Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Công thức tính tứ phân vị

Mẫu số liệu ghép nhóm

Bài trước

Bài sau

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Công thức tứ phân vị

A. Tứ phân vị là gì?
B. Cách tính tứ phân vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm
C. Bài tập tính tứ phân vị

Tứ phân vị là một khái niệm quan trọng trong thống kê thành phần dữ liệu tập các phần sử dụng để phân bố cục. Tài liệu dưới đây là một khái niệm quan trọng trong thống kê, giúp chia dữ liệu thành bốn thành phần để phân tích bố cục.

A. Tứ phân vị là gì?

Tứ phân vị (tiếng Anh: quartiles) là các giá trị chia một tập hợp số liệu thành bốn phần bằng nhau theo thứ tự tăng dần, mỗi phần chiếm 25% số liệu. Chúng giúp mô tả sự phân bố và mức độ phân tán của dữ liệu.

Có 3 tứ phân vị chính:

Tứ phân vị thứ nhất (Q1) – Còn gọi là phân vị thứ 25: Là giá trị mà 25% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó.
Tứ phân vị thứ hai (Q2) – Chính là trung vị (median): Là giá trị chia dữ liệu thành hai nửa bằng nhau (50% nhỏ hơn, 50% lớn hơn).
Tứ phân vị thứ ba (Q3) – Phân vị thứ 75: Là giá trị mà 75% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó.

B. Cách tính tứ phân vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

Nhóm	$\left\lbrack a_{1};a_{2} \right)$	…	$\left\lbrack a_{i};a_{i + 1} \right)$	…	$\left\lbrack a_{k};a_{k + 1} \right)$
Tần số	$m_{1}$	…	$m_{i}$	…	$m_{k}$

Công thức Tứ phân vị thứ nhất

Để tìm tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_{1}$ , giả sử đó là nhóm thứ p: $\left\lbrack a_{p};a_{p + 1} \right)$ . Khi đó:

$Q_{1} = a_{p} + \dfrac{\dfrac{n}{4} - \left( m_{1} + ... + m_{p - 1} \right)}{m_{p}}.\left( a_{p + 1} - a_{p} \right)$

Trong đó n là cỡ mẫu, $m_{p}$ là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước $m_{1} + ... + m_{p - 1} = 0$ .

Công thức tính tứ phân vị thứ ba

Để tìm tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_{3}$ , giả sử đó là nhóm thứ p: $\left\lbrack a_{p};a_{p + 1} \right)$ . Khi đó:

$Q_{3} = a_{p} + \dfrac{\dfrac{3n}{4} - \left( m_{1} + ... + m_{p - 1} \right)}{m_{p}}.\left( a_{p + 1} - a_{p} \right)$

Trong đó n là cỡ mẫu, $m_{p}$ là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước $m_{1} + ... + m_{p - 1} = 0$ .

Tứ phân vị thứ hai $Q_{2}$ chính là trung vị $M_{e}$ .

Công thức tính khoảng tứ phân vị

Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là $\Delta_{Q}$ là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, tức là: $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$

C. Bài tập tính tứ phân vị

Ví dụ. Cho bảng thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của học sinh lớp 12A và lớp 12B như sau:

Chiều cao	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)	[175; 180)	[180; 185)
12A	2	7	12	3	0	1
12B	5	9	8	2	1	0

Em có nhận xét gì về độ phân tán của hai lớp 12A và 12B?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Chiều cao	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)	[175; 180)	[180; 185)
12A	2	7	12	3	0	1
Tần số tích lũy	2	9	21	24	24	25

Cỡ mẫu . Gọi $x_{1};x_{2};...;x_{25}$ là mẫu số liệu gốc

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( x_{6} + x_{7} \right)$ thuộc nhóm [160; 165)

$Q_{1} = 160 + \dfrac{\dfrac{25}{4} -2}{7}(165 - 160) = \dfrac{4565}{28}$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( x_{19} + x_{20} \right)$ thuộc nhóm [165; 170)

$Q_{3} = 165 + \dfrac{3.\dfrac{25}{4} -9}{12}(170 - 165) = \dfrac{2705}{16}$

Do đó khoảng tứ phân vị $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{675}{112} \approx 6,03$

Chiều cao	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)	[175; 180)	[180; 185)
12B	5	9	8	2	1	0
Tần số tích lũy	5	14	22	24	25	25

Cỡ mẫu . Gọi $x_{1};x_{2};...;x_{25}$ là mẫu số liệu gốc

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( x_{6} + x_{7} \right)$ thuộc nhóm [160; 165)

$Q_{1} = 160 + \dfrac{\dfrac{25}{4} -5}{9}(165 - 160) = \dfrac{5785}{36}$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( x_{19} + x_{20} \right)$ thuộc nhóm [165; 170)

$Q_{3} = 165 + \dfrac{3.\dfrac{25}{4} -14}{8}(170 - 165) = \dfrac{5375}{32}$

Do đó khoảng tứ phân vị $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 7,27$

Vậy nửa giữa mẫu số liệu chiều cao của học sinh lớp 12A có độ phân tán nhỏ hơn lớp 12B.

Ví dụ: Cho biểu đồ thống kê thời gian tập thể dục buổi sáng của hai người A và B

Gọi khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu về thời gian tập thể dục của A và B lần lượt là $\Delta_{Q_{A}};\Delta_{Q_{B}}$ . So sánh $\Delta_{Q_{A}};\Delta_{Q_{B}}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Đối tượng	[15; 20)	[20; 25)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40)
A	5	12	8	3	2
Tần số tích lũy	5	17	25	28	30

Cỡ mẫu $N = 30 \Rightarrow \frac{N}{4} = 7,5$

=> Nhóm chứa $Q_{1}$ là: [20; 25)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 20;m = 5,f = 12;c = 25 - 20 = 5$

$\Rightarrow Q_{1} = l + \dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$ $= 20 + \dfrac{7,5 - 5}{12}.5 = \dfrac{505}{24}$

Cỡ mẫu $\frac{3N}{4} = 22,5$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [25; 30)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 25;m = 17,f = 8;c = 5$

$\Rightarrow Q_{3} = l + \dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c$ $= 25 + \dfrac{22,5 - 17}{8}.5 =\dfrac{455}{16}$ .

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu về thời gian tập thể dục của A là:

$\Delta_{Q_{A}} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{355}{48} \approx 7,4$ .

Đối tượng	[15; 20)	[20; 25)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40)
B	0	25	5	0	0
Tần số tích lũy	0	25	30	0	0

Cỡ mẫu $N = 30 \Rightarrow \frac{N}{4} = 7,5$

=> Nhóm chứa $Q_{1}$ là: [20; 25)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 20;m = 0,f = 25;c = 25 - 20 = 5$

$\Rightarrow Q_{1} = l + \dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$ $= 20 + \dfrac{7,5 - 0}{25}.5 = \dfrac{43}{2}$

Cỡ mẫu $\frac{3N}{4} = 22,5$

=> Nhóm chứa $Q_{1}$ là: [20; 25)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 20;m = 0,f = 25;c = 25 - 20 = 5$

$\Rightarrow Q_{3} = l + \dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c$ $= 20 + \dfrac{22,5 - 0}{25}.5 = \dfrac{49}{2}$ .

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu về thời gian tập thể dục của B là:

$\Delta_{Q_{B}} = Q_{3} - Q_{1} = 3$ .

Vậy kết luận đúng là: $\Delta_{Q_{A}} > \Delta_{Q_{B}}$ .

Ví dụ. Thời gian truy cập internet mỗi buổi trưa của một số học sinh được cho trong bảng sau:

Thời gian (phút)	$\lbrack 9,5;12,5)$	$\lbrack 12,5;15,5)$	$\lbrack 15,5;18,5)$	$\lbrack 18,5;21,5)$	$\lbrack 21,5;24,5)$
Số học sinh	3	12	15	24	2

Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu trên. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu là: .

Gọi $x_{1};...;x_{56}$ là thời gian truy cập internet của 56 học sinh và giả sữ dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó, tứ phân vị thứ nhất là $Q_{1} = \frac{x_{14} + x_{15}}{2}$ .

Do $x_{14},\ x_{15} \in \lbrack 12,5;\ 15,5)$ nên $Q_{1} = 12,5 + \frac{\frac{56}{4} - 3}{12}.3 \approx 15,3$

Tứ phân vị thứ ba là $Q_{3} = \frac{x_{42} + x_{43}}{2}$ .

Do $x_{14},\ x_{15} \in \lbrack 18,5;\ 21,5)$ nên $Q_{3} = 18,5 + \frac{\frac{3.56}{4} - 30}{24}.3 = 20$

Vậy tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu đã cho là 15,3

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu đã cho là 20.

Ví dụ 3. Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:

Điểm	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6

Khi đó giá trị tứ phân vị thứ ba bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Điểm	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6	N = 42
Tần số tích lũy	5	14	26	36	42

Cỡ mẫu $N = 42 \Rightarrow \frac{3N}{4} = 31,5$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [60; 80)

(Vì 31,5 nằm giữa hai tần số tích lũy 26 và 36)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 60;m = 26,f = 10;c = 80 - 60 = 20$

$\Rightarrow Q_{3} = l + \frac{\frac{3N}{4} - m}{f}.c = 60 + \frac{31,5 - 26}{10}.20 = 71$

Ví dụ 4. Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:

Số tiền (nghìn đồng)	Số người
[0; 50)	5
[50; 100)	12
[100; 150)	23
[150; 200)	17
[200; 250)	3

Tính $Q_{3}$ ? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Số tiền (nghìn đồng)	Số người	Tần số tích lũy
[0; 50)	5	5
[50; 100)	12	17
[100; 150)	23	40
[150; 200)	17	57
[200; 250)	3	60
	N = 60

Cỡ mẫu là: $N = 60 \Rightarrow \frac{3N}{4} = 45$

=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [150; 200) (vì 45 nằm giữa hai tần số tích lũy 40 va 57)

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} l = 150;\frac{3N}{4} = 45;m = 40;f = 17 \\ c = 200 - 150 = 50 \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow Q_{3} = l + \frac{\frac{3N}{4} - m}{f}.c$ $\Rightarrow Q_{3} = 150 + \frac{45 - 40}{17}.50 = \frac{2800}{17}$

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

30 lượt tải tài liệu

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Chia sẻ bởi:
Bọ Cạp

2.921

Bài trước

Bài sau

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Tìm bài trong mục này

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Công thức tính tứ phân vị

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Công thức tứ phân vị

A. Tứ phân vị là gì?

B. Cách tính tứ phân vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm

Công thức Tứ phân vị thứ nhất

Công thức tính tứ phân vị thứ ba

Công thức tính khoảng tứ phân vị

C. Bài tập tính tứ phân vị