VnDoc.com

Công thức tính mẫu số liệu ghép nhóm chuẩn nhất

Công thức Toán 11

Bài trước

Tải về

Bài sau

Cách tính mẫu số liệu ghép nhóm

A. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm
B. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm
C. Bài tập áp dụng công thức tính mẫu số liệu ghép nhóm.

Trong quá trình phân tích dữ liệu, việc sử dụng công thức tính mẫu số liệu ghép nhóm là bước quan trọng giúp đảm bảo độ chính xác và tính đại diện của kết quả nghiên cứu. Tuy nhiên, không phải ai cũng hiểu rõ cách áp dụng công thức này đúng chuẩn. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn bạn chi tiết cách tính mẫu số liệu ghép nhóm một cách chính xác, kèm ví dụ minh họa cụ thể để dễ dàng áp dụng trong thực tế.

A. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

1. Công thức số trung bình

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng:

Trung điểm $x_{i}$ $x_{i}$ của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm $i$ là giá trị đại diện của nhóm đó.

Số trung binh cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\overline{x}$ $\overset{―}{x}$ , được tính theo công thức:

$\overline{x} = \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + \ldots + n_{m}x_{m}}{n}$ $\overset{―}{x} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + \dots + n_{m} x_{m}}{n}$

Ý nghĩa: Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm có thể làm đại diện cho vị trí trung tâm của mẫu số liệu đó khi các số liệu trong mẫu ít sai lệch với số trung bình cộng.

2. Công thức trung vị

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng:

Giả sử nhóm $k$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}$ $\frac{n}{2}$ , tức là $cf_{k - 1} < \frac{n}{2}$ $c f_{k - 1} < \frac{n}{2}$ nhưng $cf_{k} \geq \frac{n}{2}$ $c f_{k} \geq \frac{n}{2}$ . Ta gọi $r,d,n_{k}$ $r, d, n_{k}$ lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm $k;cf_{k - 1}$ $k; c f_{k - 1}$ là tần số tích luỹ của nhóm $k - 1$ .

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $M_{e}$ $M_{e}$ , được tính theo công thức sau:

$M_{e} = r + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf_{k - 1}}{n_{k}} \right) \cdot d$ $M_{e} = r + (\frac{\frac{n}{2} - c f_{k - 1}}{n_{k}}) \cdot d$

Quy uớc: $cf_{0} = 0$ $c f_{0} = 0$ .

Ý nghĩa: Trung vị của mẫu số liệu có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đó.

3. Công thức Tứ phân vị

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng:

Giả sử nhóm $p$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}$ $\frac{n}{4}$ , tức là $cf_{p - 1} < \frac{n}{4}$ $c f_{p - 1} < \frac{n}{4}$ nhưng $cf_{p} \geq \frac{n}{4}$ $c f_{p} \geq \frac{n}{4}$ .

Ta gọi $s,h,n_{p}$ $s, h, n_{p}$ lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm $p$ ; $cf_{p - 1}$ $c f_{p - 1}$ là tần số tích luỹ của nhóm $p - 1$ .

Tú phân vị thứ nhất $Q_{1}$ $Q_{1}$ được tính theo công thức sau:

$Q_{1} = s + \left( \frac{\frac{n}{4} - cf_{p - 1}}{n_{p}} \right) \cdot h$ $Q_{1} = s + (\frac{\frac{n}{4} - c f_{p - 1}}{n_{p}}) \cdot h$

Tứ phân vị thúc hai $Q_{2}$ $Q_{2}$ bằng trung vị $M_{e}$ $M_{e}$ .

Giả sử nhóm $q$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4}$ $\frac{3 n}{4}$ , tức là $cf_{q - 1} < \frac{3n}{4}$ $c f_{q - 1} < \frac{3 n}{4}$ nhưng $cf_{q} \geq \frac{3n}{4}$ $c f_{q} \geq \frac{3 n}{4}$ . Ta gọi $t,l,n_{q}$ $t, l, n_{q}$ lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm $q;cf_{q - 1}$ $q; c f_{q - 1}$ là tần số tích luỹ của nhóm $q - 1$ .

Tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ $Q_{3}$ được tính theo công thức sau:

$Q_{3} = t + \left( \frac{\frac{3n}{4} - cf_{q - 1}}{n_{q}} \right) \cdot l$ $Q_{3} = t + (\frac{\frac{3 n}{4} - c f_{q - 1}}{n_{q}}) \cdot l$

Ý nghĩa: Tứ phân vị $Q_{1},Q_{2},Q_{3}$ $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ của mẫu số liệu chia mẫu số liệu đó thành bốn phần, mỗi phần chứa $25\%$ $25 %$ giá trị.

4. Công thức tính Mốt

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng sau:

Giả sử nhóm $i$ là nhóm có tần số lớn nhất. Ta gọi $u,g,n_{i}$ $u, g, n_{i}$ lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm $i;n_{i - 1},n_{i + 1}$ $i; n_{i - 1}, n_{i + 1}$ lần lượt là tần số của nhóm $i - 1$ , nhóm $i + 1$ . Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $M_{o}$ $M_{o}$ , ược cính theo công thức sau:

Quy ước: $n_{0} = 0;n_{m + 1} = 0$ $n_{0} = 0; n_{m + 1} = 0$ .

Công thức:

$M_{o} = u + \left( \frac{n_{i} - n_{i - 1}}{2n_{i} - n_{i - 1} - n_{i + 1}} \right) \cdot g$ $M_{o} = u + (\frac{n_{i} - n_{i - 1}}{2 n_{i} - n_{i - 1} - n_{i + 1}}) \cdot g$

Ý nghĩa: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm có thể dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu đó.

B. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

1. Khoảng biến thiên

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng dưới đây:

Trong đó $n_{1}$ $n_{1}$ và $n_{m}$ $n_{m}$ là các số nguyên dương.

Gọi $a_{1}$ $a_{1}$ , $a_{m + 1}$ $a_{m + 1}$ lần lượt là đầu mút trái của nhóm $1$ , đầu mút phải của nhóm $m$ .

Hiệu $R = a_{m + 1} - a_{1}$ $R = a_{m + 1} - a_{1}$ được gọi là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

Ý nghĩa

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu đó. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Trong các đại lượng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm, khoảng biến thiên là đại lượng dễ hiểu, dễ tính toán. Tuy nhiên, do khoảng biến thiên chỉ sử dụng hai giá trị $a_{1}$ $a_{1}$ và $a_{m + 1}$ $a_{m + 1}$ của mẫu số liệu nên đại lượng đó dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.

2. Khoảng tứ phân vị

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng:

Gọi $Q_{1},Q_{2},Q_{3}$ $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ là tứ phân vị của mẫu số liệu đó. Ta gọi hiệu $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1}$ $Δ Q = Q_{3} - Q_{1}$ là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.

Ý nghĩa: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm giúp xác định các giá trị bất thường của mẫu đó. Khoảng tứ phân vị thường được sử dụng thay cho khoảng biến thiên vì nó loại trừ hầu hết giá trị bất thường vủa mẫu số liệu và nó không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường đó.

3. Công thức Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng:

Gọi $\overline{x}$ $\overset{―}{x}$ là số trung bình cộng của mẫu số liệu đó.

Số $s^{2} = \frac{n_{1}\left( x_{1} - \overline{x} \right)^{2} + n_{2}\left( x_{2} - \overline{x} \right)^{2} + ... + n_{m}\left( x_{m} - \overline{x} \right)^{2}}{n}$ $s^{2} = \frac{n_{1} {(x_{1} - \overset{―}{x})}^{2} + n_{2} {(x_{2} - \overset{―}{x})}^{2} + . . . + n_{m} {(x_{m} - \overset{―}{x})}^{2}}{n}$ được gọi là phương sai của mẫu số liệu đó.

Căn bậc hai (số học) của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $s$ , nghĩa là $s = \sqrt{s^{2}}$ $s = \sqrt{s^{2}}$ .

Ý nghĩa

Phương sai (độ lệch chuẩn) của mẫu số liệu ghép nhóm được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm đó.
Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.
Khi hai mẫu số liệu ghép nhóm có cùng đơn vị đo và có số trung trình cộng bằng nhau (hoặc xấp xỉ nhau), mẫu số liệu nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì mức độ phân tán (so với số trung bình cộng) của các số liệu trong mẫu đó sẽ thấp hơn.

C. Bài tập áp dụng công thức tính mẫu số liệu ghép nhóm.

Bài 1: Bảng số liệu dưới đây biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mà $60$ khách hàng mua sách ở một cửa hàng trong một ngày.

Nhóm	Tần số	Tần số tích lũy
[40; 50)	5	5
[50; 60)	8	13
[60; 70)	25	38
[70; 80)	20	58
[80; 90)	2	60
	N = 60

a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là $65$ (nghìn đồng).
b) Trung vị của mẫu số liệu trên là $66, 8$ (nghìn đồng).
c) Tứ phân vị nhất $Q_{1}$ $Q_{1}$ của mẫu số liệu trên là $60, 8$ (nghìn đồng).
d) Mốt của mẫu số liệu trên là $65$ (nghìn đồng).

Hướng dẫn giải

Ý	a)	b)	c)	d)
Kết quả	S	Đ	Đ	S

a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

$\overline{x} = \frac{5.45 + 8.55 + 25.65 + 20.75 + 2.85}{60} = 66$ $\overset{―}{x} = \frac{5.45 + 8.55 + 25.65 + 20.75 + 2.85}{60} = 66$ (nghìn đồng)

b) Số phần tứ của mẫu là $n = 60$ . Ta có: $\frac{n}{2} = \frac{60}{2} = 30$ $\frac{n}{2} = \frac{60}{2} = 30$ mà $13 < 30 < 38$ . Suy ra nhóm $3$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $30$ .

Xét nhóm $3$ có $r = 60$ ; $d = 10;\ \ n_{3} = 25$ $d = 10; n_{3} = 25$ và nhóm $2$ có $cf_{2} = 13$ $c f_{2} = 13$ .
Trung vị của mẫu số liệu đó là:

$M_{e} = 60 + \left( \frac{30 - 13}{25} \right) \cdot 10 = 66,8$ $M_{e} = 60 + (\frac{30 - 13}{25}) \cdot 10 = 66, 8$ (nghìn đồng).

c) Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{60}{4} = 15$ $\frac{n}{4} = \frac{60}{4} = 15$ mà $13 < 15 < 38$ . Suy ra nhóm $3$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $15$ .

Xét nhóm $3$ có $r = 60;\ \ d = 10;\ \ n_{3} = 25$ $r = 60; d = 10; n_{3} = 25$ và nhóm $2$ có $cf_{2} = 13$ $c f_{2} = 13$ .
Tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ $Q_{1}$ của mẫu số liệu đó là:

$Q_{1} = 60 + \left( \frac{15 - 13}{25} \right) \cdot 10 = 60,8$ $Q_{1} = 60 + (\frac{15 - 13}{25}) \cdot 10 = 60, 8$ (nghìn đồng).
d) Ta thấy nhóm $3$ là nhóm có tần số lớn nhất với $u = 60;\ \ g = 10;\ \ n_{3} = 25$ $u = 60; g = 10; n_{3} = 25$ . Nhóm $2$ có tần số $n_{2} = 8$ $n_{2} = 8$ , nhóm $4$ có tần số $n_{4} = 20$ $n_{4} = 20$ .
Mốt của mẫu số liệu đó là:

$M_{o} = 60 + \left( \frac{25 - 8}{2 \cdot 25 - 8 - 20} \right) \cdot 10 \approx 68$ $M_{o} = 60 + (\frac{25 - 8}{2 \cdot 25 - 8 - 20}) \cdot 10 \approx 68$ (nghìn đồng).

Bài 2 : Kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh (cùng đề) của học sinh hai lớp $12 A$ và $12 B$ được cho lần lượt bởi mẫu số liệu ghép nhóm ở các bảng 6, bảng 7:

a) Số trung bình cộng của hai mẫu số liệu trên bằng nhau.
b) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp $12 A$ nhỏ hơn 2.
c) Phương sai của mẫu số liệu lớp $12 B$ lớn hơn 3.
d) Điểm thi của học sinh lớp $12 B$ đồng đều hơn lớp $12 A$ .

Hướng dẫn giải

Ý	a)	b)	c)	d)
Kết quả	Đ	S	Đ	Đ

a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu lớp $12 A$ là:

$\ \overline{x_{A}} = \frac{3.1 + 5.3 + 5.5 + 25.7 + 2.9}{40} = 5,9.$ $\overset{―}{x_{A}} = \frac{3.1 + 5.3 + 5.5 + 25.7 + 2.9}{40} = 5, 9.$

Số trung bình cộng của mẫu số liệu lớp $12 B$ là:

$\overline{x_{B}} = \frac{1.1 + 4 \cdot 3 + 15.5 + 16 \cdot 7 + 4.9}{40} = 5,9.$ $\overset{―}{x_{B}} = \frac{1.1 + 4 \cdot 3 + 15.5 + 16 \cdot 7 + 4.9}{40} = 5, 9.$

Suy ra số trung bình cộng của hai mẫu số liệu trên bằng nhau.

Phương sai của mẫu số liệu lớp $12 A$ là:

$s_{A}^{2} = \frac{3(1 - 5,9)^{2} + 5(3 - 5,9)^{2} + 5(5 - 5,9)^{2} + 25(7 - 5,9)^{2} + 2(9 - 5,9)^{2}}{40} = 4,19$ $s_{A}^{2} = \frac{3 (1 - 5, 9)^{2} + 5 (3 - 5, 9)^{2} + 5 (5 - 5, 9)^{2} + 25 (7 - 5, 9)^{2} + 2 (9 - 5, 9)^{2}}{40} = 4, 19$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp $12 A$ là $\sqrt{4,19}$ $\sqrt{4, 19}$ và $\sqrt{4,19} > 2$ $\sqrt{4, 19} > 2$ .

Phương sai của mẫu số liệu lớp $12 B$ là:

$s_{B}^{2} = \frac{1(1 - 5,9)^{2} + 4(3 - 5,9)^{2} + 15(5 - 5,9)^{2} + 16(7 - 5,9)^{2} + 4(9 - 5,9)^{2}}{40} = 3,19$ $s_{B}^{2} = \frac{1 (1 - 5, 9)^{2} + 4 (3 - 5, 9)^{2} + 15 (5 - 5, 9)^{2} + 16 (7 - 5, 9)^{2} + 4 (9 - 5, 9)^{2}}{40} = 3, 19$

Và $3, 19 > 3$ .

Vì $s_{A}^{2} > s_{B}^{2}$ $s_{A}^{2} > s_{B}^{2}$ nên điểm thi của học sinh lớp $12 B$ đồng đều hơn lớp $12 A$ .

------------------------------------------

Việc nắm vững công thức tính mẫu số liệu ghép nhóm không chỉ giúp bạn xử lý dữ liệu hiệu quả mà còn nâng cao độ tin cậy của các kết luận nghiên cứu. Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ cách áp dụng công thức và biết cách sử dụng đúng trong từng trường hợp cụ thể. Nếu bạn thấy bài viết hữu ích, đừng quên chia sẻ để mọi người cùng biết nhé!

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

121

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Bơ

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Công thức tính mẫu số liệu ghép nhóm chuẩn nhất

393,5 KB

File word

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!