VnDoc.com

Chuyên đề Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Giải phương trình lượng giác Toán 11

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Trung bình

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách giải phương trình bậc hai lượng giác

A. Câu hỏi trắc nghiệm Phương trình lượng giác bậc hai
B. Đáp án Bài tập Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Trong chương trình Toán 11, chuyên đề phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là một phần kiến thức quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác ở mức độ nâng cao. Bài viết này sẽ hệ thống lại các phương pháp giải, đưa ra ví dụ minh họa chi tiết và mẹo làm bài hiệu quả. Cùng khám phá cách tiếp cận tối ưu nhất để giải các bài toán dạng này trong kỳ thi học kỳ và ôn thi THPT Quốc gia.

Tài liệu bao gồm: Đề bài + Hướng dẫn giải chi tiết bài tập

A. Câu hỏi trắc nghiệm Phương trình lượng giác bậc hai

Dạng 1.1 Không cần biến đổi

Câu 1. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình $4cos^{2}x - 4cosx - 3 = 0$ $4cos^{2}x - 4cosx - 3 = 0$ trên đường tròn lượng giác là?

A. $2$. B. $0$. C. $1$. D. $4$.

Câu 2. Phương trình $cos^{2}2x + cos2x - \frac{3}{4} = 0$ $cos^{2}2x + cos2x - \frac{3}{4} = 0$ có nghiệm là:

A. $x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi$ $x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi$. B. $x = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi$ $x = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi$.

C. $x = \pm \frac{2\pi}{3} + k\pi$ $x = \pm \frac{2\pi}{3} + k\pi$. D. $x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi$ $x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi$.

Câu 3. Nghiệm của phương trình $2sin^{2}x - 5sinx - 3 = 0$ $2sin^{2}x - 5sinx - 3 = 0$ là:

A. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi;x = \pi + k2\pi$ $x = \frac{\pi}{2} + k\pi;x = \pi + k2\pi$. B. $x = \frac{\pi}{4} + k2\pi;x = \frac{5\pi}{4} + k2\pi$ $x = \frac{\pi}{4} + k2\pi;x = \frac{5\pi}{4} + k2\pi$.

C. $x = - \frac{\pi}{6} + k2\pi;x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi$ $x = - \frac{\pi}{6} + k2\pi;x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi$. D. $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi;x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$ $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi;x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$.

Câu 4. Nghiệm của phương trình $sin^{2}x = - sinx + 2$ $sin^{2}x = - sinx + 2$ là:

A. $x = k\pi$ $x = k\pi$. B. $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$ $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$.

C. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. D. $x = \frac{- \pi}{2} + k2\pi$ $x = \frac{- \pi}{2} + k2\pi$.

Câu 5. Nghiệm của phương trình $2cos^{2}x - 3cosx + 1 = 0$ $2cos^{2}x - 3cosx + 1 = 0$ là:

A. $x = k2\pi;x = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi$ $x = k2\pi;x = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi$. B. $x = - \pi + k2\pi;x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi$ $x = - \pi + k2\pi;x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi$.

C. $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi;x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi;x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$. D. $x = k2\pi;x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi$ $x = k2\pi;x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi$.

Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai

Câu 9. Nghiệm của phương trình $sin^{4}x + cos^{4}x + \cos\left( x - \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin\left( 3x - \frac{\pi}{4} \right) - \frac{3}{2} = 0$ $sin^{4}x + cos^{4}x + \cos\left( x - \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin\left( 3x - \frac{\pi}{4} \right) - \frac{3}{2} = 0$ là

A. $x = \frac{\pi}{3} + k\pi,k\mathbb{\in Z}$ $x = \frac{\pi}{3} + k\pi,k\mathbb{\in Z}$. B. $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}$ $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}$.

C. $x = \frac{\pi}{4} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}$ $x = \frac{\pi}{4} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}$. D. $x = \frac{\pi}{4} + k\pi,k\mathbb{\in Z}$ $x = \frac{\pi}{4} + k\pi,k\mathbb{\in Z}$

Câu 10. Cho phương trình $2cos2x - \cos x + 1 = 0$ $2cos2x - \cos x + 1 = 0$. Khi đặt $t = \cos x$ $t = \cos x$, ta được phương trình nào dưới đây?

A. $2t^{2} + t + 1 = 0$ $2t^{2} + t + 1 = 0$ B. $t + 1 = 0$

C. $- 4t^{2} - t + 3 = 0$ $- 4t^{2} - t + 3 = 0$ D. $4t^{2} - t - 1 = 0$ $4t^{2} - t - 1 = 0$

Câu 11. Phương trình $cos2x + 5sinx - 4 = 0$ có nghiệm là

A. $\frac{\pi}{2} + k2\pi$ $\frac{\pi}{2} + k2\pi$. B. $\frac{\pi}{2} + k\pi$ $\frac{\pi}{2} + k\pi$. C. $k\pi$ $k\pi$. D. $\pm \frac{\pi}{4} + k2\pi$ $\pm \frac{\pi}{4} + k2\pi$

Câu 12. Tìm nghiệm của phương trình $\cos 2x - 2sinx = - 3$ $\cos 2x - 2sinx = - 3$?

A. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\ \ k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\ \ k \in \mathbb{Z}$. B. $x = \pm \frac{\pi}{2} + k\pi,\ \ k \in \mathbb{Z}$ $x = \pm \frac{\pi}{2} + k\pi,\ \ k \in \mathbb{Z}$.

C. $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi,\ \ k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi,\ \ k \in \mathbb{Z}$. D. $x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi,\ \ k \in \mathbb{Z}$ $x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi,\ \ k \in \mathbb{Z}$.

Câu 13. Cho phương trình $cos2x + \sin x + 2 = 0$ $cos2x + \sin x + 2 = 0$. Khi đặt $t = \sin x$ $t = \sin x$, ta được phương trình nào dưới đây.

A. $2t^{2} + t + 1 = 0$ $2t^{2} + t + 1 = 0$. B. $t + 1 = 0$.

C. $- 2t^{2} + t + 3 = 0$ $- 2t^{2} + t + 3 = 0$. D. $- 2t^{2} + t + 2 = 0$ $- 2t^{2} + t + 2 = 0$.

Câu 14. Giải phương trình $3sin^{2}x - 2cosx + 2 = 0$ $3sin^{2}x - 2cosx + 2 = 0$.

A. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z}$ $x = \frac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z}$. B. $x = k\pi,k\mathbb{\in Z}$ $x = k\pi,k\mathbb{\in Z}$.

C. $x = k2\pi,k\mathbb{\in Z}$ $x = k2\pi,k\mathbb{\in Z}$. D. $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}$ $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}$.

Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm

Câu 19. Nghiệm của phương trình $2sin^{2}x - 3sinx + 1 = 0$ $2sin^{2}x - 3sinx + 1 = 0$ thỏa điều kiện: $0 \leq x < \frac{\pi}{2}$ $0 \leq x < \frac{\pi}{2}$.

A. $x = - \frac{\pi}{2}$ $x = - \frac{\pi}{2}$. B. $x = \frac{\pi}{6}$ $x = \frac{\pi}{6}$. C. $x = \frac{\pi}{4}$ $x = \frac{\pi}{4}$. D. $x = \frac{\pi}{2}$ $x = \frac{\pi}{2}$.

Câu 20. Tìm nghiệm của phương trình lượng giác $cos^{2}x - \cos x = 0$ $cos^{2}x - \cos x = 0$ thỏa mãn điều kiện $0 < x < \pi$ $0 < x < \pi$.

A. $x = \pi$ $x = \pi$. B. $x = \frac{\pi}{4}$ $x = \frac{\pi}{4}$. C. $x = \frac{\pi}{2}$ $x = \frac{\pi}{2}$. D. $x = 0$.

Câu 21. Nghiệm dương bé nhất của phương trình: $2sin^{2}x + 5sinx - 3 = 0$ $2sin^{2}x + 5sinx - 3 = 0$ là:

A. $x = \frac{\pi}{6}$ $x = \frac{\pi}{6}$. B. $x = \frac{\pi}{2}$ $x = \frac{\pi}{2}$. C. $x = \frac{3\pi}{2}$ $x = \frac{3\pi}{2}$. D. $x = \frac{5\pi}{6}$ $x = \frac{5\pi}{6}$.

Câu 22. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn $\lbrack 0;10\pi\rbrack$ $\lbrack 0;10\pi\rbrack$ của phương trình $sin^{2}2x + 3sin2x + 2 = 0$ $sin^{2}2x + 3sin2x + 2 = 0$.

A. $\frac{105\pi}{2}$ $\frac{105\pi}{2}$. . C. $\frac{297\pi}{4}$ $\frac{297\pi}{4}$. D. $\frac{299\pi}{4}$ $\frac{299\pi}{4}$.

B. Đáp án Bài tập Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng 1.1 Không cần biết đổi

Câu 1.

Ta có $4cos^{2}x - 4cosx - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos x = \frac{3}{2}\ \ \ (L) \\ \cos x = - \frac{1}{2}\ \ (N) \\ \end{matrix} \right.$ $4cos^{2}x - 4cosx - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos x = \frac{3}{2}\ \ \ (L) \\ \cos x = - \frac{1}{2}\ \ (N) \\ \end{matrix} \right.$.

Với $\cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos\frac{2\pi}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} \right)$ $\cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos\frac{2\pi}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} \right)$.

Vậy số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là $2$.

Câu 2. Chọn A

Ta có $cos^{2}2x + cos2x - \frac{3}{4} = 0.$ $cos^{2}2x + cos2x - \frac{3}{4} = 0.$ Đặt $cos2x = t$ với điều kiện $- 1 \leq t \leq 1,$ $- 1 \leq t \leq 1,$ ta được phương trình bậc hai theo t là

$t^{2} + t - \frac{3}{4} = 0.(*)$ $t^{2} + t - \frac{3}{4} = 0.(*)$

Phương trình $(*)$ có hai nghiệm $t_{1} = \frac{1}{2}$ $t_{1} = \frac{1}{2}$ và $t_{2} = \frac{- 3}{2}$ $t_{2} = \frac{- 3}{2}$ nhưng chỉ có $t_{1} = \frac{1}{2}$ $t_{1} = \frac{1}{2}$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy ta có: $cos2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow cos2x = \cos\left( \frac{\pi}{3} \right)$ $cos2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow cos2x = \cos\left( \frac{\pi}{3} \right)$

$\Leftrightarrow 2x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi,\left( k\mathbb{\in Z} \right).$ $\Leftrightarrow 2x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi,\left( k\mathbb{\in Z} \right).$

Câu 3. Chọn C

$2sin^{2}x - 5sinx - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x = 3 > 1 \\ \sin x = - \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ \left( k\mathbb{\in Z} \right)$ $2sin^{2}x - 5sinx - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x = 3 > 1 \\ \sin x = - \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ \left( k\mathbb{\in Z} \right)$.

Câu 4. Chọn B

Đặt $t = \sin x$ $t = \sin x$. Điều kiện $|t| \leq 1$ $|t| \leq 1$

Phương trình trở thành:

$t^{2} = - t + 2 \Leftrightarrow t^{2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1\ \ \ (\ TM) \\ t = - 2\ \ (L) \\ \end{matrix} \right.$ $t^{2} = - t + 2 \Leftrightarrow t^{2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1\ \ \ (\ TM) \\ t = - 2\ \ (L) \\ \end{matrix} \right.$

Với $t = 1 \Rightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\ \ \ (k \in Z).$ $t = 1 \Rightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\ \ \ (k \in Z).$.

Câu 5. Chọn D

Ta có $2cos^{2}x - 3cosx + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos x = 1 \\ \cos x = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = k2\pi\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ \right.\ \left( k\mathbb{\in Z} \right)$ $2cos^{2}x - 3cosx + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos x = 1 \\ \cos x = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = k2\pi\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ \right.\ \left( k\mathbb{\in Z} \right)$.

Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai

Câu 9. Chọn D

Phương trình đã cho tương đương với

$\left( 1 - \frac{1}{2}sin^{2}2x \right) + \left( \frac{1}{2}sin2x - \frac{1}{2} + sin^{2}2x \right) - \frac{3}{2} = 0$ $\left( 1 - \frac{1}{2}sin^{2}2x \right) + \left( \frac{1}{2}sin2x - \frac{1}{2} + sin^{2}2x \right) - \frac{3}{2} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}sin^{2}2x + \frac{1}{2}sin2x - 1 = 0$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2}sin^{2}2x + \frac{1}{2}sin2x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} sin2x = 1 \\ sin2x = - 2(VN) \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} sin2x = 1 \\ sin2x = - 2(VN) \\ \end{matrix} \right.$

Với $sin2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi,k\mathbb{\in Z}$ $sin2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi,k\mathbb{\in Z}$.

Câu 10. Chọn D

$2cos2x - \cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow 2\left( 2cos^{2}x - 1 \right) - \cos x + 1 = 0$ $2cos2x - \cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow 2\left( 2cos^{2}x - 1 \right) - \cos x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 4cos^{2}x - \cos x - 1 = 0$ $\Leftrightarrow 4cos^{2}x - \cos x - 1 = 0$

Đặt $t = \cos x$ $t = \cos x$, phương trình trở thành $4t^{2} - t - 1 = 0$ $4t^{2} - t - 1 = 0$

Câu 11. Chọn A

Ta có: $cos2x + 5sinx - 4 = 0$

$\Leftrightarrow - 2sin^{2}x + 5sinx - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x = 1(1) \\ \sin x = \frac{3}{2}(2) \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow - 2sin^{2}x + 5sinx - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x = 1(1) \\ \sin x = \frac{3}{2}(2) \\ \end{matrix} \right.$

Phương trình (1) có nghiệm $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$ $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$

Phương trình (2) vô nghiệm.

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

---------------------------------------------------------

Trên đây là toàn bộ kiến thức trọng tâm của chuyên đề phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác trong chương trình Toán lớp 11. Hy vọng với hệ thống lý thuyết và bài tập minh họa, bạn đọc có thể nắm vững phương pháp giải và áp dụng hiệu quả vào bài thi. Đừng quên luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải phương trình lượng giác, đặc biệt là những bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao.

Tải về

Chọn file muốn tải về: