Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhanh và chính xác

Trong hình học không gian Toán 11, dạng toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thường khiến học sinh gặp khó khăn do phải kết hợp nhiều quan hệ hình học khác nhau. Nếu không chọn đúng hướng tiếp cận, lời giải dễ dài dòng và thiếu chặt chẽ.

Bài viết này sẽ trình bày cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhanh và chính xác, kèm theo bài tập có đáp án, giúp người học nắm vững phương pháp và áp dụng hiệu quả khi làm bài.

A. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \((P)\) ta chứng minh:

• Đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong \((P)\).

• Đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \(a\) mà \(a\) vuông góc với \((P)\).

B. Bài tập minh họa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a) Ta có: \(\Delta SAB\) đều cạnh \(a\) nên \(SI = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) nên tứ giác \(IBCJ\)là hình chữ nhật

Suy ra \(IJ = BC = a\).

\(\Delta SCD\) là tam giác vuông cân đỉnh \(S \Rightarrow SJ = \frac{CD}{2} = \frac{a}{2}\).

Do đó \(SJ^{2} + SI^{2} = IJ^{2} = a^{2} \Rightarrow \Delta SIJ\) vuông tại \(S\).

b) Do \(\Delta SCD\) cân tại \(S\) nên \(SJ\bot CD\) và do \(AB\ //\ CD \Rightarrow SJ\bot AB\).

Mặt khác \(SJ\bot SI \Rightarrow SJ\bot(SAB)\).

Chứng minh tương tự ta có: \(SI\bot(SCD)\).

c) Do \(SI\bot(SCD) \Rightarrow SI\bot CD\)

Mặt khác \(CD\bot IJ \Rightarrow CD\bot(SIJ) \Rightarrow CD\bot SH\).

Do \(SH\bot IJ \Rightarrow SH\bot(ABCD)\).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a) Do các tam giác \(ABC\) và \(BCD\) là hai tam giác cân nên tại \(A\) và \(D\) ta có: \(\left\{ \begin{matrix} AI\bot BC \\ DI\bot BC \end{matrix} \right.\) (trong tam giác cân đường trung tuyến đồng thời là đường cao). Do đó \(BC\bot(AID)\).

b) Do \(AH\) là đường cao trong tam giác \(ADI\) nên \(AH\bot DI\).

Mặt khác \(BC\bot(AID) \Rightarrow BC\bot AH\).

Do đó \(AH\bot(BCD)\).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a) Do \(SA = AC \Rightarrow \Delta SAC\) cân tại \(S\) có trung tuyến \(SO\)đồng thời là đường cao

Suy ra \(SO\bot AC\). Tương tự ta có: \(SO\bot BD \Rightarrow SO\bot(ABCD)\).

b) Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\bot BD\)

Mặt khác \(SO\bot(ABCD) \Rightarrow AC\bot SO\)

Do vậy \(AC\bot(SBD)\).

Suy ra \(IK\) là đường trung bình trong tam giác \(BAC\) nên \(IK\ //\ AC\)

Mà \(AC\bot(SBD) \Rightarrow IK\bot(SBD)\).

C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\bot(ABCD)\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng \(SB\) và \(SD\).

a) Chứng minh rằng \(BC\bot(SAB),\ CD\bot(SAD)\).

b) Chứng minh rằng \(AM\bot(SBC),\ AN\bot(SCD)\).

c) Chứng minh rằng \(SC\bot(AMN)\) và \(MN\ //\ BD\).

d) Gọi \(K\) là giao điểm của \(SC\) với mặt phẳng \((AMN)\). Chứng minh rằng tứ giác \(AMKN\)có hai đường chéo vuông góc.

Bài tập 2. Cho tứ diện \(ABCD\) có ba cạnh \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc.

a) Chứng minh hình chiếu vuông góc của đỉnh \(A\) lên mặt phẳng \((BCD)\) trùng với trực tâm của tam giác \(BCD\).

b) Chứng minh rằng \(\frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{AC^{2}} + \frac{1}{AD^{2}}\).

c) Chứng minh rằng tam giác BCD có 3 góc nhọn.

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

-------------------------------------------------

Khi hiểu rõ bản chất và phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, học sinh sẽ giải quyết các bài toán không gian một cách chủ động và hiệu quả hơn. Hệ thống bài tập Toán 11 có đáp án trong bài là cơ sở giúp củng cố kiến thức, rèn kỹ năng lập luận và nâng cao khả năng vận dụng trong các dạng toán liên quan.