Trắc nghiệm Toán 11 Ứng dụng đạo hàm (mức độ vận dụng cao)

Ta có .

Gọi tọa độ tiếp điểm là .

Phương trình tiếp tuyến tại là .

Do tiếp tuyến đi qua nên ta có;

.

Gọi , là hai nghiệm của suy ra và .

.

Mặt khác theo Viète có và .

Thay vào ta có:

.

Hàm số đã cho xác định trên .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và trục hoành:

Để cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt thì phương trình phải có hai nghiệm phân biệt khác .

Tức là ta phải có: hay tức .

Gọi là hai nghiệm của .

Theo định lý Vi – ét, ta có:

Giả sử là giao điểm của và trục hoành.

Tiếp tuyến của tại điểm có hệ số góc

Như vậy, tiếp tuyến tại lần lượt có hệ số góc là:

và .

Tiếp tuyến tại vuông góc nhau khi và chỉ khi hay

Tức hoặc .

Đối chiếu điều kiện chỉ có thỏa mãn.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đi qua và có hệ số góc là: .

Để qua kẻ được đúng tiếp tuyến đến đồ thị điều kiện là hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt

Thay vào ta được

Như vậy, hệ có đúng hai nghiêm khi và chỉ khi phương trình có một nghiệm bằng và một nghiệm khác ; hoặc phương trình có nghiệm duy nhất khác .

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi .

Khi đó, phương trình trở thành: ;

Do đó thỏa mãn.

Phương trình có nghiệm duy nhất khác điều kiện là

.

Như vậy .

Tổng giá trị tất cả các phần tử của là .

Ta có: .

Ta có: .

Gọi

Tiếp tuyến với tại là

Nếu tại điểm , thì

Nếu cắt tiệm cận xiên tại điểm thì:

Nếu là giao hai tiệm cận, thì có tọa độ

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên tiệm cận đứng suy ra

Diện tích tam giác :

Hay

Chứng tỏ là một hằng số, không phụ thuộc vào vị trí của điểm .

Ta có . Phương trình đường thẳng qua có hệ số góc

. là tiếp tuyến Hệ phương trình:  có nghiệm.

Thay vào ta được:

.

Để kẻ được tiếp tuyến thì có nghiệm phân biệt , khác

.

Hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục hoành khi

.

Vậy .

Đường tròn có tâm , .

Ta có ; .

Suy ra phương trình : .

Dễ thấy luôn đi qua điểm cố định và điểm nằm trong đường tròn .

Giả sử cắt tại , .

Thế thì ta có: .

Do đó nhỏ nhất lớn nhất .

Khi đó đường có 1 vectơ chỉ phương ; nên ta có:

.

Gọi tọa độ điểm , lần lượt là .

Hệ số góc tiếp tuyến của tại và lần lượt là:

Để tiếp tuyến của tại và luôn song song với nhau điều kiện là:

.

Ta có:

Do nên .

Trung điểm của đoạn là .

Vậy đường thẳng luôn đi qua điểm cố định .

Ta có:

.

có hệ số góc là .

có hệ số góc là .

Mà

.

Xét hàm số

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy .

Cách khác: Xét

Với ta có: .

Với ta có: .

Vậy .

Xét điểm .

Cách 1: Đường thẳng đi qua , hệ số góc có phương trình: .

là tiếp tuyến của hệ có nghiệm

Thế vào phương trình thứ nhất, ta được:

hoặc

Để từ kẻ được ba tiếp tuyến thì phải có nghiệm , đồng thời phải có giá trị khác nhau, khi đó phải có hai nghiệm phân biệt khác , đồng thời phải có giá trị khác nhau và khác

phải có hai nghiệm phân biệt khác khi và chỉ khi:

Với điều kiện , gọi là hai nghiệm của , khi đó hệ số góc của ba tiếp tuyến là;

.

Để hai trong ba tiếp tuyến này vuông góc với nhau và

Mặt khác theo Định lí Viet .

Do đó thỏa điều kiện , kiểm tra lại ta thấy

Vậy, là điểm cần tìm.

Cách 2: Gọi .

Tiếp tuyến của tại có phương trình: .

đi qua

Từ vẽ được đến ba tiếp tuyến có hai nghiệm phân biệt khác , và có hai giá trị khác nhau và khác điều đó xảy ra khi và chỉ khi:

.

Vì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ có hệ số góc bằng 0 nên yêu cầu bài toán

. Vậy .

Phương trình hoành độ giao điểm

Đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt

có 2 nghiệm phân biệt khác

Khi đó là 2 nghiệm phân biệt của

Ta có:

Dấu "=" xảy ra

Do

Kết hợp với ta được thỏa mãn.

Ta có: .

Suy ra .

Cho ta được,

và , .

Từ suy ra vì không thỏa mãn .

Thay vào ta được .

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là:

hay .

Gọi .

Phương trình tiếp tuyến tại :

Gọi , là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung .

Từ đó trọng tâm của có: .

Vì nên

Mặt khác:

Do đó để tồn tại ít nhất một điểm thỏa bài toán thì .

Vậy giá trị nhỏ nhất của tham số là .

Hàm số xác định với mọi .

Ta có:

Gọi . Tiếp tuyến của tại có phương trình

Gọi lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến với

Suy ra

Vì .

Tam giác AOB vuông tại O nên

Suy ra

.

Với . Suy ra phương trình

Với . Suy ra phương trình .

Gọi với là hai tiếp điểm mà tại đó tiếp tuyến có cùng hệ số góc.

Ta có

Khi đó :

Hệ số góc của đường thẳng là:

Với , do nên hai cặp 1 giá trị

Với , do nên hai cặp 1 giá trị

Vậy có tất cả giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.