Cấp số nhân
Cấp số nhân Toán 11
VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Cấp số nhân môn Toán lớp 11. Tài liệu được VnDoc biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!
Cấp số nhân
I. Tổng hợp lí thuyết
1. Cấp số cộng là gì?
Định nghĩa: Dãy số 
\(\left( {{U}_{n}} \right)\) được xác định bởi: \(\left( {{U}_{n}} \right)=\left\{ \begin{matrix}
{{u}_{1}}=a \\
{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q \\
\end{matrix}\left( n\in \mathbb{N}* \right) \right.\) thì dãy số này được gọi là cấp số nhân, q là công bội.
Như vậy ta có thể hiểu cấp số nhân có dạng: \(a,aq,a{{q}^{2}},a{{q}^{3}},a{{q}^{4}},...\) với a là số hạng đầu tiên và q là công bội.
Ví dụ: Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và công sai bằng 2 là \(2,4,8,16,32,64,128,....\)
2. Số hạng tổng quát
Cấp số nhân bắt đầu là phần tử \({{u}_{1}}\) và công bội q thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức: \({{u}_{n+1}}=a.{{q}^{n}},n\ge 1\)
\(\Rightarrow q=\sqrt[n-1]{\frac{{{a}_{n}}}{a}},n\ge 1\)
3. Tính chất của cấp số nhân
Ba số hạng \({{u}_{n-1}},{{u}_{n}},{{u}_{n+1}}\) là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi \({{u}_{n}}^{2}={{u}_{n-1}}.{{u}_{n+1}}\)với \(n\ge 1\)
4. Tổng của một cấp số nhân
Tổng số hạng đầu của cấp số nhân :
\(\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a{{q}^{0}}+a{{q}^{1}}+a{{q}^{2}}+a{{q}^{3}}+...+a{{q}^{n}}}\)
Nhân cả 2 vế với: \(\left( 1-q \right)\)
\(\Leftrightarrow \left( 1-q \right){{S}_{n+1}}=\left( 1-q \right)\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a-a{{q}^{n+1}}}\)
Vì tất cả các số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau
\(\Rightarrow {{S}_{n+1}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=\frac{a\left( 1-{{q}^{n+1}} \right)}{1-q}}\)
5. Chú ý
a. Dãy số \(\left( {{U}_{n}} \right)\) là một cấp số nhân, công sai d \(\Leftrightarrow \frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=q\) không phụ thuộc vào n
b. Ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân \(\Leftrightarrow {{b}^{2}}=a.c\)
c. Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết bài toán qua \({{u}_{1}},q\)
II. Bài tập ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Dãy số \(\left( {{U}_{n}} \right)\) có phải cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội?
\(a.\ u_n=2n\)
\(b. {{u}_{n}}={{4.3}^{n}}\)
\(c. {{u}_{n}}=\frac{5}{n}\)
Hướng dẫn giải
a.Ta có: \(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{2\left( n+1 \right)}{2n}=\frac{1}{n}+1\) phụ thuộc vào n. vậy dãy số trên không phải là một cấp số nhân.
b. Ta có: \(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{4.3}^{n+1}}}{{{4.3}^{n}}}=3=const\). Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với công bội là 3
c. Ta có: \(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{\dfrac{5}{n+1}}{\dfrac{5}{n}}=\dfrac{n}{n+1}\) phụ thuộc vào n. Vậy dãy số đã cho không là cấp số nhân.
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân \(\left( {{U}_{n}} \right)\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{matrix}
{{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\
{{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\dfrac{82}{11} \\
\end{matrix} \right.\)
a. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số.
b.Tính tổng \({{S}_{2011}}\)
c. Trên khoảng \(\left( \frac{1}{2},1 \right)\) có bao nhiêu số hạng của cấp số.
Hướng dẫn giải
a. Từ giải thiết bài toán đã cho ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
{{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\
{{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\dfrac{82}{11} \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}=\dfrac{39}{11} \\
{{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}=\dfrac{82}{11} \\
\end{matrix} \right. \right.\)
\(\Rightarrow \frac{{{q}^{4}}+1}{{{q}^{3}}+{{q}^{2}}+q}=\dfrac{82}{39}
\Leftrightarrow \left( q-3 \right)\left( 3q-1 \right)\left( 13{{q}^{2}}+16q+13 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
q=\dfrac{1}{3} \\
q=3 \\
\end{matrix} \right.\)
- Với \(q=\frac{1}{3}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{81}{11}\Leftrightarrow {{u}_{n}}=\dfrac{81}{11}\dfrac{1}{{{3}^{n-1}}}\)
- Với \(q=3\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{1}{11}\Leftrightarrow {{u}_{n}}=\dfrac{{{3}^{n-1}}}{11}\)
b. Ta có: \({{S}_{2011}}={{u}_{1}}.\dfrac{{{q}^{2011}}-1}{q-1}\) thay lần lượt các giá trị q đã tìm ở câu a vào biểu thức
c. Với \(q=3\) ta có; \({{u}_{n}}=\frac{{{3}^{n-1}}}{11}\in \left( \frac{1}{2},1 \right)\Leftrightarrow n=3\) nên có một số hạng của dãy
Với \(q=\frac{1}{3}\) ta có: \({{u}_{n}}=\dfrac{81}{11}.\dfrac{1}{{{3}^{n-1}}}\in \left( \dfrac{1}{2},1 \right)\Leftrightarrow n=3\) nên có một số hạng của dãy
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ 2. Hãy tìm số hạng còn lại của cấp số nhân đó.
Hướng dẫn giải
Gọi cấp số nhân đó là \(\left( {{U}_{n}} \right), n=\overline{1,7}\). Theo đề bài ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
{{u}_{4}}=6 \\
{{u}_{7}}=243{{u}_{2}} \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{u}_{1}}.{{q}^{3}}=6 \\
{{u}_{1}}.{{q}^{6}}=243{{u}_{1}}.q \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{u}_{1}}=\dfrac{2}{9} \\
q=3 \\
\end{matrix} \right. \right. \right.\)
Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân đó là:
\({{u}_{1}}=\dfrac{2}{9},{{u}_{2}}=\dfrac{2}{3},{{u}_{3}}=2,{{u}_{4}}=6,{{u}_{5}}=18,{{u}_{6}}=54,{{u}_{7}}=162\)
Ví dụ 4: Cho cấp số nhân \(\left( {{U}_{n}} \right)\) thỏa mãn: \({{u}_{n}}={{3}^{\dfrac{n}{2}+1}}\)
a. Chứng minh dãy số là cấp số nhân
b. Tính \(S={{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}...+{{u}_{20}}\)
c. Số 19683 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số.
Hướng dẫn giải
a. Ta có: \(\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{{{3}^{\dfrac{n+1}{2}+1}}}{{{3}^{\dfrac{n}{2}+1}}}=\sqrt{3}=const\) không phụ thuộc vào n. Vậy dãy số \(\left( {{U}_{n}} \right)\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({{u}_{1}}=3\sqrt{3}\) và công bội là \(q=\sqrt{3}\)
b. Ta có: \({{u}_{2}},{{u}_{4}},{{u}_{6}},...,{{u}_{20}}\) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là \({{u}_{2}}=9,q=3\) và có 10 số hạng nên
\(\Rightarrow S={{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}+...+{{u}_{20}}={{u}_{2}}\dfrac{1-{{3}^{10}}}{1-3}=\dfrac{9}{2}\left( {{3}^{10}}-1 \right)\)
c. Ta có: \({{u}_{n}}=19683\Rightarrow {{3}^{\dfrac{n}{2}+1}}={{3}^{9}}\Leftrightarrow n=16\)
