Bài toán chọn vật chọn người Toán 11

Bài tập tổ hợp chọn vật chọn người có đáp án

Bạn đang học Toán 11 và gặp khó khăn với các dạng bài chọn vật, chọn người? Trong chuyên đề hôm nay, chúng ta sẽ cùng khám phá bài toán chọn vật chọn người – một phần quan trọng trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Toán 11. Bài viết không chỉ cung cấp lý thuyết trọng tâm, mà còn kèm theo hệ thống bài tập chọn lọc có đáp án chi tiết, giúp bạn luyện tập và nắm chắc kiến thức trước kỳ kiểm tra.

A. Các bài toán tìm số cách chọn vật chọn người

Bài 1. Một hộp đựng 40 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ 3 màu?

Bài 2. Một hộp đựng 7 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng.

a. Có bao nhiêu cách lấy ra 7 viên bi đủ 3 màu, trong đó có 3 viên bi màu xanh và nhiều nhất 2 viên bi màu đỏ?

b. Có bao nhiêu cách lấy ra 8 viên bi có đủ ba màu?

Bài 3. Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 viên bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Tính số cách chọn 4 viên bi từ hộp sao cho không có đủ 3 màu.

Bài 4. Có bao nhiêu cách sắp xếp 15 viên bi vào 3 hộp đựng bi?

Bài 5. Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5, 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu, vừa khác số?

Bài 6: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hồng này xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn 1 bó hoa gồm 7 bông:

a) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng 1 bông đỏ?

b) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3 bông đỏ?

Bài 7: Có 8 con tem và 5 bì thư. Chọn ra 3 con tem để dán vào 3 bì thư, mỗi bì thư dán 1 con tem. Hỏi có bao nhiêu cách dán?

Bài 8: Có 5 bưu thiếp khác nhau, 6 bì thư khác nhau. Chọn ra 3 bưu thiếp bỏ vào 3 bì thư, mỗi bì thư 1 bưu thiếp và gửi cho 3 người bạn, mỗi người bạn 1 bưu thiếp. Hỏi có mấy cách?

Bài 9: Tại cuộc thi “Theo dòng lịch sử”, BTC sử dụng 7 thẻ vàng và 7 thẻ đỏ, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho 2 thẻ cùng màu không nằm cạnh nhau?

Bài 10: Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu TB, 4 câu khó. Người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ 3 loại dễ, TB, khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra?

Bài 11: Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu TB và 4 câu khó. Người ta chọn ra 7 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ 3 loại dễ - TB - khó. Hỏi có bao nhiêu cách lập đề kiểm tra?

Bài 12: Trong 1 môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 khó, 10 TB, 15 dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, TB, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?

Bài 13: Đội tuyển HSG của 1 trường gồm 18 em, trong đó 7 em khối 12, 6 em khối 11, 5 em khối 10. Tính số cách chọn 6 em trong đội tuyển đi dự trại hè sao cho mỗi khối ít nhất 1 em được chọn.

Bài 14: Từ 1 nhóm gồm 30 học sinh (15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh khối C), chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và có đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn?

Bài 15: Từ 1 nhóm gồm 12 học sinh (4 học sinh khối A, 4 học sinh khối B, 4 học sinh khối C) chọn ra 5 học sinh sao cho mỗi khối ít nhất 1 học sinh. Tính số cách chọn.

Bài 16: Đội thanh niên xung kích của một trưởng phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn ra 4 học sinh tham gia trực tuần, sao cho 4 học sinh đó không quá 2 trong 3 lớp nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Bài 17: Một đội văn nghệ có 20 người trong đó 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và có ít nhất 1 nữ?

Bài 18: Lớp 11A của Tuấn có 11 học sinh nam và 18 học sinh nữ.

a) Có bao nhiêu cách chọn ra một đội văn nghệ gồm 10 người đủ nam và nữ.

b) Chọn 1 đội trực nhật gồm 13 người, trong đó có 1 tổ trưởng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu Tuấn luôn có mặt trong tổ và chỉ là thành viên?

Bài 19: Một trường trung học có 7 thầy dạy Toán, 6 thầy dạy Lý và 4 thầy dạy Hóa. Chọn từ đó ra 5 thầy đi dự đại hội. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để có đủ 3 bộ môn?

Bài 20: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?

Bài 21. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Muốn lập một đoàn công tác có 3 người gồm cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học lẫn vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập đoàn công tác như vậy?

Bài 22. Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội văn nghệ gồm 8 người sao cho có ít nhất 3 nữ?

Bài 23: Lớp 11A của Tiến có 30 học sinh.

a) Hãy chọn trong lớp Tiến một tổ trực nhật có 11 người trong đó có 1 tổ trưởng, còn lại là các thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu Tiến luôn có mặt trong tổ?

b) Hãy chọn trong lớp Tiến một đội văn nghệ có 8 người, trong đó có 1 đội trưởng, 1 thư ký và các thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu Tiến luôn có mặt trong đội?

Bài 24: Một tổ có 8 học sinh gồm 5 nữ và 3 nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các học sinh trong tổ đứng thành 1 hàng dọc để vào lớp sao cho:

a) Các bạn nữ đứng chung với nhau.

b) Nam nữ không đứng chung nhau.

Bài 25: Đội văn nghệ của trường gồm 10 học sinh trong đó có 3 bạn Lan, Hằng, Nga học cùng một lớp. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp đội văn nghệ thành 1 hàng dọc sao cho 3 bạn Lan, Hằng, Nga luôn đứng cạnh nhau?

B. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập chọn vật chọn người

Bài 1:

Trường hợp 1: Chọn 4 viên bi toàn máu trắng có \(C_{5}^{4}\) cách.

Trường hợp 2: Chọn 4 viên bi toàn màu vàng có \(C_{6}^{4}\) cách

Trường hợp 3: Chọn 4 viên bi toàn màu đỏ và màu trắng có \(C_{45}^{4} - \left( C_{40}^{4} + C_{5}^{4} \right)\) cách

(Giải thích làm theo phương pháp phần bù)

B1: CHọn 4 viên bi bất kì trong 45 viên (cả đỏ và trắng) có \(C_{45}^{4}\) cách

B2: Chọn 4 viên bi không thỏa mãn yêu cầu (có 2 trường hợp)

Chọn 4 viên toàn màu đỏ có \(C_{40}^{4}\) cách

Chọn 4 viên toàn màu trắng có \(C_{5}^{4}\) cách

TH5: Chọn 4 viên bi toàn màu đỏ và màu vàng có \(C_{4}^{4} - \left( C_{40}^{4} + C_{6}^{4} \right)\) cách

Trường hợp 6: Chọn 4 viên bi toàn màu trắng và vàng có \(C_{11}^{4} - \left( C_{5}^{4} + C_{6}^{4} \right)\) cách

Kết luận: Vậy có số cách chọn 4 viên bi thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

\(C_{5}^{4} + C_{6}^{4} + C_{40}^{4} + \left\lbrack C_{45}^{4} - \left( C_{40}^{4} + C_{5}^{4} \right) \right\rbrack + \left\lbrack C_{46}^{4} - \left( C_{40}^{4} + C_{6}^{4} \right) \right\rbrack + \left\lbrack C_{11}^{4} - \left( C_{5}^{4} + C_{6}^{4} \right) \right\rbrack = 221100\) cách

Bài 2

a. Vì bắt buộc phải có 3 viên bi xanh nên có 2 trường hợp như sau:

Trường hợp 1. Chọn 1 bi đỏ + 3 bi xanh + 3 bi vàng có \(C_{5}^{1}C_{7}^{3}C_{4}^{3}\) cách

Trường hợp 2: Chọn 2 bi đỏ + 3 bi xanh + 2 bi vàng có \(C_{5}^{2}.C_{7}^{3}.C_{4}^{2}\) cách

Vậy có \(C_{5}^{1}C_{7}^{3}C_{4}^{3} + C_{5}^{2}.C_{7}^{3}.C_{4}^{2} = 2800\) cách

b. Sử dụng phương pháp phần bù

Bước 1. Chọn 8 viên bi bất kì trong tổng số 16 viên bi có \(C_{16}^{8}\) cách

Bước 2. Chọn 8 viên bi không thỏa mãn yêu cầu (không có đủ 3 màu)

Trường hợp 1. Chọn 8 viên bi xanh + đỏ có \(C_{12}^{8}\) cách

Trường hợp 2. Chọn 8 viên bi xanh + vàng có \(C_{11}^{8}\) cách

Trường hợp 3. Chọn 8 viên bi đỏ + vàng có \(C_{9}^{8}\) cách

Đáp số: Vậy có \(C_{16}^{8} - \left( C_{12}^{8} + C_{11}^{8} + C_{9}^{8} \right) = 12201\) cách

nhóm X lại có 3! cách sắp xếp.

Vậy có 8!.3! = 241.920 cách.

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

---------------------------------------------------

Trên đây là tổng hợp kiến thức và bài tập trọng tâm về bài toán chọn vật chọn người Toán 11, bao gồm cả hoán vị, chỉnh hợp, và tổ hợp. Hy vọng bạn đã hiểu rõ cách áp dụng từng dạng bài và rút ra được phương pháp giải phù hợp cho từng tình huống. Đừng quên luyện tập thường xuyên để thành thạo kỹ năng làm bài tổ hợp!
Nếu bạn muốn mở rộng kiến thức, đừng bỏ qua các bài viết tiếp theo về xác suất, nhị thức Newton, hoặc các dạng toán nâng cao Toán 11. Chúc bạn học tốt!