Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Hàm số liên tục trên khoảng, đoạn

Bài tập Toán 11 có đáp án chi tiết

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF + Excel

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tính liên tục của hàm số trên khoảng, đoạn

Trong chương trình Toán 11, hàm số liên tục trên khoảng và đoạn là kiến thức nền tảng để hiểu sâu về giới hạn, đạo hàm và đồ thị hàm số. Việc nắm vững khái niệm và điều kiện liên tục giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán lý thuyết và bài tập vận dụng.

A. Cách xét hàm số liên tục trên khoảng đoạn

Để xét sự liên tục của hàm số trên khoảng, ta áp dụng định nghĩa hoặc áp dụng định lý:

a) Nếu hai hàm số và liên tục tại điểm $x_{0}$ thì các hàm số $f \pm g,fg,cf$ (c là một hằng số) đều liên tục tại điểm $x_{0}$ .

b) Hàm đa thức và hàm số phân thức hữu tỉ và các hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.

B. Bài tập hàm số liên tục trên khoảng, đoạn có đáp án

Bài tập tự luận

Bài 1. Chứng minh các hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x^{2} - 4x + 3}{x - 1}\ \ \ \ \ \ \ x > 1 \\ - \sqrt{5 - x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \leq 1 \end{matrix} \right.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x^{2} - 4x + 3}{x - 1}\ \ \ \ \ \ \ x > 1 \\ - \sqrt{5 - x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \leq 1 \end{matrix} \right.$ .

Tập xác định của f(x) là $D\mathbb{= R}$

Với mọi $x_{0} \in (1; + \infty)$ , ta có $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{x^{2} - 4x + 3}{x - 1} = \frac{x_{0}^{2} - 4x_{0} + 3}{x_{0} - 1} = f\left( x_{0} \right)$ . Suy ra hàm số liên tục trên khoảng $(1; + \infty)$ .

Với mọi $x_{0} \in ( - \infty;1)$ , ta có $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left( - \sqrt{5 - x} \right) = - \sqrt{5 - x_{0}} = f\left( x_{0} \right)$ . Suy ra hàm số liên tục trên khoảng $( - \infty;1)$ .

Ta xét tính liên tục của tại $x_{0} = 1$

Ta có: $\lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 4x + 3}{x - 1} = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\frac{(x - 1)(x - 3)}{x - 1} = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}(x - 3) = - 2.$

Ta có: $\lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\left( - \sqrt{5 - x} \right) = - 2.$

Và có $f(1) = - \sqrt{5 - 1} = 2$ .

Vì $\lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = f(1) \Rightarrow$ Hàm số liên tục tại 1 .

Từ $(1),(2)\ và\ (3)$ suy ra liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Bài 2. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \leq 3 \\ ax + b\ \ \ 3 < x < 5 \\ 7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \geq 5 \end{matrix} \right.$ . Xác định a, b để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$

Hướng dẫn giải

Ta có tập xác định của hàm số là $D\mathbb{= R}$ .

Ta có: hàm số liên tục trên khoảng $( - \infty;3),(3;5),(5; + \infty)$ (vì là hàm đa thức).

Do đó hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại các điểm và .

Tại :

Ta có $\lim_{x \rightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 3^{-}}1 = 1$ và $\lim_{x \rightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 3^{+}}(ax + b) = 3a + b$ và

Do đó hàm liên tục tại khi và chỉ khi

$\lim_{x \rightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 3^{+}}f(x) = f(3) \Leftrightarrow 3a + b = 1\ \ \ \ \ (1)$

Tại

Ta có $\lim_{x \rightarrow 5^{-}}f(x) = 5a + b$ và $\lim_{x \rightarrow 5^{+}}f(x) = 7 = f(5).$

Do đó hàm số liên tục tại khi và chỉ khi

$\lim_{x \rightarrow 5^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 5^{+}}f(x) = f(5) \Leftrightarrow 5a + b = 7\ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

Từ và suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{matrix} 3a + b = 1 \\ 5a + b = 7 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = - 8 \end{matrix} \right.\ .$

Vậy với thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Bài 3. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x^{3} + 8}{x^{2} - 4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x > - 2 \\ - 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = - 2 \\ \sqrt{3 + x} - 5\ \ \ \ khi\ - 3 \leq x < - 2 \end{matrix} \right.$ . Tìm các khoảng, nửa khoảng mà trên đó hàm số liên tục.

Hướng dẫn giải

Vì $x^{2} - 4 \neq 0$ với mọi nên hàm số $f(x) = \frac{x^{3} + 8}{x^{2} - 4}$ xác định trên khoảng $( - 2; + \infty)$ .

Ta có $\forall x_{0} \in ( - 2; + \infty)$ thì $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{x^{3} + 8}{x^{2} - 4} = \frac{x_{0}^{3} + 8}{x_{0}^{2} - 4} = f\left( x_{0} \right)$ nên hàm số liên tục trên khoảng $( - 2; + \infty)$ .

Với mọi $x \in \lbrack - 3; - 2)$ thì $3 + x \geq 0$ , do đó hàm số $f(x) = \sqrt{3 + x} - 5$ xác định trên nửa khoảng $\lbrack - 3; - 2)$ .

$\forall x_{0} \in \lbrack - 3; - 2)$ , ta có $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left( \sqrt{3 + x} - 5 \right)$ $= \sqrt{3 + x_{0}} - 5 = f\left( x_{0} \right)$ nên hàm số liên tục trên nửa khoảng $\lbrack - 3; - 2)$ .

Tại $x_{0} = - 2$ , ta có . Và $\lim_{x \rightarrow - 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow - 2^{-}}\left( \sqrt{3 + x} - 5 \right) = - 4 \neq f( - 2)$ nên hàm số f(x) không liên tục tại .

Kết luận hàm số liên tục trên $( - 2; + \infty)$ và trên $\lbrack - 3; - 2)$ .

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho hàm số liên tục trên . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a\ ;\ b\rbrack$ là:

A. $\lim_{x \rightarrow a^{+}}f(x) = f(a)$ và $\lim_{x \rightarrow b^{+}}f(x) = f(b)$ .

B. $\lim_{x \rightarrow a^{+}}f(x) = f(a)$ và $\lim_{x \rightarrow b^{-}}f(x) = f(b)$ .

C. $\lim_{x \rightarrow a^{-}}f(x) = f(a)$ và $\lim_{x \rightarrow b^{+}}f(x) = f(b)$ .

D. $\lim_{x \rightarrow a^{-}}f(x) = f(a)$ và $\lim_{x \rightarrow b^{-}}f(x) = f(b)$ .

Câu 2. Hàm số $f(x) = \sqrt{3 + x} + \sqrt{4 - x}$ liên tục trên:

A. . B. $\lbrack - 3;4\rbrack$ . C. $\lbrack - 3; + \infty)$ . D. $( - \infty;4\rbrack$ .

Câu 3. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x^{2} - 5x + 6}{\sqrt{4x + 1} - 3}\ \ \ \ khi\ \ \ x > 2 \\ 2mx - 1\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ x \leq 2 \end{matrix} \right.$ . Tìm giá trị của tham số để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ ?

A. $m = \frac{- 3}{2}$ . B. $m = \frac{- 1}{8}$ . C. $m = \frac{1}{8}$ . D. $m = \frac{3}{2}$ .

Câu 4. Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 + \cos x\ \ khi\ \ \sin x \geq 0 \\ 3 - \cos x\ \ khi\ \ \sin x < 0 \end{matrix} \right.$ có bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng ?

A. Vô số. B. . C. . D. .

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

---------------------------------

Hiểu rõ tính liên tục của hàm số trên khoảng, đoạn sẽ giúp bạn tự tin xử lý các dạng bài Toán 11 từ cơ bản đến nâng cao. Kết hợp lý thuyết với bài tập có đáp án chi tiết là cách tốt nhất để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: