Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 11 Toán 11

Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp 2

Lí thuyết và Bài tập Đạo hàm cấp 2
Tải về
Lớp: Lớp 11
Môn: Toán
Loại File: Word + PDF
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Đạo hàm cấp 2

Lí thuyết và Bài tập Đạo hàm cấp 2 được VnDoc biên soạn bao gồm hướng dẫn lý thuyết và hướng dẫn giải cho từng bài tập sách giáo khoa và sách bài tập giúp các bạn học sinh luyện tập và hiểu rõ hơn về phần Đạo hàm. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, củng cố và rèn luyện thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 11, Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp 2

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Lí thuyết Đạo hàm cấp 2

1. Đạo hàm cấp 2

- Cho hàm số f có đạo hàm f’. Khi f’ có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm f và kí hiệu là f’’, tức là: f\(f''=\left( f' \right)'\)

f’ còn được gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f. Đạo hàm cấp 2 của hàm số y=f\left( x \right)\(y=f\left( x \right)\) còn được kí hiệu là y’’

{{f}^{n}}\left( x \right)\({{f}^{n}}\left( x \right)\) gọi là đạo hàm cấp n của f\left( x \right)\(f\left( x \right)\).

Ví dụ: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} + 1\(y = \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} + 1\)                                    b) y = \frac{2x + 1}{x - 1}\(y = \frac{2x + 1}{x - 1}\)

c) y = \ln|2x - 1|\(y = \ln|2x - 1|\)                                            d) y = \tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right)\(y = \tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right)\)

Hướng dẫn giải

a) Xét hàm số  y = \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} + 1\(y = \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} + 1\) ta có: 

 Đạo hàm cấp 1

y\(y' = \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} + 1 = \frac{4x^{3}}{4} - 2.2.x = x^{3} - 4x\)

 Đạo hàm cấp 2

\Rightarrow y\(\Rightarrow y'' = 3x^{2} - 4\)

b) Xét hàm số  y = \frac{2x + 1}{x - 1}\(y = \frac{2x + 1}{x - 1}\)  ta có:  

 Đạo hàm cấp 1: y\(y' = \frac{(2x + 1)'(x - 1) - (2x + 1)(x - 1)'}{(x - 1)^{2}}\)

y\(y' = \frac{2(x - 1) - (2x + 1)}{(x - 1)^{2}}\)

y\(y' = \frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x - 1)^{2}} = \frac{- 3}{(x - 1)^{2}}\)

 Đạo hàm cấp 2

\Rightarrow y\(\Rightarrow y'' = \frac{3\left\lbrack (x - 1)^{2} \right\rbrack'}{(x - 1)^{4}} = \frac{3.2.(x - 1)}{(x - 1)^{4}}\)

y\(y'' = \frac{6}{(x - 1)^{3}}\)

c) Xét hàm số  y = \ln|2x - 1|\(y = \ln|2x - 1|\)  ta có: 

 Đạo hàm cấp 1: y\(y' = \frac{2}{2x - 1}\)

Đạo hàm cấp 2

\Rightarrow y\(\Rightarrow y'' = \frac{- 2.2}{(2x - 1)^{2}}\)

\Rightarrow y\(\Rightarrow y'' = \frac{- 4}{(2x - 1)^{2}}\)

d) Xét hàm số  y = \tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right)\(y = \tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right)\)  ta có: 

Đạo hàm cấp 1

y\(y' = \frac{1}{cos^{2}\left( x + \frac{\pi}{3} \right)} = 1 + tan^{2}\left( x + \frac{\pi}{3} \right)\)

Đạo hàm cấp 2

\Rightarrow y\(\Rightarrow y'' = 2tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right).\left\lbrack \tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right) \right\rbrack'\)

\Rightarrow y\(\Rightarrow y'' = \frac{2tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right)}{cos^{2}\left( x + \frac{\pi}{3} \right)}\)

 

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2

- Như đã biết: Nếu một chất điểm chuyển động có phương trình s=s\left( t \right)\(s=s\left( t \right)\) thì vận tốc tại thời điểm t_{0}\(t_{0}\) của chất điểm đó là v\left( {{t}_{0}} \right)=s\(v\left( {{t}_{0}} \right)=s'\left( {{t}_{0}} \right)\)

- Nếu {{t}_{0}}\({{t}_{0}}\) nhận một số gia \Delta t\(\Delta t\) thì v\left( {{t}_{0}} \right)\(v\left( {{t}_{0}} \right)\)nhận một số gia \Delta v=v\left( {{t}_{0}}+\Delta t \right)-v\left( {{t}_{0}} \right)\(\Delta v=v\left( {{t}_{0}}+\Delta t \right)-v\left( {{t}_{0}} \right)\) . Khi \left| \Delta t \right|\(\left| \Delta t \right|\) càng nhỏ (khác 0) thì \Delta v\(\Delta v\) càng phản ánh chính xác sự biến thiên vận tốc của chất điểm tại thời điểm {{t}_{0}}\({{t}_{0}}\)

- Trong cơ học, giới hạn hữu hạn của tỉ số \frac{\Delta v}{\Delta t}\(\frac{\Delta v}{\Delta t}\) khi \Delta t\(\Delta t\) dần đến 0 được gọi là gia tốc tức thời tại thời điểm {{t}_{0}}\({{t}_{0}}\) của chất điểm đó, và kí hiệu là a\left( {{t}_{0}} \right)\(a\left( {{t}_{0}} \right)\). Vậy:

a\left( {{t}_{0}} \right)=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta v}{\Delta t}\(a\left( {{t}_{0}} \right)=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta v}{\Delta t}\)

Ví dụ: Phương trình chuyển động của một chất điểm có phương trình s(t) = 15 + \sqrt{2}\sin\left( 4\pi t + \frac{\pi}{6} \right)\(s(t) = 15 + \sqrt{2}\sin\left( 4\pi t + \frac{\pi}{6} \right)\) trong đó s tính bằng mét và t được tính bằng giây. Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3s (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thức nhất).

Hướng dẫn giải

Gia tốc của chất điểm tại thời điểm t là:

a(t) = s\(a(t) = s''(t) = - 16\pi^{2}\sqrt{2}\sin\left( 4\pi t + \frac{\pi}{6} \right)\)

Tại thời điểm t = 3s gia tốc của chất điểm là:

a(3) = - 16\pi^{2}\sqrt{2}\sin\left( 4\pi.3 + \frac{\pi}{6} \right) \approx - 111,7\left( m/s^{2} \right)\(a(3) = - 16\pi^{2}\sqrt{2}\sin\left( 4\pi.3 + \frac{\pi}{6} \right) \approx - 111,7\left( m/s^{2} \right)\)

Ví dụ: Một chất điểm chuyển động được xác định bởi phương trình: S(t) = 2t^{4} + 6t^{2} - 3t + 1\(S(t) = 2t^{4} + 6t^{2} - 3t + 1\) trong đó t\(t\) tính bằng giây và S\(S\) tính bằng mét. Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 5(s)\(t = 5(s)\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có vận tốc của chất điểm chuyển động được tính bằng công thức:

v(t) = S\(v(t) = S'(t) = 8t^{3} + 12t - 3(m/s)\)

Khi đó gia tốc của chất điểm chuyển động được tính bằng công thức:

a(t) = v\(a(t) = v'(t) = s''(t) = 24t^{2} + 12\left( m/s^{2} \right)\)

Tại thời điểm t = 5(s)\(t = 5(s)\) gia tốc của chất điểm là:

a(5) = 24.5^{2} + 12 = 612\left( m/s^{2} \right)\(a(5) = 24.5^{2} + 12 = 612\left( m/s^{2} \right)\) .

3. Đạo hàm cấp cao

Đạo hàm cấp n – 1 được gọi là đọa hàm cấp n của hàm số y=f\left( x \right)\(y=f\left( x \right)\), kí hiệu {{y}^{\left( n \right)}}\({{y}^{\left( n \right)}}\) hay {{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)\({{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)\)

{{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)=\left[ {{f}^{\left( n-1 \right)}}\left( x \right) \right]\({{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)=\left[ {{f}^{\left( n-1 \right)}}\left( x \right) \right]'\), với n thuộc \mathbb{Z}\(\mathbb{Z}\) và n\ge 2\(n\ge 2\)

4. Công thức đạo hàm cấp cao

  • {{\left( {{x}^{m}} \right)}^{\left( n \right)}}=m\left( m-1 \right)...\left( m-n+1 \right).{{x}^{m-n}}\({{\left( {{x}^{m}} \right)}^{\left( n \right)}}=m\left( m-1 \right)...\left( m-n+1 \right).{{x}^{m-n}}\)
  • {{\left( {{a}^{x}} \right)}^{\left( n \right)}}={{a}^{x}}.{{\ln }^{n}}a,a>0\({{\left( {{a}^{x}} \right)}^{\left( n \right)}}={{a}^{x}}.{{\ln }^{n}}a,a>0\)
  • {{\left( \cos x \right)}^{\left( n \right)}}=\cos \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)\({{\left( \cos x \right)}^{\left( n \right)}}=\cos \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)\)
  • {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\left( n \right)}}=\left( -1 \right).n!.{{x}^{-n-1}}\({{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\left( n \right)}}=\left( -1 \right).n!.{{x}^{-n-1}}\){{\left( \ln x \right)}^{n}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}\left( n-1 \right)!}{{{x}^{n}}}\({{\left( \ln x \right)}^{n}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}\left( n-1 \right)!}{{{x}^{n}}}\)
  • {{\left( \sin x \right)}^{\left( n \right)}}=\sin \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)\({{\left( \sin x \right)}^{\left( n \right)}}=\sin \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)\)
  • {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\left( n \right)}}={{e}^{x}}\({{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\left( n \right)}}={{e}^{x}}\)

5. Công thức Lepnit

- Nếu u và v là các hàm khả vi n lần thì: {{\left( u.v \right)}^{\left( n \right)}}=\sum{\begin{matrix} n \\ k=0 \\ \end{matrix}}C_{n}^{k}.{{u}^{k}}.{{v}^{\left( n-k \right)}}\({{\left( u.v \right)}^{\left( n \right)}}=\sum{\begin{matrix} n \\ k=0 \\ \end{matrix}}C_{n}^{k}.{{u}^{k}}.{{v}^{\left( n-k \right)}}\) với C_{n}^{k}\(C_{n}^{k}\) kí hiệu tổ hợp chập k của n phần tử

C_{n}^{k}=\frac{n\left( n-1 \right)...\left( n-k+1 \right)}{k!}\(C_{n}^{k}=\frac{n\left( n-1 \right)...\left( n-k+1 \right)}{k!}\)

B. Giải bài tập Toán 11

Trong Sách giáo khoa Toán lớp 11, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 11. Mời các bạn học sinh tham khảo:

C. Giải Vở Bài tập Toán 11

Sách bài tập Toán 11 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

-------------------------------------------------

Trên đây là Lí thuyết và Bài tập đạo hàm cấp 2 VnDoc.com giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Ngoài ra VnDoc mời độc giả tham khảo thêm tài liệu ôn tập một số môn học: Toán lớp 11, Tiếng anh lớp 11, Vật lí lớp 11, Ngữ văn lớp 11,...

- Một số tài liệu liên quan: 

Chọn file muốn tải về:

Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp 2

256,6 KB

  • Tải xuống Word

    110 KB
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
1
1.588 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này

Tham khảo thêm

🖼️

Toán 11
Xem thêm
🖼️

Gợi ý cho bạn
Xem thêm