Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
VnDoc.com Lớp 11 Toán 11

Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp 2

Lí thuyết và Bài tập Đạo hàm cấp 2
Tải về

Đạo hàm cấp 2

Lí thuyết và Bài tập Đạo hàm cấp 2 được VnDoc biên soạn bao gồm hướng dẫn lý thuyết và hướng dẫn giải cho từng bài tập sách giáo khoa và sách bài tập giúp các bạn học sinh luyện tập và hiểu rõ hơn về phần Đạo hàm. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, củng cố và rèn luyện thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 11, Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp 2

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Lí thuyết Đạo hàm cấp 2

1. Đạo hàm cấp 2

- Cho hàm số f có đạo hàm f’. Khi f’ có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm f và kí hiệu là f’’, tức là: f\(f''=\left( f' \right)'\)

f’ còn được gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f. Đạo hàm cấp 2 của hàm số y=f\left( x \right)\(y=f\left( x \right)\) còn được kí hiệu là y’’

{{f}^{n}}\left( x \right)\({{f}^{n}}\left( x \right)\) gọi là đạo hàm cấp n của f\left( x \right)\(f\left( x \right)\)

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2

- Như đã biết: Nếu một chất điểm chuyển động có phương trình s=s\left( t \right)\(s=s\left( t \right)\) thì vận tốc tại thời điểm t_{0}\(t_{0}\) của chất điểm đó là v\left( {{t}_{0}} \right)=s\(v\left( {{t}_{0}} \right)=s'\left( {{t}_{0}} \right)\)

- Nếu {{t}_{0}}\({{t}_{0}}\) nhận một số gia \Delta t\(\Delta t\) thì v\left( {{t}_{0}} \right)\(v\left( {{t}_{0}} \right)\)nhận một số gia \Delta v=v\left( {{t}_{0}}+\Delta t \right)-v\left( {{t}_{0}} \right)\(\Delta v=v\left( {{t}_{0}}+\Delta t \right)-v\left( {{t}_{0}} \right)\) . Khi \left| \Delta t \right|\(\left| \Delta t \right|\) càng nhỏ (khác 0) thì \Delta v\(\Delta v\) càng phản ánh chính xác sự biến thiên vận tốc của chất điểm tại thời điểm {{t}_{0}}\({{t}_{0}}\)

- Trong cơ học, giới hạn hữu hạn của tỉ số \frac{\Delta v}{\Delta t}\(\frac{\Delta v}{\Delta t}\) khi \Delta t\(\Delta t\) dần đến 0 được gọi là gia tốc tức thời tại thời điểm {{t}_{0}}\({{t}_{0}}\) của chất điểm đó, và kí hiệu là a\left( {{t}_{0}} \right)\(a\left( {{t}_{0}} \right)\). Vậy:

a\left( {{t}_{0}} \right)=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta v}{\Delta t}\(a\left( {{t}_{0}} \right)=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta v}{\Delta t}\)

3. Đạo hàm cấp cao

Đạo hàm cấp n – 1 được gọi là đọa hàm cấp n của hàm số y=f\left( x \right)\(y=f\left( x \right)\), kí hiệu {{y}^{\left( n \right)}}\({{y}^{\left( n \right)}}\) hay {{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)\({{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)\)

{{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)=\left[ {{f}^{\left( n-1 \right)}}\left( x \right) \right]\({{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)=\left[ {{f}^{\left( n-1 \right)}}\left( x \right) \right]'\), với n thuộc \mathbb{Z}\(\mathbb{Z}\) và n\ge 2\(n\ge 2\)

4. Công thức đạo hàm cấp cao

  • {{\left( {{x}^{m}} \right)}^{\left( n \right)}}=m\left( m-1 \right)...\left( m-n+1 \right).{{x}^{m-n}}\({{\left( {{x}^{m}} \right)}^{\left( n \right)}}=m\left( m-1 \right)...\left( m-n+1 \right).{{x}^{m-n}}\)
  • {{\left( {{a}^{x}} \right)}^{\left( n \right)}}={{a}^{x}}.{{\ln }^{n}}a,a>0\({{\left( {{a}^{x}} \right)}^{\left( n \right)}}={{a}^{x}}.{{\ln }^{n}}a,a>0\)
  • {{\left( \cos x \right)}^{\left( n \right)}}=\cos \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)\({{\left( \cos x \right)}^{\left( n \right)}}=\cos \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)\)
  • {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\left( n \right)}}=\left( -1 \right).n!.{{x}^{-n-1}}\({{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\left( n \right)}}=\left( -1 \right).n!.{{x}^{-n-1}}\){{\left( \ln x \right)}^{n}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}\left( n-1 \right)!}{{{x}^{n}}}\({{\left( \ln x \right)}^{n}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}\left( n-1 \right)!}{{{x}^{n}}}\)
  • {{\left( \sin x \right)}^{\left( n \right)}}=\sin \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)\({{\left( \sin x \right)}^{\left( n \right)}}=\sin \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)\)
  • {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\left( n \right)}}={{e}^{x}}\({{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\left( n \right)}}={{e}^{x}}\)

5. Công thức Lepnit

- Nếu u và v là các hàm khả vi n lần thì: {{\left( u.v \right)}^{\left( n \right)}}=\sum{\begin{matrix} n \\ k=0 \\ \end{matrix}}C_{n}^{k}.{{u}^{k}}.{{v}^{\left( n-k \right)}}\({{\left( u.v \right)}^{\left( n \right)}}=\sum{\begin{matrix} n \\ k=0 \\ \end{matrix}}C_{n}^{k}.{{u}^{k}}.{{v}^{\left( n-k \right)}}\) với C_{n}^{k}\(C_{n}^{k}\) kí hiệu tổ hợp chập k của n phần tử

C_{n}^{k}=\frac{n\left( n-1 \right)...\left( n-k+1 \right)}{k!}\(C_{n}^{k}=\frac{n\left( n-1 \right)...\left( n-k+1 \right)}{k!}\)

B. Giải bài tập Toán 11

Trong Sách giáo khoa Toán lớp 11, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 11. Mời các bạn học sinh tham khảo:

C. Giải Vở Bài tập Toán 11

Sách bài tập Toán 11 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

-------------------------------------------------

Trên đây là Lí thuyết và Bài tập đạo hàm cấp 2 VnDoc.com giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Ngoài ra VnDoc mời độc giả tham khảo thêm tài liệu ôn tập một số môn học: Toán lớp 11, Tiếng anh lớp 11, Vật lí lớp 11, Ngữ văn lớp 11,...

- Một số tài liệu liên quan: 

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
1.454 Bài viết đã được lưu
Mục lục
Tìm thêm: đạo hàm đạo hàm cấp 2 đạo hàm riêng cấp 2
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Lý thuyết Toán 11
Tải xuống

Tham khảo thêm

🖼️

Gợi ý cho bạn
Xem thêm
🖼️

Toán 11
Xem thêm