Bài toán xếp người lên tàu

Bài toán tổ hợp xếp người lên tàu - Có đáp án

Bài toán xếp người lên tàu là một trong những dạng bài điển hình trong chuyên đề hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp của chương trình Toán 11. Đây là dạng toán quen thuộc, thường gặp trong đề kiểm tra và đề thi học kỳ, đòi hỏi học sinh vận dụng linh hoạt tư duy tổ hợp để xác định số cách xếp hành khách lên các toa tàu theo nhiều điều kiện khác nhau. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài toán xếp người lên toa tàu một cách chi tiết, kèm theo bài tập minh họa có đáp án, giúp bạn hiểu sâu và nhớ lâu hơn.

A. Bài tập xếp người lên tàu có điều kiện

Bài 1: Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga. Có 4 hành khách bước lên tàu. Hỏi:

a) Có bao nhiêu trường hợp về cách chọn toa của 4 hành khách?

b) Có bao nhiêu trường hợp mà mỗi toa có 1 người lên?

c) Có bao nhiêu trường hợp mà mỗi toa có 3 người lên, một toa có 1 người lên và hai toa còn lại không có ai lên?

Bài 2. Một đoàn tàu có 3 toa chở khách. Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị lên tàu. Biết mỗi toa đều có 4 chỗ trống.

a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 4 hành khách lên tàu?

b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 4 hành khách lên tàu để có 1 toa trong đó có 3 vị khách?

Bài 3. Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga. Có 4 hành khách bước lên tàu.

a) Có bao nhiêu trường hợp về cách chọn toa của 4 hành khách?

b) Có bao nhiêu trường hợp mà mỗi toa có 1 người lên?

c) Có bao nhiêu trường hợp mà 1 toa có 3 người lên, 1 toa có 1 người lên và 2 toa còn lại không có ai lên?

B. Hướng dẫn giải bài toán xếp người lên toa tàu

Bài 1

a) + Người thứ nhất: có 4 cách chọn

+ Người thứ hai: có 4 cách chọn

+ Người thứ ba: có 4 cách chọn

+ Người thứ tư: có 4 cách chọn

Vậy tất cả có 4.4.4.4 = 256 cách chọn

b) + Người thứ nhất: có 4 cách chọn

+ Người thứ hai: có 3 cách chọn

+ Người thứ ba: có 2 cách chọn

+ Người thứ tư: có 1 cách chọn

Vậy tất cả có 4.3.2.1 = 14 cách chọn

c) + Chia 4 người thành 2 nhóm:

Nhóm I: có 3 người, nhóm II: có 1 người (Ta chia bằng cách chọn ra 1 người và 3 người còn lại cho vào 1 nhóm).

Vậy có 4 cách chia nhóm.

+ Với mỗi cách chia nhóm xếp 2 nhóm vào 4 khoang:

- Nhóm I: Có 4 cách xếp

- Nhóm II: Có 3 cách xếp

+ Như vậy có 4.3 = 12 cách xếp cho mỗi cách chia nhóm, mà có 4 cách chia nhóm.

Kết luận: Vậy tất cả có 12.4 = 48 cách.

Bài 2

a. Để 4 vị khách lên tài, ta cần chọn ra 4 chỗ trống trong 12 chỗ trống (do 3 toa, mỗi toa 4 chỗ) trên tàu, không liên qua đến thứ tự nên có: \(C_{12}^{4} = 495\) cách.

b. Chọn 1 nhóm 3 vị khách từ 4 vị khách ta có: \(C_{4}^{3}\) cách chọn.

Nhóm 3 vị khách này khi lên tàu có thể chọn 1 trong 3 toa tàu nên có 3 cách chọn.

Vị khách còn lại khi lên tàu có thể chọn 1 trong 2 toa tàu (không chọn toa chứa 3 hành khách kia) nên có 2 cách chọn.

Vậy có \(C_{4}^{3}.3.2 = 24\) cách.

Bài 3

a) - Người thứ nhất có 4 cách chọn toa

- Người thứ hai có 4 cách chọn toa

- Người thứ ba có 4 cách chọn toa

- Người thứ tư có 4 cách chọn toa

Vậy có 4.4.4.4 = 256 cách chọn

b) - Chọn vị trí để xếp người thứ nhất lên 1 trong 4 toa có \(C_{4}^{1}\) cách

- Chọn vị trí để xếp người thứ hai lên 1 trong 3 toa còn lại có \(C_{3}^{1}\) cách

- Chọn vị trí để xếp người thứ ba lên 1 trong 2 toa còn lại có \(C_{2}^{1}\) cách

- Chọn vị trí để xếp người cuối cùng lên 1 toa cuối cùng có \(C_{1}^{1}\) cách

Vậy có \(C_{4}^{1}.C_{4}^{1}.C_{2}^{1}.C_{1}^{1} = 24\)cách chọn

c) + Chọn 1 nhóm 3 vị khách từ 4 vị khách ta có \(C_{4}^{3}\) cách chọn

+ Nhóm 3 vị khách này khi lên tàu có thể chọn 1 trong 4 toa tàu nên có 4 cách chọn.

+ Vị khách còn lại khi lên tàu có thể chọn 1 trong 3 toa tàu (không chọn toa chứa 3 hành khách kia) nên có 3 cách chọn.

Vậy có \(C_{4}^{3}.4.3 = 48\) cách.

----------------------------------------------------

Với những kiến thức vừa học, hy vọng bạn đã hiểu rõ cách giải bài toán xếp người lên tàu, từ những trường hợp cơ bản đến nâng cao có điều kiện ràng buộc. Dạng toán này không chỉ giúp bạn làm tốt bài kiểm tra mà còn rèn luyện kỹ năng tư duy tổ hợp rất hiệu quả.
Đừng quên luyện tập thêm với các bài toán về xếp người, xếp vật, chọn chỗ ngồi trong các tình huống thực tế, và theo dõi các chuyên đề tiếp theo như xác suất, biến cố, nhị thức Newton trong chương trình Toán 11 để củng cố kiến thức toàn diện. Chúc bạn học tốt và tự tin khi gặp dạng toán này trong bất kỳ kỳ thi nào!