VnDoc.com

Cách giải bất phương trình logarit

Bài tập Toán 11 có đáp án chi tiết

Bài trước

Tải về

Bài sau

Bài tập Toán 11: Bất phương trình logarit có đáp án

Trong chương trình Toán học phổ thông và ôn thi đại học, bất phương trình logarit là dạng bài tập thường xuyên xuất hiện và đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức nền tảng về hàm số logarit, miền xác định và các phép biến đổi tương đương. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn bạn cách giải bất phương trình logarit một cách chi tiết, dễ hiểu, đi kèm ví dụ minh họa và lưu ý thường gặp. Đây là tài liệu hữu ích giúp bạn tự tin chinh phục các bài toán logarit từ cơ bản đến nâng cao.

A. Cách giải bất phương trình logarit

1. Bất phương trình Logarit

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng ${\log _a}x > b$ $\log_{a} x > b$ (hoặc ${\log _a}x \geqslant b,{\log _a}x < b,{\log _a}x \leqslant b$ $\log_{a} x ⩾ b, \log_{a} x < b, \log_{a} x ⩽ b$ ) với $a > 0,a \ne 1$ $a > 0, a \neq 1$

Để giải, ta xét bất phương trình ${\log _a}x > b$ $\log_{a} x > b$ :

- Trường hợp $a > 1$ , ta có:

${\log _a}x > b \Leftrightarrow x > {a^b}$ $\log_{a} x > b \Leftrightarrow x > a^{b}$

- Trường hợp $0 < a < 1$ , ta có:

${\log _a}x > b \Leftrightarrow 0 < x < {a^b}$ $\log_{a} x > b \Leftrightarrow 0 < x < a^{b}$

2. Các cách giải bất phương trình

- Đưa về cùng cơ số

Nếu $a > 1$ thì

${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} g(x) > 0 \hfill \\ f(x) > g(x) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\log_{a} f (x) > \log_{a} g (x) \Leftrightarrow {\begin{matrix} g (x) > 0 \\ f (x) > g (x) \end{matrix}$

Nếu $0 < a < 1$ thì

${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} f(x) > 0 \hfill \\ f(x) < g(x) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\log_{a} f (x) > \log_{a} g (x) \Leftrightarrow {\begin{matrix} f (x) > 0 \\ f (x) < g (x) \end{matrix}$

- Đặt ẩn phụ

- Mũ hóa

B. Bài tập giải bất phương trình logarit có đáp án

Bài 1: Giải bất phương trình: $\sqrt{log_{2}^{2}x - log_{2}x^{2} - 3} > \sqrt{5}(log_{4}x^{2} - 3)$ $\sqrt{l o g_{2}^{2} x - l o g_{2} x^{2} - 3} > \sqrt{5} (l o g_{4} x^{2} - 3)$

Hướng dẫn giải

BPT ⇔ $\sqrt{log_{2}^{2}x - log_{2}x^{2} - 3} > \sqrt{5}(log_{2}x - 3)\ \ \ \ \ \ (1)$ $\sqrt{l o g_{2}^{2} x - l o g_{2} x^{2} - 3} > \sqrt{5} (l o g_{2} x - 3) (1)$

Đặt t = log₂x. (1) ⇔ $\sqrt{t^{2} - 2t - 3} > \sqrt{5}(t - 3) \Leftrightarrow \sqrt{(t - 3)(t + 1)} > \sqrt{5}(t - 3)$ $\sqrt{t^{2} - 2 t - 3} > \sqrt{5} (t - 3) \Leftrightarrow \sqrt{(t - 3) (t + 1)} > \sqrt{5} (t - 3)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t \leq - 1 \\ \left\{ \begin{matrix} t > 3 \\ (t + 1)(t - 3) > 5(t - 3)^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} t \leq - 1 \\ {\begin{matrix} t > 3 \\ (t + 1) (t - 3) > 5 (t - 3)^{2} \end{matrix} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t \leq - 1 \\ 3 < t < 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} log_{2}x \leq - 1 \\ 3 < log_{2}x < 4 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} t \leq - 1 \\ 3 < t < 4 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} l o g_{2} x \leq - 1 \\ 3 < l o g_{2} x < 4 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < x \leq \frac{1}{2} \\ 8 < x < 16 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} 0 < x \leq \frac{1}{2} \\ 8 < x < 16 \end{matrix}$

Bài 2: Giải bất phương trình: $log_{2}(4x^{2} - 4x + 1) - 2x > 2 - (x + 2)log_{\frac{1}{2}}\left( \frac{1}{2} - x \right)$ $l o g_{2} (4 x^{2} - 4 x + 1) - 2 x > 2 - (x + 2) l o g_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} - x)$

Hướng dẫn giải

BPT $\Leftrightarrow x\left\lbrack log_{2}(1 - 2x) + 1 \right\rbrack < 0$ $\Leftrightarrow x [l o g_{2} (1 - 2 x) + 1] < 0$ $\left( x < \frac{1}{2} \right)$ $(x < \frac{1}{2})$ ⇔ $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ hoặc x < 0

Bài 3. Giải bất phương trình: $log_{2}(\sqrt{3x + 1} + 6) - 1 \geq log_{2}(7 - \sqrt{10 - x})$ $l o g_{2} (\sqrt{3 x + 1} + 6) - 1 \geq l o g_{2} (7 - \sqrt{10 - x})$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $- \frac{1}{3} \leq x \leq 10$ $- \frac{1}{3} \leq x \leq 10$

BPT $\Leftrightarrow log_{2}\left( \frac{\sqrt{3x + 1} + 6}{2} \right) \geq log_{2}\left( 7 - \sqrt{10 - x} \right)$ $\Leftrightarrow l o g_{2} (\frac{\sqrt{3 x + 1} + 6}{2}) \geq l o g_{2} (7 - \sqrt{10 - x})$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3x + 1} + 6}{2} \geq 7 - \sqrt{10 - x}$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3 x + 1} + 6}{2} \geq 7 - \sqrt{10 - x}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3x + 1} + 6 \geq 2\left( 7 - \sqrt{10 - x} \right)$ $\Leftrightarrow \sqrt{3 x + 1} + 6 \geq 2 (7 - \sqrt{10 - x})$

$\Leftrightarrow \sqrt{3x + 1} + 2\sqrt{10 - x} \geq 8$ $\Leftrightarrow \sqrt{3 x + 1} + 2 \sqrt{10 - x} \geq 8$

$\Leftrightarrow 49x^{2} - 418x + 369 \leq 0$ $\Leftrightarrow 49 x^{2} - 418 x + 369 \leq 0$

$\Leftrightarrow 1 \leq x \leq \frac{369}{49}(tm)$ $\Leftrightarrow 1 \leq x \leq \frac{369}{49} (t m)$

Bài 4. Giải bất phương trình: $\left( 4^{x}–2.2^{x}–3 \right).log_{2}x–3 > 4^{\frac{x + 1}{2}} - \ 4^{x}$ $(4^{x} - {2.2}^{x} - 3) . l o g_{2} x - 3 > 4^{\frac{x + 1}{2}} - 4^{x}$

Hướng dẫn giải

BPT ⇔ $(4^{x} - 2.2^{x} - 3).log_{2}x - 3 > 2^{x + 1} - 4^{x}$ $(4^{x} - {2.2}^{x} - 3) . l o g_{2} x - 3 > 2^{x + 1} - 4^{x}$ ⇔ $(4^{x} - 2.2^{x} - 3).(log_{2}x + 1) > 0$ $(4^{x} - {2.2}^{x} - 3) . (l o g_{2} x + 1) > 0$

⇔ $\left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 2^{2x} - 2.2^{x} - 3 > 0 \\ log_{2}x + 1 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} 2^{2x} - 2.2^{x} - 3 < 0 \\ log_{2}x + 1 < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.$ $[\begin{matrix} {\begin{matrix} 2^{2 x} - {2.2}^{x} - 3 > 0 \\ l o g_{2} x + 1 > 0 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} 2^{2 x} - {2.2}^{x} - 3 < 0 \\ l o g_{2} x + 1 < 0 \end{matrix} \end{matrix}$ ⇔ $\left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 2^{x} > 3 \\ log_{2}x > - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} 2^{x} < 3 \\ log_{2}x < - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.$ $[\begin{matrix} {\begin{matrix} 2^{x} > 3 \\ l o g_{2} x > - 1 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} 2^{x} < 3 \\ l o g_{2} x < - 1 \end{matrix} \end{matrix}$

⇔ $\left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x > log_{2}3 \\ x > \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x < log_{2}3 \\ 0 < x < \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.$ $[\begin{matrix} {\begin{matrix} x > l o g_{2} 3 \\ x > \frac{1}{2} \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x < l o g_{2} 3 \\ 0 < x < \frac{1}{2} \end{matrix} \end{matrix}$ ⇔ $\left\lbrack \begin{matrix} x > log_{2}3 \\ 0 < x < \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.$ $[\begin{matrix} x > l o g_{2} 3 \\ 0 < x < \frac{1}{2} \end{matrix}$

Bài 5. Giải bất phương trình: $log_{3}\sqrt{x^{2} - 5x + 6} + log_{\frac{1}{3}}\sqrt{x - 2} > \frac{1}{2}log_{\frac{1}{3}}(x + 3)$ $l o g_{3} \sqrt{x^{2} - 5 x + 6} + l o g_{\frac{1}{3}} \sqrt{x - 2} > \frac{1}{2} l o g_{\frac{1}{3}} (x + 3)$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $x > 3$

Phương trình đã cho tương đương:

$\frac{1}{2}log_{3}\left( x^{2} - 5x + 6 \right) + \frac{1}{2}log_{3^{- 1}}(x - 2) > \frac{1}{2}log_{3^{- 1}}(x + 3)$ $\frac{1}{2} l o g_{3} (x^{2} - 5 x + 6) + \frac{1}{2} l o g_{3^{- 1}} (x - 2) > \frac{1}{2} l o g_{3^{- 1}} (x + 3)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}log_{3}\left( x^{2} - 5x + 6 \right) - \frac{1}{2}log_{3}(x - 2) > - \frac{1}{2}log_{3}(x + 3)$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2} l o g_{3} (x^{2} - 5 x + 6) - \frac{1}{2} l o g_{3} (x - 2) > - \frac{1}{2} l o g_{3} (x + 3)$

$\Leftrightarrow log_{3}\left\lbrack (x - 2)(x - 3) \right\rbrack > log_{3}(x - 2) - log_{3}(x + 3)$ $\Leftrightarrow l o g_{3} [(x - 2) (x - 3)] > l o g_{3} (x - 2) - l o g_{3} (x + 3)$

$\Leftrightarrow log_{3}\left\lbrack (x - 2)(x - 3) \right\rbrack > log_{3}\left( \frac{x - 2}{x + 3} \right)$ $\Leftrightarrow l o g_{3} [(x - 2) (x - 3)] > l o g_{3} (\frac{x - 2}{x + 3})$

$\Leftrightarrow (x - 2)(x - 3) > \frac{x - 2}{x + 3}$ $\Leftrightarrow (x - 2) (x - 3) > \frac{x - 2}{x + 3}$

$\Leftrightarrow x^{2} - 9 > 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - \sqrt{10} \\ x > \sqrt{10} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x^{2} - 9 > 1 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x < - \sqrt{10} \\ x > \sqrt{10} \end{matrix}$

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là $x > \sqrt{10}$ $x > \sqrt{10}$

Bài 6. Giải bất phương trình $\sqrt {\log _2^2x - {{\log }_2}{x^2} - 3} > \sqrt 5 ({\log _2}x - 3)$ $\sqrt{\log_{2}^{2} x - \log_{2} x^{2} - 3} > \sqrt{5} (\log_{2} x - 3)$

Hướng dẫn giải

ĐK: $\left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ log_{2}^{2}x - log_{2}x^{2} - 3 \geq 0 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x > 0 \\ l o g_{2}^{2} x - l o g_{2} x^{2} - 3 \geq 0 \end{matrix}$

Bất phương trình đã cho tương đương với $\sqrt{log_{2}^{2}x - log_{2}x^{2} - 3} > \sqrt{5}(log_{2}x - 3)\ \ \ \ \ \ (1)$ $\sqrt{l o g_{2}^{2} x - l o g_{2} x^{2} - 3} > \sqrt{5} (l o g_{2} x - 3) (1)$

Đặt t = log₂x,

BPT (1) $\sqrt{t^{2} - 2t - 3} > \sqrt{5}(t - 3) \Leftrightarrow \sqrt{(t - 3)(t + 1)} > \sqrt{5}(t - 3)$ $\sqrt{t^{2} - 2 t - 3} > \sqrt{5} (t - 3) \Leftrightarrow \sqrt{(t - 3) (t + 1)} > \sqrt{5} (t - 3)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t \leq - 1 \\ \left\{ \begin{matrix} t > 3 \\ (t + 1)(t - 3) > 5(t - 3)^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t \leq - 1 \\ 3 < t < 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} log_{2}x \leq - 1 \\ 3 < log_{2}x < 4 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} t \leq - 1 \\ {\begin{matrix} t > 3 \\ (t + 1) (t - 3) > 5 (t - 3)^{2} \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} t \leq - 1 \\ 3 < t < 4 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} l o g_{2} x \leq - 1 \\ 3 < l o g_{2} x < 4 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < x \leq \frac{1}{2} \\ 8 < x < 16 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} 0 < x \leq \frac{1}{2} \\ 8 < x < 16 \end{matrix}$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $(0;\frac{1}{2}\rbrack \cup (8;16)$ $(0; \frac{1}{2}] \cup (8; 16)$

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

-----------------------------------

Việc nắm chắc phương pháp và các bước giải là chìa khóa để giải nhanh và chính xác các bài toán logarit. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết về cách giải bất phương trình logarit trong bài viết, bạn đã hiểu rõ bản chất của dạng toán này và có thêm công cụ để tự luyện tập hiệu quả. Đừng quên thường xuyên ôn luyện, làm thêm các bài tập nâng cao và theo dõi trang để cập nhật thêm nhiều chuyên đề toán THPT, ôn thi tốt nghiệp và đại học nhé!

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

3

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Đen2017

File word

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!