Cách giải phương trình Logarit và bài tập minh họa dễ hiểu

Phương trình logarit là một chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 11 và thường xuất hiện trong các kỳ thi học kỳ, thi THPT Quốc gia. Tuy nhiên, nhiều học sinh còn gặp khó khăn trong việc nhận diện dạng bài và lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách giải phương trình logarit một cách chi tiết và dễ hiểu, đi kèm hệ thống bài tập minh họa thực tế, giúp bạn nắm vững kiến thức và vận dụng linh hoạt trong quá trình học tập cũng như ôn thi.

A. Cách giải phương trình Logarit

a. Phương trình logarit là gì?

b. Các phương pháp giải phương trình logait

a. Đưa về cùng cơ số

\({\log _a}f(x) = {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} f(x) > 0 \hfill \\ f(x) = g(x) \hfill \\ \end{gathered} \right.\) , với mọi \(0 < a \ne 1\)

b. Đặt ẩn phụ

c. Mũ hóa

B. Bài tập giải phương trình Logarit có đáp án chi tiết

Bài 1. Giải phương trình: \(8^{x} + 1 = 2\ \sqrt[3]{2^{x + 1} - 1}\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(2^{x} = u > 0;\sqrt[3]{2^{x + 1} - 1} = v\).

Phương trình ⇔ \(\left\{ \begin{matrix} u^{3} + 1 = 2v \\ v^{3} + 1 = 2u \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u^{3} + 1 = 2v \\ (u - v)(u^{2} + uv + v^{2} + 2) = 0 \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u = v > 0 \\ u^{3} - 2u + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\) ⇔ \(\left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = log_{2}\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix} \right.\)

Bài 2. Giải phương trình: \(3^{x}.2x = 3^{x} + 2x + 1\)

Hướng dẫn giải

Phương tình ⇔ \(3^{x}(2x - 1) = 2x + 1\) (1).

Ta thấy \(x = \frac{1}{2}\) không phải là nghiệm của (1).

Với \(x \neq \frac{1}{2}\), ta có: (1) ⇔ \(3^{x} = \frac{2x + 1}{2x - 1}\) ⇔ \(3^{x} - \frac{2x + 1}{2x - 1} = 0\)

Đặt \(f(x) = 3^{x} - \frac{2x + 1}{2x - 1} = 3^{x} - 2 - \frac{3}{2x - 1}\).

Ta có: \(f^{'}(x) = 3^{x}ln3 + \frac{6}{(2x - 1)^{2}} > 0,\ \ \forall x \neq \frac{1}{2}\)

Do đó f(x) đồng biến trên các khoảng \(\left( - \infty;\frac{1}{2} \right)\) và \(\ \left( \frac{1}{2}; + \infty \right)\)

⇒ Phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên từng khoảng \(\left( - \infty;\frac{1}{2} \right),\ \ \left( \frac{1}{2}; + \infty \right)\).

Ta thấy \(x = 1,\ \ x = - 1\) là các nghiệm của f(x) = 0.

Vậy phương trình có 2 nghiệm \(x = 1,\ \ x = - 1\).

Bài 3. Giải phương trình: 25^x – 6.5^x + 5 = 0

Hướng dẫn giải

Ta có:

25^x – 6.5^x + 5 = 0 ⇔ \((5^{x})^{2} - 6.5^{x} + 5 = 0\) ⇔ 5^x = 1 hay 5^x = 5

⇔ x = 0 hay x = 1.

Bài 4. Giải phương trình \(4^{x} - 2^{x + 1} + 2\left( 2^{x} - 1 \right)\sin\left( 2^{x} + y - 1 \right) + 2 = 0\)(*)

Hướng dẫn giải

Ta có: (*) ⇔ \(\left( 2^{x} - 1 + \sin\left( 2^{x} + y - 1 \right) \right)^{2} + cos^{2}\left( 2^{x} + y - 1 \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2^{x} - 1 + \sin\left( 2^{x} + y - 1 \right) = 0(1) \\ cos\left( 2^{x} + y - 1 \right) = 0(2) \\ \end{matrix} \right.\)

Từ (2) ⇒ \(\sin\left( 2^{x} + y - 1 \right) = \pm 1\).

Khi \(\sin\left( 2^{x} + y - 1 \right) = 1\), thay vào (1), ta được: 2^x = 0 (VN)

Khi \(\sin\left( 2^{x} + y - 1 \right) = - 1\), thay vào (1), ta được: 2^x = 2 ⇔ x = 1.

Thay x = 1 vào (1) ⇒ sin(y +1) = -1 ⇔ \(y = - 1 - \frac{\pi}{2} + k\pi,k \in Z\).

Phương trình có nghiệm: \(\left( 1; - 1 - \frac{\pi}{2} + k\pi,k \in Z \right)\).

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

-----------------------------------

Hy vọng qua bài viết này, bạn đã nắm rõ cách giải phương trình logarit cũng như các công thức cần nhớ và phương pháp tư duy phù hợp cho từng dạng bài. Đừng quên luyện tập thêm các bài tập logarit có lời giải để củng cố kiến thức và nâng cao phản xạ giải toán. Nếu bạn thấy nội dung hữu ích, hãy lưu lại để ôn tập và chia sẻ đến bạn bè cùng học nhé!