Cách tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Công thức tính trung vị ghép nhóm

Trung vị (Median) là một trong ba số đặc trưng quan trọng trong thống kê, bên cạnh số trung bình cộng và mốt. Trong chương trình Toán lớp 11, học sinh cần nắm vững cách tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, bởi đây là dạng toán thường gặp trong bài kiểm tra và đề thi. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ khái niệm, công thức tính trung vị ghép nhóm, cách xác định lớp chứa trung vị, đồng thời cung cấp bài tập có lời giải chi tiết để vận dụng kiến thức hiệu quả.

A. Công thức trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng dưới đây:

Giả sử nhóm \(k\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{2}\), tức là \(cf_{k - 1} < \frac{n}{2}\) nhưng \(cf_{k} \geq \frac{n}{2}\). Ta gọi \(r,d,n_{k}\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm \(k;cf_{k - 1}\) là tần số tích luỹ của nhóm \(k - 1\).

Ý nghĩa của trung vị

Trung vị của mẫu số liệu có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đó.

B. Bài tập tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1. Dưới đây là điểm đánh giá tổng kết của các học sinh:

Khoảng điểm	[0; 10)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)
Số học sinh	2	7	15	10	11	5

Tính trung vị.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Khoảng điểm	[0; 10)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)
Số học sinh	2	7	15	10	11	5	N = 50
Tần số tích lũy	2	9	24	34	45	50

Cỡ mẫu: 50

Ta có: \(\frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25\)

=> Nhóm chứa trung vị là [30; 40) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy là 24 và 34)

Do đó: \(l = 30;\frac{N}{2} = 25;m = 24;f = 10,c = 40 - 30 = 10\)

Khi đó trung vị là:

\(M_{e} = l + \frac{\left( \frac{N}{2} - m \right)}{f}.c = 30 + \frac{25 - 24}{10}.10 = 31\)

Bài 2. Bảng số liệu dưới đây cho biết khoảng chi tiêu hàng tháng của 200 hộ gia đình.

Khoảng chi tiêu (USD)	[0; 1000)	[1000; 2000)	[2000; 3000)	[3000; 4000)	[4000; 5000)
Số hộ gia đình	28	46	54	42	30

Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Hướng dẫn giải

Ta có bảng giá trị như sau:

Khoảng chi tiêu (USD)	[0; 1000)	[1000; 2000)	[2000; 3000)	[3000; 4000)	[4000; 5000)
Số hộ gia đình	28	46	54	42	30	N = 200
Tần số tích lũy	28	74	128	170	200

Ta có: \(\frac{N}{2} = \frac{200}{2} = 100\)

=> Nhóm chứa trung vị là [2000; 3000) (vì 100 nằm giữa hai tần số tích lũy là 74 và 128)

Do đó: \(l = 2000;\frac{N}{2} = \frac{200}{2} = 100;m = 74;f = 54,c = 1000\)

Khi đó trung vị là:

\(M_{e} = l + \frac{\left( \frac{N}{2} - m \right)}{f}.c = 2000 + \frac{(100 - 74)}{54}.1000 \approx 2481,5\)

Bài 3. Cho bảng dữ liệu như sau

Đại diện A	Tần số
[0; 10)	6
[10; 20)	24
[20; 30)	x
[30; 40)	16
[40; 50)	9

Tính giá trị của x.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Đại diện A	Tần số	Tần số tích lũy
[0; 10)	6	6
[10; 20)	24	30
[20; 30)	x	30 + x
[30; 40)	16	46 + x
[40; 50)	9	55 + x
	N = 55 + x

Trung vị là 24 => Nhóm chứa trung vị là [20; 30)

\(\Rightarrow l = 20;\frac{N}{2} = \frac{55 + x}{2};m = 30;f = x,c = 10\)

\(M_{e} = l + \frac{\left( \frac{N}{2} - m \right)}{f}.c\)

\(\Leftrightarrow 24 = 20 + \frac{\left( \frac{55 + x}{2} - 30 \right)}{x}.10\)

\(\Leftrightarrow 4 = \frac{5(x - 5)}{x}\)

\(\Leftrightarrow 4x = 5x - 25\)

\(\Leftrightarrow 25 = 5x - 4x\)

\(\Leftrightarrow 25 = x\)

Bài 4. Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:

Điểm	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6

Tính giá trị trung vị của mẫu dữ liệu?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Điểm	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6	N = 42
Tần số tích lũy	5	14	26	36	42

Cỡ mẫu \(N = 42 \Rightarrow \frac{N}{2} = 21\)

=> Nhóm chứa trung vị là [40; 60)

(Vì 21 nằm giữa hai tần số tích lũy 14 và 26)

Do đó: \(l = 40;\frac{N}{2} = 21;m = 14;f = 12,c = 60 - 40 = 20\)

Khi đó trung vị là:

\(M_{e} = l + \frac{\left( \frac{N}{2} - m \right)}{f}.c = 40 + \frac{21 - 14}{12}.20 = \frac{155}{3}\)

Bài 5. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian đi làm muộn tháng 10/2023 của 100 nhân viên trong công ty X như sau:

Thời gian (phút)	Số nhân viên
[0; 5)	25
[5; 10)	14
[10; 15)	x
[15; 20)	13
[20; 25)	12
[25; 30)	y

Biết trung vị của mẫu dữ liệu bằng 12,5. Xác định giá trị x và y?

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(N = 100 \Rightarrow x + y = 36\)

Lại có:

Thời gian (phút)	Số nhân viên	Tần số tích lũy
[0; 5)	25	25
[5; 10)	14	39
[10; 15)	x	39 + x
[15; 20)	13	52 + x
[20; 25)	12	64 + x
[25; 30)	y	64 + x + y

Ta có: trung vị của mẫu dữ liệu bằng 12,5 nên nhóm chứa trung vị là [10; 15)

Khi đó:

\(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} l = 10;\frac{N}{2} = 50,m = 39,f = x \\ c = 15 - 10 = 5 \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow M_{e} = l + \frac{\frac{N}{2} - m}{f}.c\)

\(\Leftrightarrow 12,5 = 10 + \frac{50 - 39}{x}.5 \Leftrightarrow x = 22\)

\(\Rightarrow y = 36 - 22 = 14\)

Bài 6. Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:

Số tiền (nghìn đồng)	Số người
[0; 50)	5
[50; 100)	12
[100; 150)	23
[150; 200)	17
[200; 250)	3

Trung vị của mẫu số liệu có giá trị bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Số tiền (nghìn đồng)	Số người	Tần số tích lũy
[0; 50)	5	5
[50; 100)	12	17
[100; 150)	23	40
[150; 200)	17	57
[200; 250)	3	60
	N = 60

Cỡ mẫu là: \(N = 60 \Rightarrow \frac{N}{2} = 30\)

=> Nhóm chứa trung vị là [100; 150) (vì 30 nằm giữa hai tần số tích lũy 17 va 40)

Khi đó \(\left\{ \begin{matrix} l = 100;\frac{N}{2} = 30;m = 17;f = 23 \\ c = 150 - 100 = 50 \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow M_{e} = l + \frac{\frac{N}{2} - m}{f}.c\)

\(\Rightarrow M_{e} = 100 + \frac{30 - 17}{23}.50 \approx 128,26\)

-----------------------------------------

Hy vọng qua bài viết, bạn đã nắm rõ cách tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, biết cách xác định đúng lớp trung vị và áp dụng công thức một cách linh hoạt. Để ghi nhớ lâu và học tốt môn Toán lớp 11, bạn nên luyện tập thêm các dạng bài tập có lời giải và hiểu bản chất của phương pháp. Nếu thấy bài viết hữu ích, đừng quên lưu lại và chia sẻ cho bạn bè cùng học nhé!