyện tập nhiều dạng bài với bảng số liệu khác nhau và kết hợp kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay khi cần thiết. Việc ôn tập theo chuyên đề sẽ giúp ghi nhớ công thức và nâng cao kỹ năng xử lý số liệu.

------------------------------------

Qua bài viết, bạn đã nắm vững cách tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm một cách dễ hiểu và có hệ thống. Để học tốt hơn, hãy luyện tập thêm các bài tập có lời giải và ghi nhớ công thức để vận dụng linh hoạt trong các đề thi. Nếu thấy nội dung hữu ích, hãy chia sẻ với bạn bè và lưu lại làm tài liệu ôn tập Toán lớp 10 nhé!