Cách tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Công thức tính trung vị ghép nhóm

Trung vị (Median) là một trong ba số đặc trưng quan trọng trong thống kê, bên cạnh số trung bình cộng và mốt. Trong chương trình Toán lớp 11, học sinh cần nắm vững cách tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, bởi đây là dạng toán thường gặp trong bài kiểm tra và đề thi. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ khái niệm, công thức tính trung vị ghép nhóm, cách xác định lớp chứa trung vị, đồng thời cung cấp bài tập có lời giải chi tiết để vận dụng kiến thức hiệu quả.

A. Công thức trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng dưới đây:

Giả sử nhóm $k$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}$, tức là $c{f}_{k-1}<\frac{n}{2}$ nhưng $c{f}_k\ge \frac{n}{2}$. Ta gọi $r,d,n_k$ lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm $k;c{f}_{k-1}$ là tần số tích luỹ của nhóm $k-1$.

Ý nghĩa của trung vị

Trung vị của mẫu số liệu có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đó.

B. Bài tập tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1. Dưới đây là điểm đánh giá tổng kết của các học sinh:

Khoảng điểm	[0; 10)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)
Số học sinh	2	7	15	10	11	5

Tính trung vị.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Khoảng điểm	[0; 10)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)
Số học sinh	2	7	15	10	11	5	N = 50
Tần số tích lũy	2	9	24	34	45	50

Cỡ mẫu: 50

Ta có: $\frac{N}{2}=\frac{50}{2}=25$

=> Nhóm chứa trung vị là [30; 40) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy là 24 và 34)

Do đó: $l=30;\frac{N}{2}=25;m=24;f=10,c=40-30=10$

Khi đó trung vị là:

$M_e=l+\frac{(\frac{N}{2}-m)}{f}.c=30+\frac{25-24}{10}.10=31$

Bài 2. Bảng số liệu dưới đây cho biết khoảng chi tiêu hàng tháng của 200 hộ gia đình.

Khoảng chi tiêu (USD)	[0; 1000)	[1000; 2000)	[2000; 3000)	[3000; 4000)	[4000; 5000)
Số hộ gia đình	28	46	54	42	30

Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Hướng dẫn giải

Ta có bảng giá trị như sau:

Khoảng chi tiêu (USD)	[0; 1000)	[1000; 2000)	[2000; 3000)	[3000; 4000)	[4000; 5000)
Số hộ gia đình	28	46	54	42	30	N = 200
Tần số tích lũy	28	74	128	170	200

Ta có: $\frac{N}{2}=\frac{200}{2}=100$

=> Nhóm chứa trung vị là [2000; 3000) (vì 100 nằm giữa hai tần số tích lũy là 74 và 128)

Do đó: $l=2000;\frac{N}{2}=\frac{200}{2}=100;m=74;f=54,c=1000$

Khi đó trung vị là:

$M_e=l+\frac{(\frac{N}{2}-m)}{f}.c=2000+\frac{(100-74)}{54}.1000\approx 2481,5$

Bài 3. Cho bảng dữ liệu như sau

Đại diện A	Tần số
[0; 10)	6
[10; 20)	24
[20; 30)	x
[30; 40)	16
[40; 50)	9

Tính giá trị của x.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Đại diện A	Tần số	Tần số tích lũy
[0; 10)	6	6
[10; 20)	24	30
[20; 30)	x	30 + x
[30; 40)	16	46 + x
[40; 50)	9	55 + x
	N = 55 + x

Trung vị là 24 => Nhóm chứa trung vị là [20; 30)

$\Rightarrow l=20;\frac{N}{2}=\frac{55+x}{2};m=30;f=x,c=10$

$M_e=l+\frac{(\frac{N}{2}-m)}{f}.c$

$\iff 24=20+\frac{(\frac{55+x}{2}-30)}{x}.10$

$\iff 4=\frac{5(x-5)}{x}$

$\iff 4x=5x-25$

$\iff 25=5x-4x$

$\iff 25=x$

-----------------------------------------

Hy vọng qua bài viết, bạn đã nắm rõ cách tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, biết cách xác định đúng lớp trung vị và áp dụng công thức một cách linh hoạt. Để ghi nhớ lâu và học tốt môn Toán lớp 11, bạn nên luyện tập thêm các dạng bài tập có lời giải và hiểu bản chất của phương pháp. Nếu thấy bài viết hữu ích, đừng quên lưu lại và chia sẻ cho bạn bè cùng học nhé!