VnDoc.com

Chuyên đề Hàm số liên tục: Lý thuyết và bài tập nâng cao

Xét tính liên tục hàm số Toán 11

Tải về

HÀM SỐ LIÊN TỤC

A.ÔN TẬP LÝ THUYẾT:

1.Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x

0



0

lim ( ) ( )

xx

f x f x





- Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x

0

ta thực hiện các bước:

Bước 1: Tính f(x

0

).

Bước 2: Tính

0

lim ( )

xx

fx



(trong nhiều trường hợp ta cần tính

0

lim ( )

xx

fx





,

0

lim ( )

xx

fx





)

Bước 3: So sánh

0

lim ( )

xx

fx



với f(x

0

) và rút ra kết luận.

Bước 4: Kết luận.

2.Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

3.Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và

lim ( ) ( ), lim ( ) ( )

x a x b

f x f a f x f b







4.Hàm số đa thức liên tục trên R.

Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

5.Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x

0

. Khi đó:

- Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x

0

.

- Hàm số y =

()

fx

gx

liên tục tại x

0

nếu g(x

0

)  0.

6.Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = 0.

Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một

nghiệm c (a; b).

Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m =

 

;

min ( )

ab

fx

, M =

 

;

max ( )

ab

fx

. Khi đó với mọi T  (m; M)

luôn tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = T.

B.CÁC DẠNG TOÁN:

Vấn đề 1: Hàm số liên tục tại một điểm:

Dạng 1:













0

( , )

()

( , )

h x m khi x x

f x taïi x x

g x m khi x x

Phương pháp:

Bước 1: Tính f(x

0

).

Bước 2: Tính

0

lim ( )

xx

fx



.

Bước 3: So sánh

0

lim ( )

xx

fx



với f(x

0

) và rút ra kết luận.

Bước 4: Kết luận.

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:





















2

2 7 5

1

( ) 1

32

31

xx

khi x

f x taïi x

xx

khi x

Giải:

(1) 3f

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

  

   



  

    

  



2

1 1 1 1

1 5 2

2 7 5 5 2

lim ( ) lim lim lim 3

1 2 2

32

x x x x

xx

x x x

fx

x x x

xx

Do:



  

1

lim ( ) (1) 3

x

f x f

nên hàm số f(x) liên tục tại



0

1x

Vậy: Hàm số f(x) liên tục tại



0

1x

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:





















2

2 7 5

1

( ) 1

32

11

xx

khi x

f x taïi x

xx

khi x

Giải:

(1) 1f

  

   



  

    

  



2

1 1 1 1

1 5 2

2 7 5 5 2

lim ( ) lim lim lim 3

1 2 2

32

x x x x

xx

x x x

fx

x x x

xx

Do:





1

lim ( ) (1)

x

f x f

nên hàm số f(x) gián đoạn tại



0

1x

Vậy: Hàm số f(x) gián đoạn tại



0

1x

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:

















  



2

2 7 5

1

( ) 1

32

3 1 1

xx

khi x

f x taïi x

xx

mx khi x

Giải:

  (1) 3 .1 1fm

  

   



  

    

  



2

1 1 1 1

1 5 2

2 7 5 5 2

lim ( ) lim lim lim 3

1 2 2

32

x x x x

xx

x x x

fx

x x x

xx

Để hàm số f(x) liên tục tại



0

1x



         

1

2

lim ( ) (1) 3 1 3

3

x

f x f m m

Vậy: Giá trị m cần tìm là m = -3

Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:

a)

3

1

( ) 1

1

11

x

khi x

f x taïi x

x

khi x









  











b)

32

1

( ) 1

1

4

x

khi x

x

f x taïi x

khi x























c)

23

2

2 7 5

2

( ) 2

32

12

xxx

khi x

f x taïi x

xx

khi x



  

















d)





















3

11

0

( ) 0

1

0

3

x

khi x

x

f x taïi x

khi x

Bài tập 2: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:

a)

x x x

khi x

f x taïi x

x

x m khi x

32

22

1

( ) 1

1

31



  

















b)









    













2

0

6

( ) 0, 3 0 3

( 3)

3

m khi x

xx

f x khi x x taïi x vaø x

xx

n khi x

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

c)





















2

( ) 2

2

xx

khi x

f x taïi x

x

m khi x

c)













  







3

2

( ) 2

66

2

x

khi x

f x taïi x

xx

m khi x

Dạng 2:













0

( , )

()

( , )

h x m khi x x

f x taïi x x

g x m khi x x

hoặc













0

( , )

()

( , )

h x m khi x x

f x taïi x x

g x m khi x x

Phương pháp:

Bước 1: Tính f(x

0

).

Bước 2: Tính





0

lim ( )

xx

fx

,





0

lim ( )

xx

fx

.

Bước 3: So sánh





0

lim ( )

xx

fx

,





0

lim ( )

xx

fx

với f(x

0

) và rút ra kết luận.

Bước 4: Kết luận.

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:





















2

2 7 5

1

( ) 1

32

11

xx

khi x

f x taïi x

xx

khi x

Giải:

(1) 1f

  

  



  



  

   

  



2

1

1 1 1

1 5 2

2 7 5 5 2

lim ( ) lim lim lim 1

1 2 2

2

x

x x x

xx

x x x

fx

x x x

xx







11

lim ( ) lim 1 1

xx

fx

Do:





   

11

lim ( ) lim ( ) (1) 3

xx

f x f x f

nên hàm số f(x) liên tục tại



0

1x

Vậy: Hàm số f(x) liên tục tại



0

1x

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:





















2

2 7 5

1

( ) 1

2

11

xx

khi x

f x taïi x

xx

khi x

Giải:

(1) 1f

  

  



  



  

   

  



2

1

1 1 1

1 5 2

2 7 5 5 2

lim ( ) lim lim lim 1

1 2 2

2

x

x x x

xx

x x x

fx

x x x

xx





   

11

lim ( ) lim ( 1) 1

xx

fx

Do:





   

11

lim ( ) lim ( ) (1) 3

xx

f x f x f

nên hàm số f(x) gián đoạn tại



0

1x

Vậy: Hàm số f(x) gián đoạn tại



0

1x

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:

















  



2

2 7 5

1

( ) 1

2

3 1 1

xx

khi x

f x taïi x

xx

mx khi x

Giải:

  (1) 3 .1 1fm

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

Xét tính liên tục của hàm số

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc Chuyên đề Hàm số liên tục: Lý thuyết và bài tập nâng cao để bạn đọc cùng tham khảo. Mong rằng qua đây các bạn có thêm nhiều tài liệu để phục vụ cho việc học tập được tốt hơn nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Chuyên đề Hàm số liên tục: Lý thuyết và bài tập nâng cao được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết sẽ cho bạn đọc hiểu về lý thuyết đi kèm với đó là bài tập về hàm số liên tục. Mời các bạn cùng tham khảo tại đây.

I. Định nghĩa hàm số liên tục

1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng D và ${{x}_{0}}\in D$ ${{x}_{0}}\in D$

- Hàm số y = f(x) liên tục tại _{${{x}_{0}}\Leftrightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})$}.

- Hàm số y = f(x) không liên tục tại ${{x}_{0}}$ ${{x}_{0}}$ ta nói hàm số gián đoạn tại ${{x}_{0}}$ ${{x}_{0}}$.

2. y = f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

3. y = f(x) liên tục trên đoạn _{$\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$} nếu nó liên tục trên _$(a,b)$ và

$\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a),\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(b)$ $\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a),\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(b)$

II. Các định lí cơ bản

1. Định lí 1

- Hàm số đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$.

- Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

2. Định lí 2: Cho hàm số f liên tục trên đoạn $\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ $\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$

Nếu _{$f(a)\ne f(b)$} và P là một điểm nằm giữa _{$f(a),f(b)$} thì tồn tại ít nhất một số _{$c\in (a,b)$} sao cho _$f(c)=P$

3. Định lí 3: Cho các hàm số _{$y=f(x),y=g(x)$} liên tục tại _{${{x}_{0}}$}. Khi đó tổng,hiệu, tích liên tục tại ${{x}_{0}}$ ${{x}_{0}}$, thương _{$y=\frac{f(x)}{g(x)}$} liên tục nếu _{$g(x)\ne 0$}.

4. Hệ quả: Cho hàm số liên tục trên đoạn $\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ $\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$.

- Nếu $f(a).f(b)<0$ thì tồn tại ít nhất một số $c\in (a,b)$ $c\in (a,b)$ sao cho $f(c)=0$.

- Nói cách khác: Nếu $f(a).f(b)<0$ thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc $(a,b)$

Ví dụ minh họa: Xét tính liên tục của hàm số $y=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{x+\sqrt{x+2}}{x+1} \\ 2x+3 \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x\ge -1 \\ x<-1 \\ \end{matrix} \right.$ $y=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{x+\sqrt{x+2}}{x+1} \\ 2x+3 \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x\ge -1 \\ x<-1 \\ \end{matrix} \right.$ tại x = -1

Hướng dẫn giải

Ta có: $f(-1)=1$

$\begin{align} & \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\sqrt{x+2}}{x+1}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+2}{(x+1)(x-\sqrt{x+2})}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x-\sqrt{x+2}}=\frac{3}{2} \\ & \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(2x+3)=1 \\ & \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x) \\ \end{align}$ $\begin{align} & \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\sqrt{x+2}}{x+1}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+2}{(x+1)(x-\sqrt{x+2})}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x-\sqrt{x+2}}=\frac{3}{2} \\ & \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(2x+3)=1 \\ & \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x) \\ \end{align}$

Vậy hàm số gián đoạn tại x = -1

----------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Chuyên đề Hàm số liên tục: Lý thuyết và bài tập nâng cao, mong rằng qua đây bạn đọc có thể học tập tốt hơn môn Toán 11. Mời các bạn cùng tham khảo thêm kiến thức các Ngữ văn 11, Tiếng Anh 11, đề thi học kì 1 lớp 11, đề thi học kì 2 lớp 11...