Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Bài tập thực tế phương trình và bất phương trình mũ, logarit có lời giải chi tiết

Chuyên đề Toán 11 Phương trình Bất phương trình

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Toán 11: Bài tập thực tế phương trình mũ logarit có lời giải

A. Công thức phương trình, bất phương trình mũ, logarit
B. Bài tập thực tế phương trình, bất phương trình mũ, logarit
C. Bài tập tự rèn luyện

Phương trình và bất phương trình mũ – logarit là những chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán THPT, thường xuất hiện trong các đề thi học kỳ và kỳ thi tốt nghiệp THPT. Đặc biệt, việc vận dụng kiến thức này vào các bài toán thực tế giúp học sinh hiểu sâu bản chất và phát triển tư duy ứng dụng.

Trong bài viết này, chúng tôi tổng hợp các bài tập thực tế liên quan đến phương trình, bất phương trình mũ – logarit, kèm theo lời giải chi tiết, rõ ràng và dễ hiểu, hỗ trợ bạn ôn tập và luyện thi hiệu quả.

A. Công thức phương trình, bất phương trình mũ, logarit

1. Phương trình mũ

Phương trình dạng $a^{x} = b$ , trong đó a và b là những số cho trước, a > 0; a ≠ 1

Nếu b > 0 thì phương trình luôn có nghiệm duy nhất $x = log_{a}b$ .
Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm.

2. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản là bất phương trình có dạng $a^{x} > b$ (hoặc $a^{x} \geq b$ , $a^{x} < b$ , $a^{x} \leq b$ ), với a; b là những số cho trước, a > 0, a ≠ 1.

Xét bất phương trình: $a^{x} > b$ (*)

Nếu b ≤ 0 thì mọi $x\mathbb{\in R}$ đều là nghiệm của (*).
Nếu b > 0 thì:

Với a > 1, nghiệm của (*) là $x > log_{a}b$ ;

Với 0 < a <1, nghiệm của (*) là $x < log_{a}b$ .

Tương tự như trên, ta nhận được kết quả về nghiệm của mỗi bất phương trình $a^{x} \geq b$ , $a^{x} < b$ , $a^{x} \leq b$

3. Phương trình logarit

Phương trình dạng $log_{a}x = b$ , trong đó a; b là những số cho trước, a > 0, a ≠ 1.

Phương trình $log_{a}x = b$ , a > 0, a ≠ 1 luôn có nghiệm duy nhất $x = a^{b}$ .

4. Bất phương trình lôgarit cơ bản

Bất phương trình lôgarit cơ bản là bất phương trình có dạng $log_{a}x > b$ (hoặc $log_{a}x \geq b,log_{a}x < b,log_{a}x \leq b$ ), với a ; b là các số cho trước, a > 0, a ≠ 1.

Xét bất phương trình $log_{a}x > b$ (**).

Điều kiện xác định của bất phương trình là x > 0.

Với a > 1, nghiệm của (**) là $x > a^{b}$ .P
Với 0 < a < 1, nghiệm của (**) là $0 < x < a^{b}$ .

Tương tự như trên, ta nhận được kết quả về nghiệm của mỗi bất phương trình $log_{a}x \geq b,log_{a}x < b,log_{a}x \leq b$ .

B. Bài tập thực tế phương trình, bất phương trình mũ, logarit

Câu 1: Thực hiện một mẻ nuôi cấy vi khuẩn với 1000 vi khuẩn ban đầu, nhà sinh học phát hiện số lượng vi khuẩn tăng thêm 25% sau mỗi hai ngày. Công thức $P(t) = P_{0}.a^{t}$ cho phép tính số lượng vi khuẩn của mẻ nuôi cấy sau ngày kể từ thời điểm ban đầu. Xác định các tham số P₀ và a; (a > 0). Làm tròn a đến hàn phần trăm. Sau 5 ngày thì số lượng vi khuẩn bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng trăm. Sau bao nhiêu ngày thì số lượng vi khuẩn vượt gấp đôi số lượng ban đầu? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Hướng dẫn giải

Ban đầu có 1000 vi khuẩn nên P₀= 1000.

Sau 2 ngày, số lượng vi khuẩn là: P = 125%. P₀ = 125%.1000 = 1250

Ta có:

P(2) = P₀.a² <=> 1250 = 1000.a² <=> a² = 1,25 <=> a ≈1,12

Số lượng vi khuẩn sau 5 ngày là:

P(5) = P₀.a⁵ = 1000.1,12² ≈ 1800 (vi khuẩn).

Với P(t) = 2P₀ ta có:

$P(t) = P_{0} \cdot a^{t} \Leftrightarrow 2P_{0} = P_{0} \cdot 1,12^{t} \Leftrightarrow 1,12^{t} = 2 \Leftrightarrow t = log_{1,12}2 \approx 6,1\ (ngày)$

Vậy sau 6,1 ngày thì số lượng vi khuẩn vượt gấp đôi số lượng ban đầu.

Câu 2: Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất x%/ năm (x > 0). Sau 3 năm, người đó rút được cả gốc và lãi là 119,1016 triệu đồng. Tìm x, biết rằng lãi suất không thay đổi qua các năm và người đó không rút tiền ra trong suốt quá trình gửi.

Hướng dẫn giải

Ta có công thức:

$100.\left( 1 + \frac{x}{100} \right)^{3} = 119,1016$

$\Leftrightarrow 1 + \frac{x}{100} = 1,06 \Leftrightarrow \frac{x}{100} = 0,06 \Leftrightarrow x = 6$ .

Câu 3: Nhắc lại rằng, độ pH của một dung dịch được tính theo công thức $PH = - \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack$ , trong đó [H⁺] là nồng độ H⁺ của dung dịch đó tính bằng mol/L. Nồng độ H⁺ trong dung dịch cho biết độ acid của dung dịch đó.

a. Dung dịch acid A có độ pH bằng 1,9 ; dung dịch B có độ pH bằng 2,5. Dung dịch nào có độ acid cao hơn và cao hơn bao nhiêu lần ?

b. Nước cất có nồng độ H⁺ là 10^-7mol/L. Nước chảy từ một vòi nước có độ pH từ 6,5 đến 6,7 thì có độ acid cao hay thấp hơn nước cất.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$pH_{A} = 1,9 \Leftrightarrow - \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack = 1,9 \Leftrightarrow \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack = - 1,9 \Leftrightarrow H^{+} = 10^{- 1,9}$

Vậy độ acid của dung dịch là 10^-1,9 mol/L.

Ta có:

$pH_{B} = 2,5 \Leftrightarrow - \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack = 2,5 \Leftrightarrow \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack = - 2,5 \Leftrightarrow H^{+} = 10^{- 2,5}$

Vậy độ acid của dung dịch là 10^-2,5 mol/L.

Ta có: $\frac{10^{- 1,9}}{10^{- 2,5}} \approx 3,98$

Vậy độ acid của dung dịch A cao hơn độ acid của dung dịch B 3,98 lần.

Ta có:

$6,5 < pH < 6,7 \Leftrightarrow 6,5 < - \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack < 6,7$

$\Leftrightarrow - 6,5 > \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack > - 6,7 \Leftrightarrow 10^{- 6,5} > H^{+} > 10^{- 6,7}$

Vậy nước chảy từ vòi nước có độ acid từ 10^-6,7 mol/L đến 10^-6,5 mol/L.

Vậy nước đó có độ acid cao hơn nước cất.

Câu 4: Độ pH của đất thích hợp cho trồng hoa hồng là từ 6,5 đến 7. Tính nồng độ của ion hydrogen [H⁺] của đất để thích hợp cho trồng hoa hồng.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$6,5 < - \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack < 7 \Leftrightarrow - 7 < \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack < - 6,5$

<=> 10^10-7 < [H⁺] < 10^-6,5.

Vậy nồng độ của ion hydrogen [H⁺] của đất trong khoảng (10^10-7; 10^-6,5) thì thích hợp để trồng hoa hồng.

Câu 5: Bác Minh gửi tiết kiệm 500 triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi 7,5% một năm theo thể thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Tổng số tiền bác Minh thu được (cả vốn lẫn lãi) sau năm là:

A = 500.(1 + 0,075)ⁿ (triệu đồng)

Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).

Hướng dẫn giải

Ta có:

500.(1 + 0,075)ⁿ ≥ 800

Chia cả hai vế của bất phương trình cho 500: $(1 + 0,075)^{n} \geq \frac{800}{500} = 1,6$

Lấy logarit tự nhiên ở cả hai vế của bất phương trình: n.ln(1 + 0,075)ⁿ ≥ ln(1,6)

Chia cả hai vế của bất phương trình cho ln(1 + 0,075) ta được:

$n \geq \frac{ln(1,6)}{ln(1 + 0,075)} \approx 9,25$

Vậy thời gian tối thiểu cần gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng là 10 năm.

C. Bài tập tự rèn luyện

Câu 1: Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất là 6%/năm. Để có được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 130 triệu đồng thì người đó phài gửi ít nhất bao nhiêu năm? Biết rằng lãi suất không thay đổi qua các năm và người đó không rút tiền ra trong suốt quá trình gửi.

Câu 2: Người ta nuôi cấy vi khuấn Bacillus subtilis trong nồi lên men và thu được số liệu sau: Lúc ban đầu, số tế bào/1 ml dịch nuôi là 2.10². Sau 13 giờ, số tế bào/1 ml dịch nuôi là 3,33.10⁹. Biết vi khuẩn Bacillus subtilis sinh trướng trong điều kiện hoàn toàn tối ưu và sinh sản theo hình thức tự nhân đôi. Hỏi sau bao nhiêu phút, vi khuẩn Bacillus subtilis tự nhân đôi một lần (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Câu 3: Tốc độ của gió S (dặm/giờ) gần tâm của một cơn lốc xoáy được tính bởi công thức:S = 93.logd + 65, trong đó d (dặm) là quãng đường cơn lốc xoáy đó di chuyển được.Tính quãng đường cơn lốc xoáy đã di chuyển được, biết tốc độ của gió ở gần tâm bằng 140 dặm/giờ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 4: Dân số thành phố Hà Nội năm 2022 khoảng 8,4 triệu người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Hà Nội không đổi và bằng r = 1,04%. Biết rằng, sau năm dân số Hà Nội (tính từ mốc năm 2022) ước tính theo công thức: . $e^{rt}$ , trong đó là dân số năm lấy làm mốc. Hỏi từ năm nào trở đi, dân số của Hà Nội vượt quá 10 triệu người?

Câu 5: Mức cường độ âm L (dB) được tính bởi công thức $L = 10log\frac{I}{10^{- 12}}$ , trong đó I (W/m²) là cường độ âm. Để đảm bảo sức khoẻ cho công nhân, mức cường độ âm trong một nhà máy phải giữ sao cho không vượt quá 85 dB. Hỏi cường độ âm của nhà máy đó phải thoả mãn điều kiện nào để đảm bảo sức khoẻ cho công nhân?

Câu 6: Số lượng của một loài vi khuẩn sau x giờ được tính bởi công thức $f(x) = Ae^{rx}$ , trong đó, A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0). Biết số vi khuẩn ban đầu là 1000 con và sau 10 giờ tăng trường thành 5000 con.

a. Tính tỉ lệ tăng trường của vi khuẩn.

b. Hỏi sau khoảng bao nhiêu giờ thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần so với số lượng vi khuẩn ban đầu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Câu 7: Số lượng vi khuẩn ban đầu trong một mẻ nuôi cấy là 500 con. Người ta lấy một mẫu vi khuẩn trong mẻ nuôi cấy đó, đếm số lượng vi khuẩn và thấy rằng tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn là 40% mổi giờ. Khi đó số lượng vi khuẩn N(t) sau t giờ nuôi cấy được ước tính bằng công thức sau: $N(t) = 500e^{0,4t}$ .

Hỏi sau bao nhiêu giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn vượt mức 80 000 con?

Câu 8: Giả sử nhiệt độ T (^oC) của một vật giảm dần theo thời gian cho bởi công thức: $T = 25 + 70e^{- 0.5t}$ , trong đó thời gian được tính bằng phút.

a. Tìm nhiệt độ ban đầu của vật.

b. Sau bao lâu nhiệt độ của vật còn lại 30⁰C?

Câu 9: Tính nồng độ ion hydrogen (tính bằng mol/lít) của một dung dịch có độ pH là 8.

Câu 10: Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là $5\%$ một năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau một năm chỉ còn là 950 nghìn đồng (vì đã giảm mất $5\%$ của 1 triệu đồng, tức là 50000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là $r\%$ một năm thì tổng số tiền ban đầu, sau năm số tiền đó chỉ còn giá trị là

$A = P \cdot \left( 1 - \frac{r}{100} \right)^{n}.$

Nếu tỉ lệ lạm phát là $8\%$ một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại bao nhiêu?

a. Nếu sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm chỉ còn là 90 triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là bao nhiêu?

b. Nếu tỉ lệ lạm phát là $5\%$ một năm thì sau bao nhiêu năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa?

Câu 11: Giả sử quá trình nuôi cấy vi khuẩn tuân theo quy luật tăng trưởng tự do. Khi đó, nếu gọi $N_{0}$ là số lượng vi khuẩn ban đầu và là số lượng vi khuẩn sau giờ thì ta có: $N(t) = N_{0}e^{nt}$ trong đó là tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn mỗi giờ. Giả sử ban đầu có 500 con vi khuẩn và sau 1 giờ tăng lên 800 con. Hỏi:

a. Sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là khoảng bao nhiêu con?

b. Sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi?

Câu 12: Vào năm 1938, nhà vật lí Frank Benford đã đưa ra một phương pháp để xác định xem một bộ số đã được chọn ngẫu nhiên hay đã được chọn theo cách thủ công. Nếu bộ số này không được chọn ngẫu nhiên thì công thức Benford sau sẽ được dùng ước tính xác suất để chữ số là chữ số đầu tiên của bộ số đó: $P = \log\frac{d + 1}{d}$ . (Theo . Benford, The Law of Anomalous Numbers, Proc. Am. Philos. Soc. 78 (1938), 551 -572).

Chẳng hạn, xác suất để chữ số đầu tiên là 9 bằng khoảng $4,6\%$ (thay trong công thức Benford để tính ).

a. Viết công thức tìm chữ số nếu cho trước xác suất .

b. Tìm chữ số có xác suất bằng 9,7% được chọn.

c. Tính xác suất đề chữ số đầu tiên là 1.

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

-----------------------------------------------

Hy vọng qua các bài tập thực tế phương trình và bất phương trình mũ, logarit có lời giải chi tiết, bạn đã rèn luyện được tư duy phân tích và kỹ năng giải toán ứng dụng. Hãy tiếp tục luyện tập thêm nhiều bài dạng tương tự để củng cố kiến thức, nâng cao phản xạ và sẵn sàng chinh phục mọi đề thi. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao!

Tải về

Chọn file muốn tải về: