Cách giải bất phương trình mũ

Bài tập Toán 11: Bất phương trình mũ - Có đáp án chi tiết 

Bất phương trình mũ là một trong những dạng toán quan trọng trong chương trình Toán THPT, đặc biệt thường xuất hiện trong đề thi học kỳ và kỳ thi tốt nghiệp THPT. Để giải tốt dạng toán này, học sinh cần nắm rõ bản chất của hàm số mũ, điều kiện xác định, cũng như các bước biến đổi tương đương. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải bất phương trình mũ một cách chi tiết, dễ hiểu, kèm theo ví dụ minh họa và mẹo giải nhanh giúp bạn tự tin xử lý mọi dạng bài liên quan.

A. Cách giải bất phương trình mũ chi tiết 

1. Bất phương trình mũ 

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng \({a^x} > b\) (hoặc \({a^x} \geqslant b,{a^x} < b,{a^x} \leqslant b\)) với \(a > 0,a \ne 1\).

Để giải, ta xét bất phương trình có dạng \({a^x} > b\)

- Nếu \(b \leq 0\), tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\), vì \({a^x} > b,\forall x \in \mathbb{R}\)

- Nếu \(b > 0\) thì bất phương trình tương đương với \({a^x} > {a^{{{\log }_a}b}}\), khi đó:

+) Với \(a>1\), nghiệm của bất phương trình là \(x > {\log _a}b\)

+) Với \(0 < a < 1\), nghiệm của bất phương trình là \(x < {\log _a}b\)

2. Các phương pháp giải bất phương trình mũ 

Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

\(\boxed{{a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} a > 1 \hfill \\ f\left( x \right) > g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 0 < a < 1 \hfill \\ f\left( x \right) < g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.}\)

Tương tự với bất phương trình dạng:

\(\left[ \begin{gathered} {a^{f\left( x \right)}} \geqslant {a^{g\left( x \right)}} \hfill \\ {a^{f\left( x \right)}} < {a^{g\left( x \right)}} \hfill \\ {a^{f\left( x \right)}} \leqslant {a^{g\left( x \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Trong trường hợp cơ số \(a\) có chứa ẩn số thì:

\(\boxed{{a^M} > {a^N} \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {M - N} \right) > 0}\).

Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: đưa về cùng cơ số; đặt ẩn phụ.

Sử dụng tính đơn điệu:

\(\left\{ \begin{gathered} y = f\left( x \right) \mbox{ đồng biến trên D thì } f\left( u \right) < f\left( v \right) \Rightarrow u < v \hfill \\ y = f\left( x \right) \text{ nghịch biến trên D thì } f\left( u \right) < f\left( v \right) \Rightarrow u > v \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

B. Bài tập giải bất phương trình mũ có đáp án

Bài 1. Giải bất phương trình: \(\frac{2^{1 - x} - 2^{x} + 1}{2^{x} - 1} \geq 0\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: \(0 < x \leq 1\)

(1) ⇔ \((x + 3)|x - 1| = 4x\) ⇔ x = 3; x =\(- 3 + 2\sqrt{3}\)

Bài 2. Giải bất phương trình: \(9^{x^{2} + x - 1} + 1 \geq 10.3^{x^{2} + x - 2}\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(t = 3^{x^{2} + x}\), t > 0.

Bất phương trình trở thành: t² – 10t + 9 ≥ 0 ⇔ ( t ≤ 1 hoặc t ≥ 9)

Khi t ≤ 1 ⇒ \(t = 3^{x^{2} + x} \leq 1 \Leftrightarrow x^{2} + x \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq x \leq 0\).(i)

Khi t ≥ 9 ⇒ \(t = 3^{x^{2} + x} \geq 9 \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \leq - 2 \\ x \geq 1 \\ \end{matrix} \right.\)(2i)

Kết hợp (i) và (2i) ta có tập nghiệm của bpt là: S = (- ∞; -2]∪[-1;0]∪[1; + ∞).

Bài 3. Giải bất phương trình mũ: \(9^{x^{2} - 2x} - 2\left( \frac{1}{3} \right)^{2x - x^{2}} \leq 3\ \ \ \ (1)\)

Hướng dẫn giải

Ta có: (1) \(\Leftrightarrow 9^{x^{2} - 2x} - 2.3^{x^{2} - 2x} \leq 3\). Đặt \(t = 3^{x^{2} - 2x} > 0\), (1) trở thành

\(t^{2} - 2t - 3 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq t \leq 3\).

Do đó (1)\(\Leftrightarrow - 1 \leq 3^{x^{2} - 2x} \leq 3 \Leftrightarrow 0 < 3^{x^{2} - 2x} \leq 3^{1}\)

\(\Leftrightarrow x^{2} - 2x \leq 1 \Leftrightarrow x^{2} - 2x - 1 \leq 0\)

\(\Leftrightarrow 1 - \sqrt{2} \leq x \leq 1 + \sqrt{2}\)

Bài 4. Giải bất phương trình : \(5^{1 + x^{2}} - 5^{1 - x^{2}}\) > 24. (2)

Hướng dẫn giải

Bất phương trình : \(5^{1 + x^{2}} - 5^{1 - x^{2}}\) > 24. (2)

(2) \(\Leftrightarrow 5\left( 5^{x^{2}} \right)^{2} - 24\left( 5^{x^{2}} \right) - 5 \succ 0 \Leftrightarrow 5^{x^{2}} \succ 5 \Leftrightarrow\)x² > 1\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x > 1 \\ x < - 1 \\ \end{matrix} \right.\)

Bài 5. Giải bất phương trình :\(3^{\sqrt{x + 1}} + 3^{1 - \sqrt{x + 1}} - 4 \geq 0\)

Hướng dẫn giải

Bất phương trình \(\Leftrightarrow 3^{2\sqrt{x + 1}} - 4.3^{\sqrt{x + 1}} + 3 \geq 0\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3^{\sqrt{x + 1}} \geq 3 \\ 3^{\sqrt{x + 1}} \leq 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sqrt{x + 1} \geq 1 \\ \sqrt{x + 1} \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \geq 0 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} \right.\)

Nghiệm bất phương tình là : T = \(\left\{ - 1 \right\} \cup \lbrack 0; + \infty)\).

Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay.

---------------------------------------------

Việc thành thạo cách giải bất phương trình mũ không chỉ giúp bạn học tốt chương trình Toán lớp 11 mà còn là hành trang quan trọng khi bước vào các kỳ thi lớn. Qua những hướng dẫn và ví dụ trong bài viết, hy vọng bạn đã nắm được phương pháp chung, cách xét điều kiện xác định và biến đổi biểu thức mũ một cách linh hoạt. Đừng quên luyện tập thường xuyên và theo dõi thêm nhiều bài viết học tốt môn Toán THPT khác để củng cố kiến thức nhé!