Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật Toán 11
Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều
Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán và công thức tính tổng dãy số lớp 11. Tài liệu Toán lớp 11 này có các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài và cách tính tổng một dãy số có quy luật bất kỳ. Chúc các bạn học tập hiệu quả!
Bài toán tính tổng dãy số lớp 11
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
1. Tính tổng dãy số áp dụng phương pháp quy nạp
Bài toán: Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n > n0
Phương pháp:
- Bước 1: Xét P(n0) đúng
- Bước 2: Giả sử P(k) đúng ta sẽ chứng minh P(k + 1) đúng với mọi số tự nhiên thì mệnh đề P(n) đúng k ≥ n0 với mọi số tự nhiên n > n0
Ví dụ 1: Chứng minh rằng 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + n = 
\(\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1
Hướng dẫn giải
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + .... + n = \(\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\) (1)
Bước 1: Với n = 1 ta có: VT = VP = 1 ⇒ (1) đúng với n = 1
Bước 2: Giả sử (1) đúng với k, k ∈ \(\mathbb{N}\); k ≥ 1 tức là:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k = \(\frac{k\left( k+1 \right)}{2}\)
Ta phải chứng minh (1) đúng với k + 1 tức là:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k + (k + 1) = \(\frac{\left( k+1 \right)\left[ \left( k+1 \right)+1 \right]}{2}=\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}{2}\) (2)
Ta có:
1+ 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k + (k + 1)
= (1 + 2 + 3 + ... + k) + k + 1
= \(\dfrac{k(k+1)}{2}\) + k + 1
= \(\dfrac{k^2 + 3k + 2}{2}\)
= \(\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}\)
= (2) ⇒ dpcm
Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi n ≥ 1
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với x ≠ k2π, n ≥ 1
\(\sin x+\sin 2x+\sin 3x+...+\sin nx=\frac{\sin \dfrac{nx}{2}.\sin \dfrac{\left( n+1 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}\)
Hướng dẫn giải
Với n = 1 ta có: VT = sin x; \(VP=\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}.\sin x}{\sin \dfrac{x}{2}}\) = sinx = VT ⇒ (1) đúng
Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 tức là:
sin x + sin2x + sin 3x + sin4x + ... + sin kx = \(\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}.\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}\) (2)
Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1 tức là:
sin x + sin2x + sin 3x + sin4x + ... + sin kx + sin(k + 1)x = \(\dfrac{\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}.\sin \dfrac{\left( k+2 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}\)
Tức là:
\(\begin{align} & \sin x+\sin 2x+\sin 3x+...+\sin kx+\sin \left( k+1 \right)x=\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}.\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}+\sin \left( k+1 \right)x \\ & =\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}.\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}+\sin \left[ \left( k+1 \right)x \right].\sin \dfrac{x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}} \end{align}\)
\(=\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}.\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}+2\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}.\cos \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}.\sin \dfrac{x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}} \\\)
\(=\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}.\left[ \dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}+2.\cos \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}.\sin \dfrac{x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}} \right]\)
\(=\dfrac{\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}.\sin \dfrac{\left( k+2 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}\)
= VP ⇒ dpcm
Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi x ≠ k2π, n ≥ 1
*** Bài tập rèn luyện***
Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có:
a. 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + n(n + 1) = \(\frac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}{3}\)
b. 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 = \(\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}\)
c. \(\frac{1}{3}+\frac{2}{{{3}^{2}}}+\frac{3}{{{3}^{3}}}+...+\frac{n}{{{3}^{n}}}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{{{4.3}^{n}}}\)
Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có:
\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+2}}}}}=2\cos \dfrac{\pi }{{{2}^{n+1}}}\)
Bài tập 3: Chứng minh đẳng thức đúng với mọi \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)
\(\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}=\frac{n\left( n+3 \right)}{4.\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}\)
2. Tính tổng một số dãy số có quy luật đã biết
Phương pháp:
Một số công thức tổng suy ra từ phương pháp quy nạp ở trên:
- \(1+2+3+...+n=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\)
- \({{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}\)
- \({{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{n}^{3}}=\frac{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{4}\)
- \({{1}^{5}}+{{2}^{5}}+{{3}^{5}}+...+{{n}^{5}}=\frac{1}{12}{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}\left( 2{{n}^{2}}+2n-1 \right)\)
Ví dụ 1: Tính tổng của dãy số:
a. \(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left( n+1 \right)}\)
b. \(B=\left( 1-\frac{1}{{{2}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{3}^{3}}} \right).\left( 1-\frac{1}{{{4}^{2}}} \right)...\left( 1-\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)\)
Hướng dẫn giải
a. Ta có:
\(\begin{align} & \frac{1}{k\left( k+1 \right)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \\ & \Rightarrow A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left( n+1 \right)} \\ & =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1} \\ \end{align}\)
\(b. B=\left( 1-\frac{1}{{{2}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{3}^{3}}} \right).\left( 1-\frac{1}{{{4}^{2}}} \right)...\left( 1-\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)\)
Ta có: \(a-\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{\left( a-1 \right)\left( a+1 \right)}{{{a}^{2}}}\)
\(\begin{align} & B=\left( 1-\frac{1}{{{2}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{3}^{3}}} \right).\left( 1-\frac{1}{{{4}^{2}}} \right)...\left( 1-\frac{1}{{{n}^{2}}} \right) \\ & =\dfrac{1.3}{{{2}^{2}}}.\dfrac{2.4}{{{3}^{2}}}.\dfrac{3.5}{{{4}^{2}}}....\dfrac{\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)}{{{n}^{2}}}=\dfrac{n+1}{2n} \\ \end{align}\)
*** Bài tập rèn luyện ***
Bài tập 1: Tính tổng dãy số:
a. \(A=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}\)
b. \(B=\frac{3}{{{\left( 1.2 \right)}^{2}}}+\frac{5}{{{\left( 2.3 \right)}^{2}}}+...+\frac{2n+1}{{{\left[ n\left( n+1 \right) \right]}^{2}}}\)
Bài tập 2: Tính tổng các dãy số:
\(a. C=\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left( n+1 \right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\)
\(b. C=\left( 1-\frac{1}{{{a}_{1}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{a}_{2}}} \right).....\left( 1-\frac{1}{{{a}_{n}}} \right),{{a}_{n}}=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\)
3.Tính tổng theo công thức nhị thức Newton
Phương pháp: Dựa vào khai triển nhị thức Newton:
\({{\left( a+b \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+C_{n}^{2}.{{a}^{n-2}}.{{b}^{2}}+...+C_{n}^{n}.{{b}^{n}}\)
Một số công thức liên quan:
\(C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}\)\(\sum\limits_{k=0}^{n}{{{a}^{k}}}C_{n}^{k}={{\left( 1+a \right)}^{n}}\)\(\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}}C_{n}^{k}=0\)\(C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+C_{n}^{3}+...+C_{n}^{n}={{2}^{n}}\)\(\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{2n}^{2k}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{2n}^{2k-1}=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{2n}^{k}}}}\)
Ví dụ 1: Tính tổng của dãy số sau:
\(S=\frac{1}{2}.C_{n}^{0}-\frac{1}{4}C_{n}^{1}+\frac{1}{6}C_{n}^{3}+...+\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{2\left( n+1 \right)}.C_{n}^{n}\)
Hướng dẫn giải
\(\begin{align} & S=\frac{1}{2}.C_{n}^{0}-\frac{1}{4}C_{n}^{1}+\frac{1}{6}C_{n}^{3}+...+\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{2\left( n+1 \right)}.C_{n}^{n} \\ & =\frac{1}{2}\left( C_{n}^{0}-\frac{1}{2}C_{n}^{1}+\frac{1}{3}C_{n}^{3}+...+\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{n+1}.C_{n}^{n} \right) \\ \end{align}\)
Ta có: \(\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k+1}.C_{n}^{k}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{n+1}.C_{n+1}^{k+1}\) nên suy ra:
\(S=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k+1}}=\frac{-1}{2\left( n+1 \right)}.\left( \sum\limits_{k=0}^{n+1}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k}}-C_{n+1}^{0} \right)=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}\)
Ví dụ 2: Tính tổng của dãy số:
\(S=C_{n}^{1}{{3}^{n-1}}+2C_{n}^{2}{{3}^{n-2}}+3C_{n}^{3}{{.3}^{n-3}}+...+nC_{n}^{n}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(S=C_{n}^{1}{{3}^{n-1}}+2C_{n}^{2}{{3}^{n-2}}+3C_{n}^{3}{{.3}^{n-3}}+...+nC_{n}^{n}={{3}^{n}}\sum\limits_{k=1}^{n}{k.C_{n}^{k}.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{k}}}\)
Do \(kC_{k}^{n}.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{k}}=n.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{k}}.C_{n-1}^{k-1},k\ge 1\)
\(\Leftrightarrow S={{3}^{n}}\sum\limits_{k=1}^{n}{k.C_{n}^{k}.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{k}}}={{3}^{n}}.n.\sum\limits_{k=1}^{n}{C_{n-1}^{k-1}.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{k}}}\)
\(={{3}^{n-1}}.n.\sum\limits_{k=1}^{n-1}{C_{n-1}^{k}.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{k}}={{3}^{n-1}}.n.{{\left( 1+\frac{1}{3} \right)}^{n-1}}=n{{.4}^{n-1}}}\)
***Bài tập rèn luyện***
Bài tập 1: Tính tổng các dãy sau
\(a. A={{\left( C_{n}^{0} \right)}^{2}}+{{\left( C_{n}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{n}^{2} \right)}^{2}}+...+{{(C_{n}^{n})}^{2}}\)
\(b. B=C_{n}^{1}{{3}^{n-1}}+2C_{n}^{2}{{3}^{n-2}}+3C_{n}^{3}{{3}^{n-3}}+....+nC_{n}^{n}\)
Bài tập 2: Tính tổng dãy
\(a. D=C_{n}^{0}.C_{n}^{k}+C_{n}^{2}.C_{n-1}^{k-1}+...+C_{n}^{k}C_{n-k}^{0},0\le k\le n\)
\(b. E=C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+...+nC_{n}^{n}\)
4. Tính tổng của cấp số cộng
Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) là cấp số cộng có dạng: \(\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=a \\ {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+d \\ \end{matrix},n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right.\)
Phương pháp: Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng, công sai d là:
\({{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+...+{{u}_{n}}=\frac{n}{2}\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)=\frac{n}{2}\left( 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right)\)
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng thỏa mãn \(\left\{ \begin{matrix} {{u}_{5}}+3{{u}_{3}}-{{u}_{2}}=-21 \\ 3{{u}_{7}}-2{{u}_{4}}=-34 \\ \end{matrix} \right.\)
Tính tổng S = u4 + u5 + u6 + u7 + ... + u30
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết bài toán ta có:
\(\begin{align} & \left\{ \begin{matrix} {{u}_{5}}+3{{u}_{3}}-{{u}_{2}}=-21 \\ 3{{u}_{7}}-2{{u}_{4}}=-34 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+4d+3\left( {{u}_{1}}+2d \right)-{{u}_{1}}-d=-21 \\ 3\left( {{u}_{1}}+6d \right)-2\left( {{u}_{1}}-3d \right)=-34 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+3d=-7 \\ {{u}_{1}}+12d=-34 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=2 \\ d=3 \\ \end{matrix} \right. \right. \\ \end{align}\)
S = u4 + u5 + u6 + u7 + ... + u30 = \(\frac{27}{2}\)[2.u4 + 26d] = 27.(u1 + 16d) = -1242
Ví dụ 2: Cho cấp số cộng có dạng: \(\left\{ \begin{matrix} {{u}_{2}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\ {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{matrix} \right.\)
Tính tổng S = u5 + u7 + u9 + u11 + ..... + u2011
Hướng dẫn giải
\(\begin{align} & \left\{ \begin{matrix} {{u}_{2}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\ {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+d-{{u}_{1}}-2d+{{u}_{1}}+4d=10 \\ {{u}_{1}}+3d+{{u}_{1}}+5d=26 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+3d=10 \\ {{u}_{1}}+4d=13 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=1 \\ d=3 \\ \end{matrix} \right. \right. \\ \end{align}\)
S = u5 + u7 + u9 + u11 + ..... + u2011 = \(\dfrac{1003}{2}\)(2u5 + 1002.6) = 3028057
***Bài tập rèn luyện***
Bài tập 1: Cho cấp số cộng có u4 = -12; u14 = 18. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số công.
Bài tập 2: Cho cấp số cộng biết u5 = 18; Sn = 0,25S2n. Tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng.
Bài tập 3: Cho cấp số cộng u2013 + u6 = 1000. Tính tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
5. Tính tổng của cấp số nhân
Cho dãy số (Un) là cấp số nhân có dạng \(\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=a \\ {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q \\ \end{matrix},n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right.\)
Phương pháp: Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân công bội q là:
\({{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+...+{{u}_{n}}={{u}_{1}}.\frac{{{q}^{n}}-1}{q-1}\)
Ví dụ 1: Tính tổng của dãy số
a. \(S=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+....\)
b. \(S=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+...\)
(Để xem trọn bộ đáp án của tài liệu, mời các bạn học sinh tải tài liệu về)
----------------------------------------------
Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới thầy cô và bạn đọc tài liệu Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật Toán 11. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài học rồi đúng không ạ? Bài viết cho chúng ta thấy được cách tính tổng dãy số áp dụng phương pháp quy nạp, cách tính tổng một số dãy số có quy luật đã biết, cách tính tổng theo công thức nhị thức Newton, tính tổng của cấp số cộng, tính tổng của cấp số nhân... Hi vọng đây là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 11 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Mời các bạn cùng tham khảo thêm các môn Ngữ văn lớp 11, Tiếng Anh lớp 11... Chúc các bạn học tốt!
Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu học tập liên quan đến bài học tại các mục sau:
