Lý thuyết và bài tập Toán 11: Hàm số liên tục
Ôn tập kiến thức Toán lớp 11
VnDoc. com - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Hàm số liên tục tại một điểm
Định nghĩa:
Giả sử hàm số
f
xác định trên khoảng
; ab
và
0
; x a b
. Hàm số
f
được gọi là liên tục
tại điểm
0
x
nếu:
( ) ( )
0
0
xx
lim f x f x
Hàm số không liên tục tại điểm
0
x
được gọi là gián đoạn tại điểm
0
x
và điểm
0
x
được gọi là
điểm gián đoạn của hàm số
fx
.
Theo định nghĩa trên, hàm số
fx
xác định trên khoảng
; ab
là liên tục tại điểm
0
; x a b
nếu và chỉ nếu
()
0
xx
lim f x
và
()
0
xx
lim f x
tồn tại và
( ) ( ) ( )
00
0
x x x x
lim f x lim f x f x
Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
Hàm số
fx
xác định trên khoảng
; ab
được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên
tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số
fx
xác định trên đoạn
; ab
được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó liên tục trên
khoảng
; ab
và
( ) ( )
xa
lim f x f a
,
( ) ( )
xb
lim f x f b
(liên tục bên phải tại
a
và bên trái tại
b
)
Chú ý: Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.
Tính liên tục của một số hàm số:
Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàn số liên tục tại
điểm đó (giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).
Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng.
Các hàm
sin , cos , tan , coty x y x y x y x
liên tục trên tập xác định của chúng.
Tính chất của hàm số liên tục
Định lí: (Định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục)
Giả sử hàm số
f
liên tục trên đoạn
; ab
. Nếu
f a f b
thì với mỗi số thực
M
nằm
giữa
fa
và
fb
, tồn tại ít nhất một điểm
; c a b
sao cho
f c M
.
Hệ quả 1: Nếu hàm
f
liên tục trên
; ab
và
.0f a f b
thì tồn tại ít nhất một điểm
; c a b
sao cho
0fc
.
Hệ quả 2: Nếu hàm
f
liên tục trên
; ab
và
0fx
vô nghiệm trên
; ab
thì hàm số
f
có dấu không đổi trên
; ab
.
Bài 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại
0
x
đã chỉ ra:
a)
2
0
32
2
( ) ( 2)
2
12
xx
khi x
f x x
x
khi x
b)
2
0
1
1
( ) ( 1)
1
21
x
khi x
f x x
x
khi x
c)
32
2
0
1
1
( ) ( 1)
32
11
x x x
khi x
f x x
xx
khi x
Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại
0
x
đã chỉ ra:
a)
2
0
( 1) 0
( ) ( 0)
10
x khi x
f x x
khi x
b)
0
2
5
5
( ) ( 5)
2 1 3
( 5) 3 5
x
khi x
f x x
x
x khi x
Bài 3. Tìm
m
để các hàm số sau liên tục tại
0
x
:
a)
32
0
22
1
( ) ( 1)
1
31
x x x
khi x
f x x
x
x m khi x
b)
2
2
0
32
2
( ) ( 2)
2
12
xx
khi x
f x x
xx
mx m khi x
c)
0
2
22
2
( ) ( 2)
73
32
x
khi x
f x x
x
x mx khi x
d)
2
0
43
1
( ) ( 1)
1
12 1
xx
khi x
f x x
x
m khi x
Bài 4. Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)
2
1
( ) 3
2
f x x x
x
b)
( ) 1 2f x x x
c)
2
2
2
()
2
2 2 2
x
khi x
fx
x
khi x
d)
3
8
2
()
48
32
x
khi x
fx
x
khi x
e)
1
1
2
()
1
1
khi x
x
fx
khi x
x
f)
3
2
27
3
9
( ) 5 3
2 1 3
x
khi x
x
f x khi x
x khi x
Bài 5. Tìm m để hàm số
2
1
( ) 1 1
11
x x khi x
f x khi x
mx khi x
liên tục trên tập xác định của nó..
Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số
f
theo
a
:
1)
32
22
1
()
1
1
x x x
khi x
fx
x
a khi x
2)
32
2
5 5 3
3
()
9
43
x x x
khi x
fx
x
a x khi x
3)
3
8
2
()
2
2
x
khi x
fx
x
a khi x
4)
2
2
2
()
2
2
xx
khi x
fx
x
a x khi x
Bài 7. Định
a
để hàm số
f
liên tục trên
¡
:
1)
2
2
32
2
()
2
12
xx
khi x
fx
xx
ax a khi x
2)
2
11
()
31
x khi x
fx
ax khi x
3)
2
12
()
32
x khi x
fx
x a khi x
4)
3
3 2 2
2
2
()
1
2
4
x
khi x
x
fx
ax khi x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số
f
tại
0
x
:
1)
32
2
1
1
()
32
11
x x x
khi x
fx
xx
khi x
tại
0
1x
2)
3
3
2
1
1
()
4
1
3
xx
khi x
x
fx
khi x
tại
0
1x
,
3)
1 2 3
2
()
2
12
x
khi x
fx
x
khi x
tại
0
2x
4)
2
4
()
53
14
x
khi x
fx
x
khi x
tại
0
4x
.
5)
2
43
3
()
3
2 4 3
xx
khi x
fx
x
x khi x
tại
0
3x
. 6)
2
5
5
()
2 1 3
( 5) 3 5
x
khi x
fx
x
x khi x
tại
00
5, 6xx
.
Bài 2. Định
a
để hàm số
f
liên tục tại
0
x
:
1)
2
2
65
1
1
()
5
1
2
xx
khi x
x
fx
a khi x
tại
0
1x
. 2)
2 1 5
4
()
4
24
xx
khi x
fx
x
a khi x
tại
0
4x
.
3)
2
2
2
()
2
2
xx
khi x
fx
x
a khi x
tại
0
2x
.
Bài 3. Định
, ab
để hàm số
f
liên tục tại
0
x
:
1)
11
0
()
4
0
2
xx
khi x
x
fx
x
a khi x
x
tại
0
0x
. 2)
3
3 2 2
2
2
()
4
2
4
x
khi x
x
fx
ax khi x
tại
0
2x
.
Chứng minh phương trình có nghiệm
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Chứng minh phương trình:
a)
3
3 12 1 0xx
có ít nhất một nghiệm.
b)
5
10xx
có ít nhất một nghiệm thuộc
(1; 2)
.
c)
53
5 4 1 0x x x
có đúng 5 nghiệm.
d)
2
cos sin 1 0x x x x
có ít nhất một nghiệm thuộc
(0; )
.
e)
3
10xx
có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn
– 1
.
Bài 2. Chứng minh phương trình
3
2 6 1 3xx
có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-7;9)
Bài 3. Chứng minh phương trình
42
40xx
có ít nhất một nghiệm
0
x
thỏa mãn
3
0
4x
Bài 4. Chứng minh rằng với mọi m phương trình:
32
10x mx
luôn có một nghiệm dương.
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi m phương trình:
32
| | 1 2 0x mx m x
luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài 7. Chứng minh phương trình
2
0ax bx c
luôn luôn có nghiệm thuộc khoảng (0;1) với mọi tham số trong
trường hợp
2 3 6 0a b c
.
Bài 8. Chứng minh phương trình
2
0ax bx c
luôn luôn có nghiệm với mọi tham số trong trường hợp
12 15 20 0a b c
.
Lý thuyết và bài tập Toán 11: Hàm số liên tục tóm tắt lý thuyết và một số dạng bài tập về hàm số liên tục, nhằm giúp các bạn học tốt môn Toán 11. Qua tài liệu này, các bạn sẽ hiểu thế nào là hàm số liên tục? Tính chất của hàm số liên tục là gì? Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn là thế nào? Mời các bạn học sinh tham khảo.
Chuyên đề Toán lớp 11: Hàm số liên tục
Lý thuyết và bài tập Toán 11: Giới hạn của hàm số
Lý thuyết và bài tập chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn Lý thuyết và bài tập Toán 11: Hàm số liên tục. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc mời các bạn học sinh tham khảo Giải bài tập Toán lớp 11, Đề thi học kì 1 lớp 11, Đề thi học kì 2 lớp 11, Tài liệu học tập lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.
