Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bài tập tính đạo hàm Toán lớp 11 tổng hợp các công thức tính đạo hàm cơ bản bằng định nghĩa, nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, từ đó vận dụng vào việc giải bài tập. Hy vọng, với các bài tập đạo hàm lớp 11 này, các bạn học sinh sẽ dễ dàng hơn trong việc giải bài tập về đạo hàm tại lớp, các kỳ thi. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả.

• Lý thuyết và bài tập Toán 11: Hàm số liên tục
• Lý thuyết và bài tập Toán 11: Giới hạn của hàm số
• Công thức toán học giải nhanh Đạo hàm

1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và tọa độ x₀ ∊ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x₀. Kí hiệu: y’(x₀) hoặc f’(x₀).

Nghĩa là: \(y'\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

- Quy ước: \(\Delta x = x - {x_0}\) là số gia của đối số x tại x0.

\(\Delta y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\) là số gia của hàm số.

Vậy \(y'\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

2. Phương pháp tính đạo hàm tại một điểm

Bước 1: Tính \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)

Bước 2: Lập tỉ số \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

Bước 3: Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

3. Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa

Ví dụ: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} + 2x\), có \(\Delta x\) là số gia của biến số tại x = 2, \(\Delta y\) là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó \(\Delta y\) là:

A. \({\left( {\Delta x} \right)^2} + 2\Delta x\)	B. \({\left( {\Delta x} \right)^2} + 6\Delta x - 8\)
C. \({\left( {\Delta x} \right)^2} + 4\Delta x - 1\)	D. \({\left( {\Delta x} \right)^2} + 6\Delta x\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{matrix} \Delta y = f\left( x \right) - f\left( 2 \right) = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right) \hfill \\ \Delta y = {\left( {2 + \Delta x} \right)^2} + 2\left( {2 + \Delta x} \right) - \left( {{2^2} + 2.2} \right) \hfill \\ \Delta y = 4 + 4\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} + 4 + 2\Delta x - 8 \hfill \\ = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 6\Delta x \hfill \\ \end{matrix}\)

Chọn đáp án D

Ví dụ: Đạo hàm hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x}}{{x - 1}}\) tại x = 2 là:

A. 2	B. -2
C. 4	D. -4

Hướng dẫn giải

\(\begin{matrix} \Delta y = f\left( x \right) - f\left( 2 \right) = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right) \hfill \\ \Delta y = \dfrac{{{{\left( {2 + \Delta x} \right)}^2} + 2\left( {2 + \Delta x} \right)}}{{\left( {2 + \Delta x} \right) - 1}} - \dfrac{{{2^2} + 2.2}}{{2 - 1}} \hfill \\ \Delta y = \dfrac{{{{\left( {\Delta x} \right)}^2} - 2\Delta x}}{{\Delta x + 1}} \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{\dfrac{{{{\left( {\Delta x} \right)}^2} - 2\Delta x}}{{\Delta x + 1}}}}{{\Delta x}} = \frac{{\Delta x - 2}}{{\Delta x + 1}} \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = - 2 \hfill \\ \end{matrix}\)

Chọn đáp án B

4. Bài tập tự rèn luyện

Bài 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực định bởi \(y = f\left( x \right) = {x^2},\left( {x \in \mathbb{R}} \right)\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

A. \(f'\left( x \right) = {x_0}^2\)	B. \(f'\left( x \right) = {x_0} + 2\)
C. \(f'\left( x \right) = 2{x_0}\)	D. \(f'\left( x \right) = \frac{1}{2}{x_0}^3\)

Bài 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 - \sqrt {1 - 2x} }}{2}{\text{ x}} \ne {\text{0}}} \\ {\dfrac{1}{3}{\text{ x = 0}}} \end{array}} \right.\). Kết quả của f’(0) là:

A. 1	B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{1}{3}\)	D. 0

Bài 3: Số gia của hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}\) ứng với số gia \(\Delta x\) tại \({x_0} = 1\)

A. \(\frac{1}{2}{\left( {\Delta x} \right)^2} - \Delta x\)	B. \(\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} - \Delta x} \right]\)
C. \(\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + \Delta x} \right]\)	D. \(\frac{1}{2}{\left( {\Delta x} \right)^2} + \Delta x\)

Bài 4: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} - x\), đạo hàm của hàm số ứng với số gia \(\Delta x\) tại \({x_0}\) là:

A. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2x + 1} \right)\)	B. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2x - 1} \right)\)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 2x\Delta x + \Delta x} \right]\)	D. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 2x\Delta x - \Delta x} \right]\)

Bài 5: Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f(x) tại \({x_0} < 1\)?

A. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( x \right)}}{{\Delta x}}\)	B. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)	D. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\)

---------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn bài viết Công thức tính đạo hàm, mong rằng qua đây các bạn có thêm thật nhiều tài liệu để phục vụ cho việc học tập nhé. Mời các bạn cùng tham khảo thêm các môn Ngữ văn 11, tiếng Anh 11, đề thi học kì 1 lớp 11, đề thi học kì 2 lớp 11...