Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Toán 11 Đạo hàm cấp 2

Lí thuyết và Bài tập Đạo hàm cấp 2

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Đạo hàm cấp 2

Lí thuyết và Bài tập Đạo hàm cấp 2 được VnDoc biên soạn bao gồm hướng dẫn lý thuyết và hướng dẫn giải cho từng bài tập sách giáo khoa và sách bài tập giúp các bạn học sinh luyện tập và hiểu rõ hơn về phần Đạo hàm.

Toán 11 Đạo hàm cấp 2

A. Lí thuyết Đạo hàm cấp 2

1. Đạo hàm cấp 2

- Cho hàm số f có đạo hàm f’. Khi f’ có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm f và kí hiệu là f’’, tức là:

f’ còn được gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f. Đạo hàm cấp 2 của hàm số còn được kí hiệu là y’’

gọi là đạo hàm cấp n của _.

Ví dụ: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y = \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} + 1$ b) $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$

c) $y = \ln|2x - 1|$ d) $y = \tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right)$

Hướng dẫn giải

a) Xét hàm số $y = \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} + 1$ ta có:

Đạo hàm cấp 1

$y' = \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} + 1 = \frac{4x^{3}}{4} - 2.2.x = x^{3} - 4x$

Đạo hàm cấp 2

$\Rightarrow y'' = 3x^{2} - 4$

b) Xét hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$ ta có:

Đạo hàm cấp 1: $y' = \frac{(2x + 1)'(x - 1) - (2x + 1)(x - 1)'}{(x - 1)^{2}}$

$y' = \frac{2(x - 1) - (2x + 1)}{(x - 1)^{2}}$

$y' = \frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x - 1)^{2}} = \frac{- 3}{(x - 1)^{2}}$

Đạo hàm cấp 2

$\Rightarrow y'' = \frac{3\left\lbrack (x - 1)^{2} \right\rbrack'}{(x - 1)^{4}} = \frac{3.2.(x - 1)}{(x - 1)^{4}}$

$y'' = \frac{6}{(x - 1)^{3}}$

c) Xét hàm số $y = \ln|2x - 1|$ ta có:

Đạo hàm cấp 1: $y' = \frac{2}{2x - 1}$

Đạo hàm cấp 2

$\Rightarrow y'' = \frac{- 2.2}{(2x - 1)^{2}}$

$\Rightarrow y'' = \frac{- 4}{(2x - 1)^{2}}$

d) Xét hàm số $y = \tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right)$ ta có:

Đạo hàm cấp 1

$y' = \frac{1}{cos^{2}\left( x + \frac{\pi}{3} \right)} = 1 + tan^{2}\left( x + \frac{\pi}{3} \right)$

Đạo hàm cấp 2

$\Rightarrow y'' = 2tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right).\left\lbrack \tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right) \right\rbrack'$

$\Rightarrow y'' = \frac{2tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right)}{cos^{2}\left( x + \frac{\pi}{3} \right)}$

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2

- Như đã biết: Nếu một chất điểm chuyển động có phương trình thì vận tốc tại thời điểm của chất điểm đó là

- Nếu nhận một số gia thì nhận một số gia . Khi càng nhỏ (khác 0) thì càng phản ánh chính xác sự biến thiên vận tốc của chất điểm tại thời điểm ${{t}_{0}}$

- Trong cơ học, giới hạn hữu hạn của tỉ số khi $\Delta t$ dần đến 0 được gọi là gia tốc tức thời tại thời điểm của chất điểm đó, và kí hiệu là . Vậy:

$a\left( {{t}_{0}} \right)=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta v}{\Delta t}$

Ví dụ: Phương trình chuyển động của một chất điểm có phương trình $s(t) = 15 + \sqrt{2}\sin\left( 4\pi t + \frac{\pi}{6} \right)$ trong đó s tính bằng mét và t được tính bằng giây. Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3s (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thức nhất).

Hướng dẫn giải

Gia tốc của chất điểm tại thời điểm t là:

$a(t) = s''(t) = - 16\pi^{2}\sqrt{2}\sin\left( 4\pi t + \frac{\pi}{6} \right)$

Tại thời điểm t = 3s gia tốc của chất điểm là:

$a(3) = - 16\pi^{2}\sqrt{2}\sin\left( 4\pi.3 + \frac{\pi}{6} \right) \approx - 111,7\left( m/s^{2} \right)$

Ví dụ: Một chất điểm chuyển động được xác định bởi phương trình: $S(t) = 2t^{4} + 6t^{2} - 3t + 1$ trong đó tính bằng giây và tính bằng mét. Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm ?

Hướng dẫn giải

Ta có vận tốc của chất điểm chuyển động được tính bằng công thức:

$v(t) = S'(t) = 8t^{3} + 12t - 3(m/s)$

Khi đó gia tốc của chất điểm chuyển động được tính bằng công thức:

$a(t) = v'(t) = s''(t) = 24t^{2} + 12\left( m/s^{2} \right)$

Tại thời điểm gia tốc của chất điểm là:

$a(5) = 24.5^{2} + 12 = 612\left( m/s^{2} \right)$ .

3. Đạo hàm cấp cao

Đạo hàm cấp n – 1 được gọi là đọa hàm cấp n của hàm số , kí hiệu ${{y}^{\left( n \right)}}$ hay ${{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)$

, với n thuộc $\mathbb{Z}$ và

4. Công thức đạo hàm cấp cao

${{\left( {{x}^{m}} \right)}^{\left( n \right)}}=m\left( m-1 \right)...\left( m-n+1 \right).{{x}^{m-n}}$
${{\left( {{a}^{x}} \right)}^{\left( n \right)}}={{a}^{x}}.{{\ln }^{n}}a,a>0$
${{\left( \cos x \right)}^{\left( n \right)}}=\cos \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)$
${{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\left( n \right)}}=\left( -1 \right).n!.{{x}^{-n-1}}$ ${{\left( \ln x \right)}^{n}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}\left( n-1 \right)!}{{{x}^{n}}}$
${{\left( \sin x \right)}^{\left( n \right)}}=\sin \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)$
${{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\left( n \right)}}={{e}^{x}}$

5. Công thức Lepnit

- Nếu u và v là các hàm khả vi n lần thì: với kí hiệu tổ hợp chập k của n phần tử

$C_{n}^{k}=\frac{n\left( n-1 \right)...\left( n-k+1 \right)}{k!}$

B. Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức

Trong Sách giáo khoa Toán lớp 11, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 SGK sách KNTT

C. Giải Vở Bài tập Toán 11 Kết nối tri thức

VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này.

Giải SBT Toán 11 Sách KNTT

Tải về

Chọn file muốn tải về: