VnDoc.com

Bài tập thực tế phương trình và bất phương trình mũ, logarit có lời giải chi tiết

Chuyên đề Toán 11 Phương trình Bất phương trình

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Toán 11: Bài tập thực tế phương trình mũ logarit có lời giải

A. Công thức phương trình, bất phương trình mũ, logarit
B. Bài tập thực tế phương trình, bất phương trình mũ, logarit
C. Bài tập tự rèn luyện

Phương trình và bất phương trình mũ – logarit là những chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán THPT, thường xuất hiện trong các đề thi học kỳ và kỳ thi tốt nghiệp THPT. Đặc biệt, việc vận dụng kiến thức này vào các bài toán thực tế giúp học sinh hiểu sâu bản chất và phát triển tư duy ứng dụng. Trong bài viết này, chúng tôi tổng hợp các bài tập thực tế liên quan đến phương trình, bất phương trình mũ – logarit, kèm theo lời giải chi tiết, rõ ràng và dễ hiểu, hỗ trợ bạn ôn tập và luyện thi hiệu quả.

A. Công thức phương trình, bất phương trình mũ, logarit

1. Phương trình mũ

Phương trình dạng $a^{x} = b$ $a^{x} = b$, trong đó $a$ và $b$ là những số cho trước, $a > 0,a \neq 1$ $a > 0,a \neq 1$

Nếu $b > 0$ thì phương trình luôn có nghiệm duy nhất $x = log_{a}b$ $x = log_{a}b$.
Nếu $b \leq 0$ $b \leq 0$ thì phương trình vô nghiệm.

2. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản là bất phương trình có dạng $a^{x} > b$ $a^{x} > b$(hoặc $a^{x} \geq b$ $a^{x} \geq b$, $a^{x} < b$ $a^{x} < b$, $a^{x} \leq b$ $a^{x} \leq b$), với $a,b$ là những số cho trước, $a > 0$, $a \neq 1$ $a \neq 1$.

Xét bất phương trình: $a^{x} > b$ $a^{x} > b$ (*)

Nếu $b \leq 0$ $b \leq 0$ thì mọi $x\mathbb{\in R}$ $x\mathbb{\in R}$ đều là nghiệm của $(*)$.
Nếu $b > 0$ thì:

Với $a > 1$, nghiệm của $(*)$ là $x > log_{a}b$ $x > log_{a}b$;

Với $0 < a < 1$, nghiệm của $(*)$ là $x < log_{a}b$ $x < log_{a}b$.

Tương tự như trên, ta nhận được kết quả về nghiệm của mỗi bất phương trình $a^{x} \geq b$ $a^{x} \geq b$, $a^{x} < b$ $a^{x} < b$, $a^{x} \leq b$ $a^{x} \leq b$

3. Phương trình logarit

Phương trình dạng $log_{a}x = b$ $log_{a}x = b$, trong đó $a,b$ là những số cho trước, $a > 0$, $a \neq 1$ $a \neq 1$

Phương trình $log_{a}x = b$ $log_{a}x = b$ $(a > 0,a \neq 1)$ $(a > 0,a \neq 1)$ luôn có nghiệm duy nhất $x = a^{b}$ $x = a^{b}$.

4. Bất phương trình lôgarit cơ bản

Bất phương trình lôgarit cơ bản là bất phương trình có dạng $log_{a}x > b$ $log_{a}x > b$(hoặc $log_{a}x \geq b,log_{a}x < b,log_{a}x \leq b$ $log_{a}x \geq b,log_{a}x < b,log_{a}x \leq b$), với $a,b$ là các số cho trước, $a > 0,a \neq 1$ $a > 0,a \neq 1$.

Xét bất phương trình $log_{a}x > b$ $log_{a}x > b$ (**).

Điều kiện xác định của bất phương trình là $x > 0$.

Với $a > 1$, nghiệm của (**) là $x > a^{b}$ $x > a^{b}$.
Với $0 < a < 1$, nghiệm của (**) là $0 < x < a^{b}$ $0 < x < a^{b}$.

Tương tự như trên, ta nhận được kết quả về nghiệm của mỗi bất phương trình $log_{a}x \geq b,log_{a}x < b,log_{a}x \leq b$ $log_{a}x \geq b,log_{a}x < b,log_{a}x \leq b$ .

B. Bài tập thực tế phương trình, bất phương trình mũ, logarit

Câu 1: Thực hiện một mẻ nuôi cấy vi khuẩn với 1000 vi khuẩn ban đầu, nhà sinh học phát hiện số lượng vi khuẩn tăng thêm $25\%$ $25\%$ sau mỗi hai ngày. Công thức $P(t) = P_{0}.a^{t}$ $P(t) = P_{0}.a^{t}$ cho phép tính số lượng vi khuẩn của mẻ nuôi cấy sau $t$ ngày kể từ thời điểm ban đầu. Xác định các tham số $P_{0}$ $P_{0}$ và $a(a > 0)$. Làm tròn $a$ đến hàn phần trăm. Sau 5 ngày thì số lượng vi khuẩn bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng trăm. Sau bao nhiêu ngày thì số lượng vi khuẩn vượt gấp đôi số lượng ban đầu? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Hướng dẫn giải

Ban đầu có 1000 vi khuẩn nên $P_{0} = 1000$ $P_{0} = 1000$.

Sau 2 ngày, số lượng vi khuẩn là: $P = 125\% P_{0} = 125\%.1000 = 1250$ $P = 125\% P_{0} = 125\%.1000 = 1250$

Ta có: $P(2) = P_{0} \cdot a^{2} \Leftrightarrow 1250 = 1000 \cdot a^{2} \Leftrightarrow a^{2} = 1,25 \Leftrightarrow a \approx 1,12$ $P(2) = P_{0} \cdot a^{2} \Leftrightarrow 1250 = 1000 \cdot a^{2} \Leftrightarrow a^{2} = 1,25 \Leftrightarrow a \approx 1,12$

Số lượng vi khuẩn sau 5 ngày là: $P(5) = P_{0} \cdot a^{5} = 1000.1,12^{2} \approx 1800$ $P(5) = P_{0} \cdot a^{5} = 1000.1,12^{2} \approx 1800$ (vi khuẩn).

Với $P(t) = 2P_{0}$ $P(t) = 2P_{0}$ ta có:

$P(t) = P_{0} \cdot a^{t} \Leftrightarrow 2P_{0} = P_{0} \cdot 1,12^{t} \Leftrightarrow 1,12^{t} = 2 \Leftrightarrow t = log_{1,12}2 \approx 6,1\ (ngày)$ $P(t) = P_{0} \cdot a^{t} \Leftrightarrow 2P_{0} = P_{0} \cdot 1,12^{t} \Leftrightarrow 1,12^{t} = 2 \Leftrightarrow t = log_{1,12}2 \approx 6,1\ (ngày)$

Vậy sau 6,1 ngày thì số lượng vi khuẩn vượt gấp đôi số lượng ban đầu.

Câu 2: Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất $x\%$ $x\%$/ năm$(x > 0)$. Sau 3 năm, người đó rút được cả gốc và lãi là 119,1016 triệu đồng. Tìm $x$, biết rằng lãi suất không thay đổi qua các năm và người đó không rút tiền ra trong suốt quá trình gửi.

Hướng dẫn giải

Ta có công thức:

$100.\left( 1 + \frac{x}{100} \right)^{3} = 119,1016$ $100.\left( 1 + \frac{x}{100} \right)^{3} = 119,1016$

$\Leftrightarrow 1 + \frac{x}{100} = 1,06 \Leftrightarrow \frac{x}{100} = 0,06 \Leftrightarrow x = 6$ $\Leftrightarrow 1 + \frac{x}{100} = 1,06 \Leftrightarrow \frac{x}{100} = 0,06 \Leftrightarrow x = 6$.

Câu 3: Nhắc lại rằng, độ $PH$ của một dung dịch được tính theo công thức $PH = - \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack$ $PH = - \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack$, trong đó $\left\lbrack H^{+} \right\rbrack$ $\left\lbrack H^{+} \right\rbrack$ là nồng độ $H^{+}$ $H^{+}$ của dung dịch đó tính bằng mol/L. Nồng độ $H^{+}$ $H^{+}$ trong dung dịch cho biết độ acid của dung dịch đó.

a. Dung dịch acid A có độ pH bằng 1,9 ; dung dịch B có độ pH bằng 2,5. Dung dịch nào có độ acid cao hơn và cao hơn bao nhiêu lần ?

b. Nước cất có nồng độ $H^{+}$ $H^{+}$ là $10^{- 7}\ \ mol/L$ $10^{- 7}\ \ mol/L$. Nước chảy từ một vòi nước có độ $pH$ từ $6,5$ đến $6,7$ thì có độ acid cao hay thấp hơn nước cất.

Hướng dẫn giải

a) $pH_{A} = 1,9 \Leftrightarrow - \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack = 1,9 \Leftrightarrow \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack = - 1,9 \Leftrightarrow H^{+} = 10^{- 1,9}$ $pH_{A} = 1,9 \Leftrightarrow - \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack = 1,9 \Leftrightarrow \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack = - 1,9 \Leftrightarrow H^{+} = 10^{- 1,9}$

Vậy độ acid của dung dịch $A$ là $10^{- 1,9}\ mol/L$ $10^{- 1,9}\ mol/L$.

$pH_{B} = 2,5 \Leftrightarrow - \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack = 2,5 \Leftrightarrow \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack = - 2,5 \Leftrightarrow H^{+} = 10^{- 2,5}$ $pH_{B} = 2,5 \Leftrightarrow - \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack = 2,5 \Leftrightarrow \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack = - 2,5 \Leftrightarrow H^{+} = 10^{- 2,5}$

Vậy độ acid của dung dịch $B$ là $10^{- 2,5}\ mol/L$ $10^{- 2,5}\ mol/L$.

Ta có: $\frac{10^{- 1,9}}{10^{- 2,5}} \approx 3,98$ $\frac{10^{- 1,9}}{10^{- 2,5}} \approx 3,98$

Vậy độ acid của dung dịch A cao hơn độ acid của dung dịch B 3,98 lần.

Ta có:

$6,5 < pH < 6,7 \Leftrightarrow 6,5 < - \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack < 6,7$ $6,5 < pH < 6,7 \Leftrightarrow 6,5 < - \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack < 6,7$

$\Leftrightarrow - 6,5 > \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack > - 6,7 \Leftrightarrow 10^{- 6,5} > H^{+} > 10^{- 6,7}$ $\Leftrightarrow - 6,5 > \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack > - 6,7 \Leftrightarrow 10^{- 6,5} > H^{+} > 10^{- 6,7}$

Vậy nước chảy từ vòi nước có độ acid từ $10^{- 6,7}\ mol/L$ $10^{- 6,7}\ mol/L$ đến $10^{- 6,5}\ mol/L$ $10^{- 6,5}\ mol/L$.

Vậy nước đó có độ acid cao hơn nước cất.

Câu 4: Độ $pH$ của đất thích hợp cho trồng hoa hồng là từ 6,5 đến 7. Tính nồng độ của ion hydrogen $\left\lbrack H^{+} \right\rbrack$ $\left\lbrack H^{+} \right\rbrack$của đất để thích hợp cho trồng hoa hồng.

Hướng dẫn giải

Ta có: $6,5 < - \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack < 7 \Leftrightarrow - 7 < \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack < - 6,5$ $6,5 < - \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack < 7 \Leftrightarrow - 7 < \log\left\lbrack H^{+} \right\rbrack < - 6,5$

$\Leftrightarrow 10^{- 7} < \left\lbrack H^{+} \right\rbrack < 10^{- 6,5}$ $\Leftrightarrow 10^{- 7} < \left\lbrack H^{+} \right\rbrack < 10^{- 6,5}$.

Vậy nồng độ của ion hydrogen $\left\lbrack H^{+} \right\rbrack$ $\left\lbrack H^{+} \right\rbrack$của đất trong khoảng $\left( 10^{- 7};10^{- 6,5} \right)$ $\left( 10^{- 7};10^{- 6,5} \right)$ thì thích hợp để trồng hoa hồng.

Câu 5: Bác Minh gửi tiết kiệm 500 triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi $7,5\%$ $7,5\%$ một năm theo thể thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Tổng số tiền bác Minh thu được (cả vốn lẫn lãi) sau $n$ năm là:

$A = 500.(1 + 0,075)^{n}$ $A = 500.(1 + 0,075)^{n}$ (triệu đồng).

Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).

Hướng dẫn giải

Ta có $500(1 + 0,075)^{n} \geq 800$ $500(1 + 0,075)^{n} \geq 800$

Chia cả hai vế của bất phương trình cho 500: $(1 + 0,075)^{n} \geq \frac{800}{500} = 1,6$ $(1 + 0,075)^{n} \geq \frac{800}{500} = 1,6$

Lấy logarit tự nhiên ở cả hai vế của bất phương trình: $nln(1 + 0,075)^{n} \geq ln(1,6)$ $nln(1 + 0,075)^{n} \geq ln(1,6)$

Chia cả hai vế của bất phương trình cho $ln(1 + 0.075)$: $n \geq \frac{ln(1,6)}{ln(1 + 0,075)} \approx 9,25$ $n \geq \frac{ln(1,6)}{ln(1 + 0,075)} \approx 9,25$

Vậy thời gian tối thiểu cần gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng là 10 năm.

C. Bài tập tự rèn luyện

Câu 1: Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất là $6\%/$ $6\%/$năm. Để có được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 130 triệu đồng thì người đó phài gửi ít nhất bao nhiêu năm? Biết rằng lãi suất không thay đổi qua các năm và người đó không rút tiền ra trong suốt quá trình gửi.

Câu 2: Người ta nuôi cấy vi khuấn Bacillus subtilis trong nồi lên men và thu được số liệu sau: Lúc ban đầu, số tế bào/1 ml dịch nuôi là $2.10^{2}$ $2.10^{2}$. Sau 13 giờ, số tế bào/1 ml dịch nuôi là $3,33 \cdot 10^{9}$ $3,33 \cdot 10^{9}$. Biết vi khuẩn Bacillus subtilis sinh trướng trong điều kiện hoàn toàn tối ưu và sinh sản theo hình thức tự nhân đôi. Hỏi sau bao nhiêu phút, vi khuẩn Bacillus subtilis tự nhân đôi một lần (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Câu 3: Tốc độ của gió $S$ (dặm/giờ) gần tâm của một cơn lốc xoáy được tính bởi công thức: $S = 93logd + 65$, trong đó $d$ (dặm) là quãng đường cơn lốc xoáy đó di chuyển được.Tính quãng đường cơn lốc xoáy đã di chuyển được, biết tốc độ của gió ở gần tâm bằng 140 dặm/giờ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 4: Dân số thành phố Hà Nội năm 2022 khoảng 8,4 triệu người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Hà Nội không đổi và bằng $r = 1,04\%$ $r = 1,04\%$. Biết rằng, sau $t$ năm dân số Hà Nội (tính từ mốc năm 2022) ước tính theo công thức: $S = A$. $e^{rt}$ $e^{rt}$, trong đó $A$ là dân số năm lấy làm mốc. Hỏi từ năm nào trở đi, dân số của Hà Nội vượt quá 10 triệu người?

Câu 5: Mức cường độ âm $L(\ dB)$ $L(\ dB)$ được tính bởi công thức $L = 10log\frac{I}{10^{- 12}}$ $L = 10log\frac{I}{10^{- 12}}$, trong đó $I\left( \ W/m^{2} \right)$ $I\left( \ W/m^{2} \right)$ là cường độ âm. Để đảm bảo sức khoẻ cho công nhân, mức cường độ âm trong một nhà máy phải giữ sao cho không vượt quá $85\ dB$ $85\ dB$. Hỏi cường độ âm của nhà máy đó phải thoả mãn điều kiện nào để đảm bảo sức khoẻ cho công nhân?

Câu 6: Số lượng của một loài vi khuẩn sau $x$ giờ được tính bởi công thức $f(x) = Ae^{rx}$ $f(x) = Ae^{rx}$, trong đó, $A$ là số lượng vi khuẩn ban đầu, $r$ là tỉ lệ tăng trưởng $(r > 0)$. Biết số vi khuẩn ban đầu là 1000 con và sau 10 giờ tăng trường thành 5000 con.

a. Tính tỉ lệ tăng trường của vi khuẩn.

b. Hỏi sau khoảng bao nhiêu giờ thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần so với số lượng vi khuẩn ban đầu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Câu 7: Số lượng vi khuẩn ban đầu trong một mẻ nuôi cấy là 500 con. Người ta lấy một mẫu vi khuẩn trong mẻ nuôi cấy đó, đếm số lượng vi khuẩn và thấy rằng tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn là $40\%$ $40\%$ mổi giờ. Khi đó số lượng vi khuẩn $N(t)$ sau $t$ giờ nuôi cấy được ước tính bằng công thức sau: $N(t) = 500e^{0,4t}$ $N(t) = 500e^{0,4t}$

Hỏi sau bao nhiêu giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn vượt mức 80 000 con?

Câu 8: Giả sử nhiệt độ $T\left( \ ^{\circ}C \right)$ $T\left( \ ^{\circ}C \right)$ của một vật giảm dần theo thời gian cho bởi công thức: $T = 25 + 70e^{- 0.5t}$ $T = 25 + 70e^{- 0.5t}$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng phút.

a. Tìm nhiệt độ ban đầu của vật.

b. Sau bao lâu nhiệt độ của vật còn lại $30^{\circ}C$ $30^{\circ}C$?

-----------------------------------------------

Hy vọng qua các bài tập thực tế phương trình và bất phương trình mũ, logarit có lời giải chi tiết, bạn đã rèn luyện được tư duy phân tích và kỹ năng giải toán ứng dụng. Hãy tiếp tục luyện tập thêm nhiều bài dạng tương tự để củng cố kiến thức, nâng cao phản xạ và sẵn sàng chinh phục mọi đề thi. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao!

Tải về

Chọn file muốn tải về: