Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Công thức tính tứ phân vị

Mẫu số liệu ghép nhóm

Bài trước

Tải về

Bài sau

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Công thức tứ phân vị

A. Tứ phân vị là gì?
B. Cách tính tứ phân vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm
C. Bài tập tính tứ phân vị

Công thức tính tứ phân vị là kiến thức quan trọng trong phần thống kê Toán 11, đặc biệt khi học về mẫu số liệu ghép nhóm. Tứ phân vị giúp chia tập dữ liệu đã sắp xếp thành bốn phần có số lượng phần tử gần bằng nhau, qua đó cung cấp thêm thông tin về sự phân bố và vị trí của các giá trị trong mẫu số liệu. Đây là nội dung học sinh cần nắm chắc để có thể đọc, phân tích và nhận xét dữ liệu hiệu quả.

Đối với mẫu số liệu ghép nhóm, các giá trị được phân chia thành những khoảng liên tiếp kèm theo tần số tương ứng. Do không biết chính xác từng giá trị trong mỗi nhóm, việc xác định các tứ phân vị cần dựa vào vị trí của chúng trong bảng tần số và nhóm chứa tứ phân vị. Học sinh cần biết cách sử dụng tần số tích lũy để xác định đúng nhóm trước khi áp dụng công thức.

A. Tứ phân vị là gì?

Tứ phân vị (tiếng Anh: quartiles) là các giá trị chia một tập hợp số liệu thành bốn phần bằng nhau theo thứ tự tăng dần, mỗi phần chiếm 25% số liệu. Chúng giúp mô tả sự phân bố và mức độ phân tán của dữ liệu.

Có 3 tứ phân vị chính:

Tứ phân vị thứ nhất (Q₁) – Còn gọi là phân vị thứ 25: Là giá trị mà 25% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó.
Tứ phân vị thứ hai (Q₂) – Chính là trung vị (median): Là giá trị chia dữ liệu thành hai nửa bằng nhau (50% nhỏ hơn, 50% lớn hơn).
Tứ phân vị thứ ba (Q₃) – Phân vị thứ 75: Là giá trị mà 75% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó.

B. Cách tính tứ phân vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

Nhóm	$\left\lbrack a_{1};a_{2} \right)$	…	$\left\lbrack a_{i};a_{i + 1} \right)$	…	$\left\lbrack a_{k};a_{k + 1} \right)$
Tần số	$m_{1}$	…	$m_{i}$	…	$m_{k}$

Công thức Tứ phân vị thứ nhất

Để tìm tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_{1}$ , giả sử đó là nhóm thứ p: $\left\lbrack a_{p};a_{p + 1} \right)$ . Khi đó:

$Q_{1} = a_{p} + \dfrac{\dfrac{n}{4} - \left( m_{1} + ... + m_{p - 1} \right)}{m_{p}}.\left( a_{p + 1} - a_{p} \right)$

Trong đó n là cỡ mẫu, $m_{p}$ là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước $m_{1} + ... + m_{p - 1} = 0$ .

Công thức tính tứ phân vị thứ ba

Để tìm tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_{3}$ , giả sử đó là nhóm thứ p: $\left\lbrack a_{p};a_{p + 1} \right)$ . Khi đó:

$Q_{3} = a_{p} + \dfrac{\dfrac{3n}{4} - \left( m_{1} + ... + m_{p - 1} \right)}{m_{p}}.\left( a_{p + 1} - a_{p} \right)$

Trong đó n là cỡ mẫu, $m_{p}$ là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước $m_{1} + ... + m_{p - 1} = 0$ .

Tứ phân vị thứ hai $Q_{2}$ chính là trung vị $M_{e}$ .

Công thức tính khoảng tứ phân vị

Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là $\Delta_{Q}$ là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, tức là: $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$

C. Bài tập tính tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Ví dụ. Cho bảng thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của học sinh lớp 12A và lớp 12B như sau:

Chiều cao	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)	[175; 180)	[180; 185)
12A	2	7	12	3	0	1
12B	5	9	8	2	1	0

Em có nhận xét gì về độ phân tán của hai lớp 12A và 12B?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Chiều cao	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)	[175; 180)	[180; 185)
12A	2	7	12	3	0	1
Tần số tích lũy	2	9	21	24	24	25

Cỡ mẫu . Gọi $x_{1};x_{2};...;x_{25}$ là mẫu số liệu gốc

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( x_{6} + x_{7} \right)$ thuộc nhóm [160; 165)

$Q_{1} = 160 + \dfrac{\dfrac{25}{4} -2}{7}(165 - 160) = \dfrac{4565}{28}$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( x_{19} + x_{20} \right)$ thuộc nhóm [165; 170)

$Q_{3} = 165 + \dfrac{3.\dfrac{25}{4} -9}{12}(170 - 165) = \dfrac{2705}{16}$

Do đó khoảng tứ phân vị $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{675}{112} \approx 6,03$

Chiều cao	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)	[175; 180)	[180; 185)
12B	5	9	8	2	1	0
Tần số tích lũy	5	14	22	24	25	25

Cỡ mẫu . Gọi $x_{1};x_{2};...;x_{25}$ là mẫu số liệu gốc

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( x_{6} + x_{7} \right)$ thuộc nhóm [160; 165)

$Q_{1} = 160 + \dfrac{\dfrac{25}{4} -5}{9}(165 - 160) = \dfrac{5785}{36}$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( x_{19} + x_{20} \right)$ thuộc nhóm [165; 170)

$Q_{3} = 165 + \dfrac{3.\dfrac{25}{4} -14}{8}(170 - 165) = \dfrac{5375}{32}$

Do đó khoảng tứ phân vị $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 7,27$ .

Vậy nửa giữa mẫu số liệu chiều cao của học sinh lớp 12A có độ phân tán nhỏ hơn lớp 12B.

Ví dụ: Cho biểu đồ thống kê thời gian tập thể dục buổi sáng của hai người A và B

Gọi khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu về thời gian tập thể dục của A và B lần lượt là $\Delta_{Q_{A}};\Delta_{Q_{B}}$ . So sánh $\Delta_{Q_{A}};\Delta_{Q_{B}}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Đối tượng	[15; 20)	[20; 25)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40)
A	5	12	8	3	2
Tần số tích lũy	5	17	25	28	30

Cỡ mẫu $N = 30 \Rightarrow \frac{N}{4} = 7,5$

=> Nhóm chứa $Q_{1}$ là: [20; 25)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

=> l = 20; m = 5; f = 12; c = 25 - 20 = 5

$\Rightarrow Q_{1} = l + \dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$ $= 20 + \dfrac{7,5 - 5}{12}.5 = \dfrac{505}{24}$

Cỡ mẫu $\frac{3N}{4} = 22,5$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [25; 30)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

=> l = 25; m = 17; f = 8; c = 5

$\Rightarrow Q_{3} = l + \dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c$ $= 25 + \dfrac{22,5 - 17}{8}.5 =\dfrac{455}{16}$ .

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu về thời gian tập thể dục của A là:

$\Delta_{Q_{A}} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{355}{48} \approx 7,4$ .

Đối tượng	[15; 20)	[20; 25)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40)
B	0	25	5	0	0
Tần số tích lũy	0	25	30	0	0

Cỡ mẫu $N = 30 \Rightarrow \frac{N}{4} = 7,5$

=> Nhóm chứa $Q_{1}$ là: [20; 25)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

=> l = 20; m = 0; f = 25; c = 25 - 20 = 5

$\Rightarrow Q_{1} = l + \dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$ $= 20 + \dfrac{7,5 - 0}{25}.5 = \dfrac{43}{2}$

Cỡ mẫu $\frac{3N}{4} = 22,5$

=> Nhóm chứa $Q_{1}$ là: [20; 25)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

=> l = 20; m = 0; f = 25; c = 25 - 20 = 5

$\Rightarrow Q_{3} = l + \dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c$ $= 20 + \dfrac{22,5 - 0}{25}.5 = \dfrac{49}{2}$ .

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu về thời gian tập thể dục của B là:

$\Delta_{Q_{B}} = Q_{3} - Q_{1} = 3$ .

Vậy kết luận đúng là: $\Delta_{Q_{A}} > \Delta_{Q_{B}}$ .

Ví dụ. Thời gian truy cập internet mỗi buổi trưa của một số học sinh được cho trong bảng sau:

Thời gian (phút)	[9,5; 1,5)	[12,5; 15,5)	[15,5; 18,5)	[18,5; 21,5)	[21,5; 24,5)
Số học sinh	3	12	15	24	2

Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu trên. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu là: n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56.

Gọi $x_{1};...;x_{56}$ là thời gian truy cập internet của 56 học sinh và giả sữ dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó, tứ phân vị thứ nhất là $Q_{1} = \frac{x_{14} + x_{15}}{2}$ .

Do $x_{14},\ x_{15} \in \lbrack 12,5;\ 15,5)$ nên $Q_{1} = 12,5 + \frac{\frac{56}{4} - 3}{12}.3 \approx 15,3$

Tứ phân vị thứ ba là $Q_{3} = \frac{x_{42} + x_{43}}{2}$ .

Do $x_{14},\ x_{15} \in \lbrack 18,5;\ 21,5)$ nên $Q_{3} = 18,5 + \frac{\frac{3.56}{4} - 30}{24}.3 = 20$

Vậy tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu đã cho là 15,3

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu đã cho là 20.

Ví dụ 3. Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:

Điểm	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6

Khi đó giá trị tứ phân vị thứ ba bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Điểm	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6	N = 42
Tần số tích lũy	5	14	26	36	42

Cỡ mẫu $N = 42 \Rightarrow \frac{3N}{4} = 31,5$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [60; 80)

(Vì 31,5 nằm giữa hai tần số tích lũy 26 và 36)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

l = 60; m = 26; f = 10; c = 80 - 60 = 20

$\Rightarrow Q_{3} = l + \frac{\frac{3N}{4} - m}{f}.c = 60 + \frac{31,5 - 26}{10}.20 = 71$

Ví dụ 4. Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:

Số tiền (nghìn đồng)	Số người
[0; 50)	5
[50; 100)	12
[100; 150)	23
[150; 200)	17
[200; 250)	3

Tính giá trị tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Số tiền (nghìn đồng)	Số người	Tần số tích lũy
[0; 50)	5	5
[50; 100)	12	17
[100; 150)	23	40
[150; 200)	17	57
[200; 250)	3	60
	N = 60

Cỡ mẫu là: $N = 60 \Rightarrow \frac{3N}{4} = 45$

=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [150; 200) (vì 45 nằm giữa hai tần số tích lũy 40 va 57)

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} l = 150;\frac{3N}{4} = 45;m = 40;f = 17 \\ c = 200 - 150 = 50 \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow Q_{3} = l + \frac{\frac{3N}{4} - m}{f}.c$ $\Rightarrow Q_{3} = 150 + \frac{45 - 40}{17}.50 = \frac{2800}{17}$

----------------------------------------------------

FAQ

Vì sao cần tính tứ phân vị trong mẫu số liệu ghép nhóm?

Việc tính tứ phân vị giúp:

Mô tả đặc điểm phân bố dữ liệu.
So sánh các tập số liệu.
Phát hiện dữ liệu bất thường.
Phân tích mức độ phân tán của số liệu.

Làm thế nào để xác định lớp chứa tứ phân vị?

Cần lập bảng tần số tích lũy và xác định vị trí:

N/4 đối với Q₁.
N/2 đối với Q₂.
3N/4 đối với Q₃.

Sau đó tìm lớp đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng vị trí tương ứng.

Tứ phân vị có giống trung bình cộng không?

Không.

Trung bình cộng phản ánh giá trị trung tâm của dữ liệu.
Tứ phân vị mô tả vị trí của dữ liệu trong tập số liệu.

Hai đại lượng này có ý nghĩa thống kê khác nhau.

Tứ phân vị có liên quan đến biểu đồ hộp không?

Có.

Q₁, Q₂ và Q₃ là những thành phần quan trọng để xây dựng biểu đồ hộp (Box Plot), một công cụ trực quan hóa dữ liệu phổ biến trong thống kê.

----------------------------------------------

Khi học công thức Toán 11 , điều quan trọng không chỉ là ghi nhớ biểu thức tính (Q_1), (Q_2) và (Q_3), mà còn phải hiểu ý nghĩa của từng đại lượng trong công thức. Các yếu tố như cận dưới của nhóm chứa tứ phân vị, tần số tích lũy trước nhóm đó, tần số của nhóm và độ dài nhóm đều cần được xác định chính xác. Chỉ khi thực hiện đúng các bước, kết quả tính tứ phân vị mới có ý nghĩa đối với mẫu dữ liệu đang xét. Nội dung Công thức tính tứ phân vị giúp học sinh tiếp cận phương pháp theo trình tự rõ ràng, từ việc xác định vị trí đến lựa chọn nhóm và thay số vào công thức. Các ví dụ và bài tập Toán 11 có đáp án cũng giúp các em nhận biết cách vận dụng trong những bảng số liệu có nhiều nhóm khác nhau. Đây là cách luyện tập hiệu quả để hạn chế nhầm lẫn giữa tứ phân vị, trung vị và các đại lượng thống kê khác.

Bên cạnh việc tính toán, học sinh cũng cần hiểu ý nghĩa của (Q_1), (Q_2) và (Q_3) khi phân tích dữ liệu. Từ các giá trị này, các em có thể tiếp tục tìm khoảng tứ phân vị và đưa ra nhận xét về mức độ phân tán của mẫu số liệu. Vì vậy, nắm chắc phương pháp xác định tứ phân vị sẽ tạo nền tảng thuận lợi cho nhiều nội dung thống kê tiếp theo trong chương trình Toán 11. Để củng cố kỹ năng, các em nên luyện thêm bài tập Toán 11 có đáp án với nhiều dạng bảng số liệu khác nhau. Hãy tự xác định vị trí và nhóm chứa tứ phân vị trước khi xem lời giải. Nếu kết quả chưa đúng, cần kiểm tra lại tần số tích lũy, cận của nhóm và độ dài nhóm thay vì chỉ sửa đáp số cuối cùng.

Sau khi tính được ba tứ phân vị, học sinh có thể tiếp tục vận dụng để xác định khoảng tứ phân vị , từ đó đánh giá mức độ phân tán của dữ liệu. Đây là bước mở rộng quan trọng, giúp các em không chỉ thực hiện phép tính mà còn hiểu cách sử dụng các đại lượng thống kê để phân tích mẫu số liệu thực tế. Hy vọng nội dung trên giúp học sinh hiểu rõ công thức tính tứ phân vị và biết cách vận dụng vào mẫu số liệu ghép nhóm . Kết hợp giữa lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập thực hành sẽ giúp các em củng cố kiến thức, hạn chế sai sót và từng bước học tốt môn Toán 11 .

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

Đang cập nhật / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

30 lượt tải tài liệu

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Chia sẻ bởi:
Bọ Cạp

7.821

Bài trước

Bài sau

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Tìm bài trong mục này

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Công thức tính tứ phân vị

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Công thức tứ phân vị

A. Tứ phân vị là gì?

B. Cách tính tứ phân vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm

Công thức Tứ phân vị thứ nhất

Công thức tính tứ phân vị thứ ba

Công thức tính khoảng tứ phân vị

C. Bài tập tính tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

FAQ

Vì sao cần tính tứ phân vị trong mẫu số liệu ghép nhóm?

Làm thế nào để xác định lớp chứa tứ phân vị?

Tứ phân vị có giống trung bình cộng không?

Tứ phân vị có liên quan đến biểu đồ hộp không?