Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật Toán 11

Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán và công thức tính tổng dãy số lớp 11. Tài liệu Toán lớp 11 này có các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài và cách tính tổng một dãy số có quy luật bất kỳ. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

Bài toán tính tổng dãy số lớp 11

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

1. Tính tổng dãy số áp dụng phương pháp quy nạp

Phương pháp quy nạp toán học

- Quy nạp toán học là hình thức chúng minh trực tiếp thường được thực hiện theo 2 bước:

+ Bước cơ sở: Chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên đầutiên

+ Bước quy nạp: Giả định mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì ta chứng minh nó đúng với số tự nhiên tiếp theo

a. Quy nạp cấu trúc

+ Bước cơ sở: Chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên đầu tiên, thường là n = 0 hoặc n = 1

+ Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với n (giả thiết quy nạp), sau đó cũng đúng với n + 1

Chú ý: Việc chọn số tự nhiên ở bước cơ sở ta dựa vào định nghĩa của số đó

b. Quy nạp siêu hạn

- Quy nạp siêu hạn là mở rộng của quy nạp toán học cho các tập hợp sắp thứ tự tốt

- Giả sử A(n) là thuộc tính xác định cho tất cả số thứ tự n. Giả sử A(m) đúng cho tất cả m < n thì A(n) cũng đúng. Quy nạp cho ta biết A luôn đúng cho tất cả các số thứ tự

- Quy trình 3 bước:

+ Bước cơ sở: Chứng minh A(0) đúng

+ Bước quy nạp: Chứng minh với tất cả các số thứ tự bất kì tiếp theo n + 1

A(n + 1) là hệ quả của A(n).

+ Bước giới hạn: Chứng minh rằng với mọi thứ tự giới hạn k, A(k) là hệ quả của A(m) với mọi m < k

Ví dụ 1: Chứng minh rằng 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + n = $\frac{n(n+1)}{2}$ đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1

Hướng dẫn giải

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + .... + n = $\frac{n(n+1)}{2}$ (1)

Bước 1: Với n = 1 ta có: VT = VP = 1 ⇒ (1) đúng với n = 1

Bước 2: Giả sử (1) đúng với k, k ∈ $\mathbb{N}$; k ≥ 1 tức là:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k = $\frac{k(k+1)}{2}$

Ta phải chứng minh (1) đúng với k + 1 tức là:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k + (k + 1)  = $\frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$ (2)

Ta có:

1+ 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k + (k + 1)

= (1 + 2 + 3 + ... + k) + k + 1 

= ${\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}$ + k + 1

= ${\displaystyle \frac{k^2+3k+2}{2}}$

= ${\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}}$

 = (2) ⇒ dpcm

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi n ≥ 1

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với x ≠ k2π, n ≥ 1

$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+...+\sin nx=\frac{\sin {\displaystyle \frac{nx}{2}}.\sin {\displaystyle \frac{(n+1)x}{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}$

Hướng dẫn giải

Với n = 1 ta có: VT = sin x; $VP={\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}.\sin x}{\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}}$ = sinx = VT ⇒ (1) đúng

Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 tức là:

sin x + sin2x + sin 3x + sin4x + ... + sin kx = ${\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{kx}{2}}.\sin {\displaystyle \frac{(k+1)x}{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}}$ (2)

Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1 tức là:

sin x + sin2x + sin 3x + sin4x + ... + sin kx + sin(k + 1)x = ${\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{(k+1)x}{2}}.\sin {\displaystyle \frac{(k+2)x}{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}}$

Tức là:

$\begin{array}{}\text{(1)}& & \sin x+\sin 2x+\sin 3x+...+\sin kx+\sin (k+1)x={\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{kx}{2}}.\sin {\displaystyle \frac{(k+1)x}{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}}+\sin (k+1)x\text{(2)}& & ={\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{kx}{2}}.\sin {\displaystyle \frac{(k+1)x}{2}}+\sin \left[(k+1)x\right].\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}}\end{array}$

$={\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{kx}{2}}.\sin {\displaystyle \frac{(k+1)x}{2}}+2\sin {\displaystyle \frac{(k+1)x}{2}}.\cos {\displaystyle \frac{(k+1)x}{2}}.\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}}$

$=\sin {\displaystyle \frac{(k+1)x}{2}}.\left[{\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{kx}{2}}+2.\cos {\displaystyle \frac{(k+1)x}{2}}.\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}}\right]$

$={\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{(k+1)x}{2}}.\sin {\displaystyle \frac{(k+2)x}{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}}$

= VP ⇒ dpcm

Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi x ≠ k2π, n ≥ 1

*** Bài tập rèn luyện***

Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có:

a. 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + n(n + 1) = $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

b. 1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

c. $\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{n}{3^n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{{4.3}^n}$

Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có:

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+2}}}}}=2\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2^{n+1}}}$

Bài tập 3: Chứng minh đẳng thức đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

$\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4.(n+1)(n+2)}$

2. Tính tổng một số dãy số có quy luật đã biết

Ví dụ 1: Tính tổng của dãy số:

a. $A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}$

b. $B=(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^3}).(1-\frac{1}{4^2})...(1-\frac{1}{n^2})$

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

$\begin{array}{}\text{(3)}& & \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\text{(4)}& & \Rightarrow A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}\text{(5)}& & =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}\end{array}$

$b.B=(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^3}).(1-\frac{1}{4^2})...(1-\frac{1}{n^2})$

Ta có: _{$a-\frac{1}{a^2}=\frac{(a-1)(a+1)}{a^2}$}

$\begin{array}{}\text{(6)}& & B=(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^3}).(1-\frac{1}{4^2})...(1-\frac{1}{n^2})\text{(7)}& & ={\displaystyle \frac{1.3}{2^2}}.{\displaystyle \frac{2.4}{3^2}}.{\displaystyle \frac{3.5}{4^2}}....{\displaystyle \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}}={\displaystyle \frac{n+1}{2n}}\end{array}$

*** Bài tập rèn luyện ***

Bài tập 1: Tính tổng dãy số:

a. $A=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

b. $B=\frac{3}{{\left(1.2\right)}^2}+\frac{5}{{\left(2.3\right)}^2}+...+\frac{2n+1}{{\left[n(n+1)\right]}^2}$

Bài tập 2: Tính tổng các dãy số:

$a.C=\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$

$b.C=(1-\frac{1}{a_1})(1-\frac{1}{a_2}).....(1-\frac{1}{a_n}),a_n=\frac{n(n+1)}{2}$

3.Tính tổng theo công thức nhị thức Newton

Ví dụ 1: Tính tổng của dãy số sau:

$S=\frac{1}{2}.C_n^0-\frac{1}{4}{C}_n^1+\frac{1}{6}{C}_n^3+...+\frac{{(-1)}^n}{2(n+1)}.C_n^n$

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{}\text{(8)}& & S=\frac{1}{2}.C_n^0-\frac{1}{4}{C}_n^1+\frac{1}{6}{C}_n^3+...+\frac{{(-1)}^n}{2(n+1)}.C_n^n\text{(9)}& & =\frac{1}{2}(C_n^0-\frac{1}{2}{C}_n^1+\frac{1}{3}{C}_n^3+...+\frac{{(-1)}^n}{n+1}.C_n^n)\end{array}$

Ta có: _{$\frac{{(-1)}^k}{k+1}.C_n^k=\frac{{(-1)}^k}{n+1}.C_{n+1}^{k+1}$} nên suy ra:

$S=\frac{1}{2(n+1)}\sum _{k=0}^n{(-1)}^k{C}_{n+1}^{k+1}=\frac{-1}{2(n+1)}.(\sum _{k=0}^{n+1}{(-1)}^k{C}_{n+1}^k-C_{n+1}^0)=\frac{1}{2(n+1)}$

Ví dụ 2: Tính tổng của dãy số:

$S=C_n^1{3}^{n-1}+2C_n^2{3}^{n-2}+3C_n^3{.3}^{n-3}+...+n{C}_n^n$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$S=C_n^1{3}^{n-1}+2C_n^2{3}^{n-2}+3C_n^3{.3}^{n-3}+...+n{C}_n^n=3^n\sum _{k=1}^{n}k.C_n^k.{\left(\frac{1}{3}\right)}^k$

 

 

Do $k{C}_k^n.{\left(\frac{1}{3}\right)}^k=n.{\left(\frac{1}{3}\right)}^k.C_{n-1}^{k-1},k\ge 1$

$\iff S=3^n\sum _{k=1}^{n}k.C_n^k.{\left(\frac{1}{3}\right)}^k=3^n.n.\sum _{k=1}^n{C}_{n-1}^{k-1}.{\left(\frac{1}{3}\right)}^k$

$=3^{n-1}.n.\sum _{k=1}^{n-1}{C}_{n-1}^k.{\left(\frac{1}{3}\right)}^k=3^{n-1}.n.{(1+\frac{1}{3})}^{n-1}=n{.4}^{n-1}$

***Bài tập rèn luyện***

Bài tập 1: Tính tổng các dãy sau

$a.A={\left(C_n^0\right)}^2+{\left(C_n^1\right)}^2+{\left(C_n^2\right)}^2+...+{(C_n^n)}^2$

$b.B=C_n^1{3}^{n-1}+2C_n^2{3}^{n-2}+3C_n^3{3}^{n-3}+....+n{C}_n^n$

Bài tập 2: Tính tổng dãy

$a.D=C_n^0.C_n^k+C_n^2.C_{n-1}^{k-1}+...+C_n^k{C}_{n-k}^0,0\le k\le n$

$b.E=C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+...+n{C}_n^n$

4. Tính tổng của cấp số cộng

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng thỏa mãn _{$\{\begin{array}{c}{u}_5+3u_3-u_2=-21\\ 3u_7-2u_4=-34\end{array}$}

Tính tổng S = u₄ + u₅ + u₆ + u₇ + ... + u₃₀

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết bài toán ta có:

$\begin{array}{}\text{(10)}& & \{\begin{array}{c}{u}_5+3u_3-u_2=-21\\ 3u_7-2u_4=-34\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{u}_1+4d+3(u_1+2d)-u_1-d=-21\\ 3(u_1+6d)-2(u_1-3d)=-34\end{array}\text{(11)}& & \iff \{\begin{array}{c}{u}_1+3d=-7\\ u_1+12d=-34\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{u}_1=2\\ d=3\end{array}\end{array}$

S = u₄ + u₅ + u₆ + u₇ + ... + u₃₀ = $\frac{27}{2}$[2.u₄ + 26d] = 27.(u₁ + 16d) = -1242

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng có dạng: $\{\begin{array}{c}{u}_2-u_3+u_5=10\\ u_4+u_6=26\end{array}$

Tính tổng S = u₅ + u₇ + u₉ + u₁₁ + ..... + u₂₀₁₁

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{}\text{(12)}& & \{\begin{array}{c}{u}_2-u_3+u_5=10\\ u_4+u_6=26\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{u}_1+d-u_1-2d+u_1+4d=10\\ u_1+3d+u_1+5d=26\end{array}\text{(13)}& & \iff \{\begin{array}{c}{u}_1+3d=10\\ u_1+4d=13\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{u}_1=1\\ d=3\end{array}\end{array}$

S = u₅ + u₇ + u₉ + u₁₁ + ..... + u₂₀₁₁ = ${\displaystyle \frac{1003}{2}}$(2u₅ + 1002.6) = 3028057

***Bài tập rèn luyện***

Bài tập 1: Cho cấp số cộng có u₄ = -12; u₁₄ = 18. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số công.

Bài tập 2: Cho cấp số cộng biết u₅ = 18; S_n = 0,25S_2n. Tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng.

Bài tập 3: Cho cấp số cộng u₂₀₁₃ + u₆ = 1000. Tính tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

5. Tính tổng của cấp số nhân

Ví dụ 1: Tính tổng của dãy số

a. $S=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+....$

b. $S=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+...$

 

(Để xem trọn bộ đáp án của tài liệu, mời các bạn học sinh tải tài liệu về)

----------------------------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới thầy cô và bạn đọc tài liệu Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật Toán 11. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài học rồi đúng không ạ? Bài viết cho chúng ta thấy được cách tính tổng dãy số áp dụng phương pháp quy nạp, cách tính tổng một số dãy số có quy luật đã biết, cách tính tổng theo công thức nhị thức Newton, tính tổng của cấp số cộng, tính tổng của cấp số nhân... Hi vọng đây là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 11 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Mời các bạn cùng tham khảo thêm các môn Ngữ văn lớp 11, Tiếng Anh lớp 11... Chúc các bạn học tốt!

Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu học tập liên quan đến bài học tại các mục sau:

• Bài tập Toán lớp 11: Đạo hàm
• Chuyên đề Hàm số liên tục: Lý thuyết và bài tập nâng cao
• 300 câu trắc nghiệm đạo hàm theo chủ đề có đáp án
• 429 câu hỏi trắc nghiệm chuyên đề quan hệ vuông góc trong không gian
• Giải bài tập Toán 11 ôn tập chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác