Cấp số nhân

Chuyên đề cấp số cộng, cấp số nhân Toán 11

Cấp số nhân Toán 11

I. Tổng hợp lí thuyết
II. Bài tập ví dụ minh họa
III. Bài tập tự luyện

VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Cấp số nhân môn Toán lớp 11. Tài liệu được VnDoc biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Cấp số nhân

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Tổng hợp lí thuyết

1.Cấp số cộng là gì?

Định nghĩa: Dãy số _{$\left( {{U}_{n}} \right)$} được xác định bởi: _{$\left( {{U}_{n}} \right)=\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=a \\ {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q \\ \end{matrix}\left( n\in \mathbb{N}* \right) \right.$} thì dãy số này được gọi là cấp số nhân, q là công bội.

Như vậy ta có thể hiểu cấp số nhân có dạng: _{$a,aq,a{{q}^{2}},a{{q}^{3}},a{{q}^{4}},...$} với a là số hạng đầu tiên và q là công bội.

Ví dụ: Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và công sai bằng 2 là _{$2,4,8,16,32,64,128,....$}

2.Số hạng tổng quát

Cấp số nhân bắt đầu là phần tử _{${{u}_{1}}$} và công bội q thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức: _{${{u}_{n+1}}=a.{{q}^{n}},n\ge 1$}

$\Rightarrow q=\sqrt[n-1]{\frac{{{a}_{n}}}{a}},n\ge 1$ $\Rightarrow q=\sqrt[n-1]{\frac{{{a}_{n}}}{a}},n\ge 1$

3.Tính chất

Ba số hạng _{${{u}_{n-1}},{{u}_{n}},{{u}_{n+1}}$} là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi _{${{u}_{n}}^{2}={{u}_{n-1}}.{{u}_{n+1}}$với $n\ge 1$}

4. Tổng của một cấp số nhân

Tổng số hạng đầu của cấp số nhân :

$\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a{{q}^{0}}+a{{q}^{1}}+a{{q}^{2}}+a{{q}^{3}}+...+a{{q}^{n}}}$ $\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a{{q}^{0}}+a{{q}^{1}}+a{{q}^{2}}+a{{q}^{3}}+...+a{{q}^{n}}}$

Nhân cả 2 vế với: $\left( 1-q \right)$ $\left( 1-q \right)$

$\Leftrightarrow \left( 1-q \right){{S}_{n+1}}=\left( 1-q \right)\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a-a{{q}^{n+1}}}$ $\Leftrightarrow \left( 1-q \right){{S}_{n+1}}=\left( 1-q \right)\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a-a{{q}^{n+1}}}$

Vì tất cả các số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau

$\Rightarrow {{S}_{n+1}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=\frac{a\left( 1-{{q}^{n+1}} \right)}{1-q}}$ $\Rightarrow {{S}_{n+1}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=\frac{a\left( 1-{{q}^{n+1}} \right)}{1-q}}$

5.Chú ý

a. Dãy số $\left( {{U}_{n}} \right)$ $\left( {{U}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân, công sai d _{$\Leftrightarrow \frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=q$} không phụ thuộc vào n

b. Ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân _{$\Leftrightarrow {{b}^{2}}=a.c$}

c. Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết bài toán qua _{${{u}_{1}},q$}

II. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Dãy số _{$\left( {{U}_{n}} \right)$} có phải cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội?

$a.\ u_n=2n$ $a.\ u_n=2n$

$b. {{u}_{n}}={{4.3}^{n}}$ $b. {{u}_{n}}={{4.3}^{n}}$

$c. {{u}_{n}}=\frac{5}{n}$ $c. {{u}_{n}}=\frac{5}{n}$

Hướng dẫn giải

a.Ta có: _{$\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{2\left( n+1 \right)}{2n}=\frac{1}{n}+1$} phụ thuộc vào n. vậy dãy số trên không phải là một cấp số nhân.

b. Ta có: _{$\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{4.3}^{n+1}}}{{{4.3}^{n}}}=3=const$}. Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với công bội là 3

c. Ta có: _{$\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{\dfrac{5}{n+1}}{\dfrac{5}{n}}=\dfrac{n}{n+1}$} phụ thuộc vào n. Vậy dãy số đã cho không là cấp số nhân.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân _{$\left( {{U}_{n}} \right)$} thỏa mãn: _{$\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\ {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\dfrac{82}{11} \\ \end{matrix} \right.$}

a. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số.

b.Tính tổng _{${{S}_{2011}}$}

c. Trên khoảng _{$\left( \frac{1}{2},1 \right)$} có bao nhiêu số hạng của cấp số.

Hướng dẫn giải

a. Từ giải thiết bài toán đã cho ta có:

$\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\ {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\dfrac{82}{11} \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}=\dfrac{39}{11} \\ {{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}=\dfrac{82}{11} \\ \end{matrix} \right. \right.$ $\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\ {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\dfrac{82}{11} \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}=\dfrac{39}{11} \\ {{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}=\dfrac{82}{11} \\ \end{matrix} \right. \right.$

$\Rightarrow \frac{{{q}^{4}}+1}{{{q}^{3}}+{{q}^{2}}+q}=\dfrac{82}{39} \Leftrightarrow \left( q-3 \right)\left( 3q-1 \right)\left( 13{{q}^{2}}+16q+13 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} q=\dfrac{1}{3} \\ q=3 \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \frac{{{q}^{4}}+1}{{{q}^{3}}+{{q}^{2}}+q}=\dfrac{82}{39} \Leftrightarrow \left( q-3 \right)\left( 3q-1 \right)\left( 13{{q}^{2}}+16q+13 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} q=\dfrac{1}{3} \\ q=3 \\ \end{matrix} \right.$

Với _{$q=\frac{1}{3}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{81}{11}\Leftrightarrow {{u}_{n}}=\dfrac{81}{11}\dfrac{1}{{{3}^{n-1}}}$}
Với _{$q=3\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{1}{11}\Leftrightarrow {{u}_{n}}=\dfrac{{{3}^{n-1}}}{11}$}

b. Ta có: _{${{S}_{2011}}={{u}_{1}}.\dfrac{{{q}^{2011}}-1}{q-1}$} thay lần lượt các giá trị q đã tìm ở câu a vào biểu thức

c. Với _$q=3$ ta có; _{${{u}_{n}}=\frac{{{3}^{n-1}}}{11}\in \left( \frac{1}{2},1 \right)\Leftrightarrow n=3$} nên có một số hạng của dãy

Với _{$q=\frac{1}{3}$} ta có: _{${{u}_{n}}=\dfrac{81}{11}.\dfrac{1}{{{3}^{n-1}}}\in \left( \dfrac{1}{2},1 \right)\Leftrightarrow n=3$} nên có một số hạng của dãy

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ 2. Hãy tìm số hạng còn lại của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn giải

Gọi cấp số nhân đó là _{$\left( {{U}_{n}} \right), n=\overline{1,7}$}. Theo đề bài ta có:

$\left\{ \begin{matrix} {{u}_{4}}=6 \\ {{u}_{7}}=243{{u}_{2}} \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}.{{q}^{3}}=6 \\ {{u}_{1}}.{{q}^{6}}=243{{u}_{1}}.q \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=\dfrac{2}{9} \\ q=3 \\ \end{matrix} \right. \right. \right.$ $\left\{ \begin{matrix} {{u}_{4}}=6 \\ {{u}_{7}}=243{{u}_{2}} \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}.{{q}^{3}}=6 \\ {{u}_{1}}.{{q}^{6}}=243{{u}_{1}}.q \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=\dfrac{2}{9} \\ q=3 \\ \end{matrix} \right. \right. \right.$

Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân đó là:

${{u}_{1}}=\dfrac{2}{9},{{u}_{2}}=\dfrac{2}{3},{{u}_{3}}=2,{{u}_{4}}=6,{{u}_{5}}=18,{{u}_{6}}=54,{{u}_{7}}=162$ ${{u}_{1}}=\dfrac{2}{9},{{u}_{2}}=\dfrac{2}{3},{{u}_{3}}=2,{{u}_{4}}=6,{{u}_{5}}=18,{{u}_{6}}=54,{{u}_{7}}=162$

Ví dụ 4: Cho cấp số nhân _{$\left( {{U}_{n}} \right)$} thỏa mãn: _{${{u}_{n}}={{3}^{\dfrac{n}{2}+1}}$}

a. Chứng minh dãy số là cấp số nhân

b. Tính _{$S={{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}...+{{u}_{20}}$}

c. Số 19683 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số.

Hướng dẫn giải

a. Ta có: _{$\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{{{3}^{\dfrac{n+1}{2}+1}}}{{{3}^{\dfrac{n}{2}+1}}}=\sqrt{3}=const$} không phụ thuộc vào n. Vậy dãy số _{$\left( {{U}_{n}} \right)$} là một cấp số nhân với số hạng đầu _{${{u}_{1}}=3\sqrt{3}$} và công bội là _{$q=\sqrt{3}$}

b. Ta có: _{${{u}_{2}},{{u}_{4}},{{u}_{6}},...,{{u}_{20}}$} lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là _{${{u}_{2}}=9,q=3$} và có 10 số hạng nên

$\Rightarrow S={{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}+...+{{u}_{20}}={{u}_{2}}\dfrac{1-{{3}^{10}}}{1-3}=\dfrac{9}{2}\left( {{3}^{10}}-1 \right)$ $\Rightarrow S={{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}+...+{{u}_{20}}={{u}_{2}}\dfrac{1-{{3}^{10}}}{1-3}=\dfrac{9}{2}\left( {{3}^{10}}-1 \right)$

c. Ta có: _{${{u}_{n}}=19683\Rightarrow {{3}^{\dfrac{n}{2}+1}}={{3}^{9}}\Leftrightarrow n=16$}

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho cấp số nhân_{$\left( {{U}_{n}} \right)$} biết _{${{u}_{1}}=2,{{u}_{3}}=18$}

a. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho

b. Tính _{${{u}_{6}}$}

c. Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Bài 2: Tìm các giá trị thỏa mãn đề bài:

a. _{$q=2,{{u}_{n}}=96,{{S}_{n}}=189$}. Tìm n

b. _{${{u}_{1}}=2,{{u}_{n}}=\frac{1}{8},{{S}_{n}}=\frac{31}{8}$}. Tìm n

c. _{${{u}_{3}}=3,{{u}_{5}}=27.{{S}_{8}}=?$}

Bài 3: Xác định cấp số nhân biết rằng: _{${{S}_{4}}=40,{{S}_{8}}=680$}

Bài 4:

a. Cho _{${{u}_{8}}=128,q=-2$}.Tìm _{${{S}_{8}}=?$}

b. Cho _{${{u}_{1}}=1,{{S}_{8}}=\dfrac{{{3}^{8}}-1}{2}$}. Tìm cấp số nhân

c. Cho _{$q=-1,{{S}_{8}}=85$}. Tìm cấp số nhân

Bài 5: Chứng minh rằng nếu phương trình bậc 3 _{${{x}^{3}}-a{{x}^{2}}+bx-c=0$} có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân thì _{$c\left( c{{a}^{3}}-{{b}^{3}} \right)=0$}

Xem thêm các bài tiếp theo tại: https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-11

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Cấp số nhân môn Toán lớp 11. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Sinh học lớp 11, Vật lý lớp 11, Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

645

Bài trước

Bài sau