Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Trong chương trình Toán 11, đạo hàm là chủ đề trọng tâm và xuyên suốt, không chỉ quan trọng trong kỳ thi học kỳ mà còn là kiến thức nền cho lớp 12 và ôn thi THPT Quốc gia. Việc tính đạo hàm bằng định nghĩa giúp học sinh hiểu rõ bản chất của đạo hàm, rèn kỹ năng suy luận logic và vận dụng định nghĩa vào giải bài tập. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết cách tính đạo hàm bằng định nghĩa, kết hợp với công thức đạo hàm Toán 11 thường gặp, giúp học sinh làm bài chính xác và nhanh chóng hơn.

1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và tọa độ x₀ ∊ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x₀. Kí hiệu: y’(x₀) hoặc f’(x₀).

Nghĩa là: \(y'\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

- Quy ước: \(\Delta x = x - {x_0}\) là số gia của đối số x tại x0.

\(\Delta y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\) là số gia của hàm số.

Vậy \(y'\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

2. Phương pháp tính đạo hàm tại một điểm

Bước 1: Tính \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)

Bước 2: Lập tỉ số \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

Bước 3: Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

3. Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa

Ví dụ: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} + 2x\), có \(\Delta x\) là số gia của biến số tại x = 2, \(\Delta y\) là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó \(\Delta y\) là:

A. \({\left( {\Delta x} \right)^2} + 2\Delta x\)	B. \({\left( {\Delta x} \right)^2} + 6\Delta x - 8\)
C. \({\left( {\Delta x} \right)^2} + 4\Delta x - 1\)	D. \({\left( {\Delta x} \right)^2} + 6\Delta x\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{matrix} \Delta y = f\left( x \right) - f\left( 2 \right) = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right) \hfill \\ \Delta y = {\left( {2 + \Delta x} \right)^2} + 2\left( {2 + \Delta x} \right) - \left( {{2^2} + 2.2} \right) \hfill \\ \Delta y = 4 + 4\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} + 4 + 2\Delta x - 8 \hfill \\ = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 6\Delta x \hfill \\ \end{matrix}\)

Chọn đáp án D

Ví dụ: Đạo hàm hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x}}{{x - 1}}\) tại x = 2 là:

A. 2	B. -2
C. 4	D. -4

Hướng dẫn giải

\(\begin{matrix} \Delta y = f\left( x \right) - f\left( 2 \right) = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right) \hfill \\ \Delta y = \dfrac{{{{\left( {2 + \Delta x} \right)}^2} + 2\left( {2 + \Delta x} \right)}}{{\left( {2 + \Delta x} \right) - 1}} - \dfrac{{{2^2} + 2.2}}{{2 - 1}} \hfill \\ \Delta y = \dfrac{{{{\left( {\Delta x} \right)}^2} - 2\Delta x}}{{\Delta x + 1}} \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{\dfrac{{{{\left( {\Delta x} \right)}^2} - 2\Delta x}}{{\Delta x + 1}}}}{{\Delta x}} = \frac{{\Delta x - 2}}{{\Delta x + 1}} \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = - 2 \hfill \\ \end{matrix}\)

Chọn đáp án B

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(y = x + \sqrt{x - 1}\) tại điểm \(x_{0} = 2\) .

Hướng dẫn giải

Tập xác định \(D = \lbrack 1; + \infty)\)

Tại điểm \(x_{0} = 2;y_{0} = 2 + \sqrt{2 - 1} = 3\)

Với \(1 \leq x \neq 2\) ta có:

\(\frac{y - y_{0}}{x - x_{0}} = \frac{x + \sqrt{x - 1} - 3}{x - 2}\)

\(= \frac{(x - 2) + \left( \sqrt{x - 1} - 1 \right)}{x - 2}\)

\(= 1 + \frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2}\)

Do đó

\(y'(2) = \lim_{x \rightarrow 2}\left( 1 + \frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2} \right)\)

\(= 1 + \lim_{x \rightarrow 2}\left\lbrack \frac{\left( \sqrt{x - 1} - 1 \right)\left( \sqrt{x - 1} + 1 \right)}{(x - 2)\left( \sqrt{x - 1} + 1 \right)} \right\rbrack\)

\(= 1 + \lim_{x \rightarrow 2}\left\lbrack \frac{x - 1 - 1}{(x - 2)\left( \sqrt{x - 1} + 1 \right)} \right\rbrack\)

\(= 1 + \lim_{x \rightarrow 2}\left( \frac{1}{\sqrt{x - 1} + 1} \right) = 1 + \frac{1}{1 + 1} = \frac{3}{2}\)

Vậy \(y'(2) = \frac{3}{2}\)

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{x^{2} + x + 1}\) tại \(x_{0} = - 2\) .

Hướng dẫn giải

Tại \(x_{0} = - 2\) ta có:

\(f(x) - f\left( x_{0} \right) = f(x) - f( - 2)\)

\(= \frac{1}{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{4 - 2 + 1}\)

\(= \frac{1}{3}.\frac{3 - x^{2} - x - 1}{x^{2} + x + 1} = \frac{1}{3}.\frac{- x^{2} - x + 2}{x^{2} + x + 1}\)

\(= \frac{1}{3}.\frac{(x - 1)(x + 2)}{x^{2} + x + 1}\)

\(\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \frac{f(x) - f( - 2)}{x + 2}\)

\(= \frac{1}{3}.\frac{(x - 1)(x + 2)}{x^{2} + x + 1}.\frac{1}{x + 2}\)

\(= - \frac{1}{3}.\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1}\)

\(\Rightarrow f'( - 2) = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}\)

\(= \lim_{x \rightarrow - 2}\left\lbrack - \frac{1}{3}.\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} \right\rbrack\)

\(= - \frac{1}{3}.\frac{- 2 - 1}{( - 2)^{2} - 2 + 1} = \frac{1}{3}\)

Vậy \(f'( - 2) = \frac{1}{3}\) .

Chú ý: Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là có đạo hàm trên khoảng \((a;b)\) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm \(x\) trên khoảng đó.

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x) = x^{3} - 2x\) .

Hướng dẫn giải

Tại \(x_{0}\mathbb{\in R}\) tùy ý ta có:

\(f(x) - f\left( x_{0} \right) = x^{3} - 2x - {x_{0}}^{3} + 2x_{0}\)

\(= \left( x - x_{0} \right)\left( x^{2} + x.x_{0} + {x_{0}}^{2} - 2 \right)\)

\(\Rightarrow \frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \frac{\left( x - x_{0} \right)\left( x^{2} + x.x_{0} + {x_{0}}^{2} - 2 \right)}{x - x_{0}}\)

\(= x^{2} + x.x_{0} + {x_{0}}^{2} - 2\)

\(\Rightarrow \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left( x^{2} + x.x_{0} + {x_{0}}^{2} - 2 \right)\)

\(= 3{x_{0}}^{2} - 2\)

Vậy  \(y' = 3x^{2} - 2\) 

4. Bài tập trắc nghiệm định nghĩa đạo hàm có đáp án

Bài 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực định bởi \(y = f\left( x \right) = {x^2},\left( {x \in \mathbb{R}} \right)\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

A. \(f'\left( x \right) = {x_0}^2\)	B. \(f'\left( x \right) = {x_0} + 2\)
C. \(f'\left( x \right) = 2{x_0}\)	D. \(f'\left( x \right) = \frac{1}{2}{x_0}^3\)

Bài 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 - \sqrt {1 - 2x} }}{2};{\text{ x}} \ne {\text{0}}} \\ {\dfrac{1}{3};{\text{ x = 0}}} \end{array}} \right.\). Kết quả của f’(0) là:

A. 1	B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{1}{3}\)	D. 0

Bài 3: Số gia của hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}\) ứng với số gia \(\Delta x\) tại \({x_0} = 1\)

A. \(\frac{1}{2}{\left( {\Delta x} \right)^2} - \Delta x\)	B. \(\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} - \Delta x} \right]\)
C. \(\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + \Delta x} \right]\)	D. \(\frac{1}{2}{\left( {\Delta x} \right)^2} + \Delta x\)

Bài 4: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} - x\), đạo hàm của hàm số ứng với số gia \(\Delta x\) tại \({x_0}\) là:

A. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2x + 1} \right)\)	B. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2x - 1} \right)\)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 2x\Delta x + \Delta x} \right]\)	D. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 2x\Delta x - \Delta x} \right]\)

Bài 5: Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f(x) tại \({x_0} < 1\)?

A. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( x \right)}}{{\Delta x}}\)	B. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( x \right) + f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)	D. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\)

Đáp án

1 – C

2 - B

3 - D

4 - D

5 - C

5. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải chi tiết

Câu 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(m\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

\(f'(m) = \lim_{x \rightarrow m}\frac{f(x) - f(m)}{x - m}\)(META)

\(f'(m) = \lim_{x \rightarrow m}\frac{f(x) + f(m)}{x - m}\)

\(f'(m) = \lim_{x \rightarrow m}\frac{f(x) - f(m)}{x + m}\)

\(f'(m) = \lim_{x \rightarrow m}\frac{f(x) + f(m)}{x + m}\)

Câu 2. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên tập số thực thỏa mãn \(\lim_{x \rightarrow 3}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = 2\). Chọn khẳng định đúng?

\(f'(2) = 3\)

\(f'(x) = 2\)

\(f'(x) = 3\)

\(f'(3) = 2\)

Câu 3. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm thỏa mãn \(f'(6) = 2\). Giá trị của biểu thức \(\lim_{x \rightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} =\)2

Câu 4. Cho hàm số \(y = f(x)\) được xác định bởi công thức \(f(x) = \left\{ \begin{matrix} ax^{2} + bx\ \ \ khi\ x \geq 1 \\ 2x - 1\ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} \right.\) . Để hàm số đã cho có đạo hàm tại \(x = 1\) thì giá trị biểu thức \(2a + b\) bằng bao nhiêu?

\(2\) 

\(5\)

\(- 2\)

\(- 5\)

Câu 5. Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{3x}{|x| + 1}\). Giá trị \(f'(0) =\)3.

Câu 6. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{matrix} ax^{2} + bx + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\ ax - b - 1\ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\ \end{matrix} \right.\). Khi hàm số \(f(x)\) có đạo hàm tại \(x_{0} = 0\). Tính giá trị biểu thức \(T = a - b\)?

---------------------------------------------------------

Nắm vững cách tính đạo hàm bằng định nghĩa không chỉ giúp học tốt môn Toán 11 mà còn tạo nền tảng tư duy giải tích cho các lớp học cao hơn. Mong rằng với hệ thống kiến thức và bài tập có lời giải chi tiết trong bài viết, các em học sinh sẽ tự tin áp dụng định nghĩa đạo hàm vào mọi dạng bài. Hãy lưu lại và chia sẻ tài liệu hữu ích này để cùng nhau học tốt môn Toán!