VnDoc.com Học tập Lớp 11 Toán lớp 11

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn
13 26.404
Tải về Bài viết đã được lưu

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn Toán 11

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn, nội dung tài liệu được cập nhật nhanh và chính xác nhất sẽ là nguồn thông tin hay để giúp các bạn học sinh học tốt hơn môn Toán.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

1. Cấp số nhân là gì?

Định nghĩa: Dãy số \left( {{U}_{n}} \right) được xác định bởi: \left( {{U}_{n}} \right)=\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=a \\ {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q \\ \end{matrix}\left( n\in \mathbb{N}* \right) \right. thì dãy số này được gọi là cấp số nhân, q là công bội.

Như vậy ta có thể hiểu cấp số nhân có dạng: a,aq,a{{q}^{2}},a{{q}^{3}},a{{q}^{4}},... với a là số hạng đầu tiên và q là công bội.

Ví dụ: Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và công sai bằng 2 là 2,4,8,16,32,64,128,....

2. Số hạng tổng quát

Cấp số nhân bắt đầu là phần tử {{u}_{1}} và công bội q thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức: {{u}_{n+1}}=a.{{q}^{n}},n\ge 1

\Rightarrow q=\sqrt[n-1]{\frac{{{a}_{n}}}{a}},n\ge 1

3. Tổng của một cấp số nhân

Tổng số hạng đầu của cấp số nhân :

\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a{{q}^{0}}+a{{q}^{1}}+a{{q}^{2}}+a{{q}^{3}}+...+a{{q}^{n}}}

Nhân cả 2 vế với: \left( 1-q \right)

\Leftrightarrow \left( 1-q \right){{S}_{n+1}}=\left( 1-q \right)\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a-a{{q}^{n+1}}}

Vì tất cả các số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau

\Rightarrow {{S}_{n+1}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=\frac{a\left( 1-{{q}^{n+1}} \right)}{1-q}}

4. Cấp số nhân lùi vô hạn

(un) có công bội q, |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ 1: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,… là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = 1/2

5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

- Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q. Khi đó ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng:

S = \dfrac{u_1}{1−q} với |q|<1

Chú ý: Nếu công bội là:

  • Số dương: Các số hạng luôn có dấu cố định.
  • Số âm: các số hạng là đan dấu giữa âm và dương..
  • 0, mọi số hạng bằng 0.
  • Lớn hơn 1, các số hạng tăng theo hàm mũ tới vô cực dương hoặc âm.
    1, là một dãy không đổi.
  • Giữa 1 và −1 nhưng khác không, chúng giảm theo hàm mũ về 0.
    −1, là một dãy đan dấu.
  • Nhỏ hơn −1, chúng tăng theo hàm mũ về vô cực (dương và âm).

Ví dụ 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) với u_n=\left ( \dfrac1{3} \right ) ^n

Hướng dẫn giải

Ta có u_1 = \dfrac1{3}, u_2 = \dfrac1{9}.

Suy ra q=\frac{1}{3}

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn ta có:

S = \dfrac{u_1}{1−q}

S = \dfrac{1/3}{1−1/3} = \dfrac1{2}

Ví dụ 3: Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 

-1,-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},-\dfrac{1}{8},..,{{\left( \dfrac{-1}{2} \right)}^{n}},...

Hướng dẫn giải

Vì các số của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với {{u}_{1}}=1,q=\frac{-1}{2}

S=-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+...+{{\left( \frac{-1}{2} \right)}^{n}}+... \Rightarrow S=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}=\frac{1}{1+\dfrac{1}{2}}=\frac{2}{3}

Ví dụ 4: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là \frac{5}{3} tổng ba số hạng đầu tiên của dãy số là \frac{39}{25}. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó

Lời giải:

Ta có: \left\{ \begin{matrix} S=\dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}=\dfrac{5}{3} \\ {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=\dfrac{39}{25} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}=\dfrac{5}{3} \\ {{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=\dfrac{36}{25}\text{ }\left( * \right) \\ \end{matrix} \right.

\left( * \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}\left( 1+{{q}^{3}} \right)=\dfrac{39}{25}\Leftrightarrow \dfrac{5}{3}\left( 1+{{q}^{3}} \right)=\dfrac{39}{25}\Leftrightarrow q=\dfrac{2}{5}\Rightarrow {{u}_{1}}=1

Ví dụ 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có diện tích {{S}_{1}}. Nối 4 trung điểm {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{D}_{1}} ta được hình vuông thứ 2 có diện tích {{S}_{2}}. Tiếp tục như thế, ta được hình vuông {{A}_{1}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}{{D}_{2}} có diện tích {{S}_{3}}…. Tiếp tục quá trình trên ta được hình vuông lần lượt có diện tích là {{S}_{4}},{{S}_{5}},{{S}_{6}},.....,{{S}_{100}}. Tính tổng \sum\limits_{k=1}^{100}{{{S}_{k}}}

Lời giải:

Có {{S}_{n}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{n-1}},{{S}_{1}}={{a}^{2}}\Rightarrow \left( {{S}_{n}} \right) là cấp số nhân có công bội bằng \frac{1}{2}

Do \sum\limits_{k=1}^{100}{{{S}_{k}}}=S{_1}\dfrac{{{q}^{100}}-1}{q-1}={{a}^{2}}\dfrac{{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-100}{\dfrac{1}{2}-1}

Ví dụ 4: Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 56, còn tổng các bình phương của các số hạng của nó bằng 448. Số hạng đầu của cấp số nhân thuộc khoảng nào sau đây?

Hướng dẫn giải

\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_n} = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 56} \\ {{u_1}^2 + {u_2}^2 + ... + {u_n}^2 = 449} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 56\left( {1 - q} \right)} \\ {{u_1}^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + ... + {q^{2n - 2}}} \right) = 448} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}

\begin{matrix} \Rightarrow {u_1}^2.\dfrac{1}{{1 - {q^2}}} = 448 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{{{56}^2}\left( {1 - q} \right)}}{{1 + q}} = 448 \Rightarrow q = \dfrac{3}{4} \hfill \\ \Rightarrow {u_1} = 14 \hfill \\ \end{matrix}

------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Toán lớp 11, Giải bài tập Hóa học lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Ngoài tài liệu Công thức cấp số nhân, VnDoc mời quý thầy cô cùng bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Đánh giá bài viết
13 26.404
Tìm thêm: cấp số nhân lùi vô hạn công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn công thức tính tổng cấp số nhân
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Toán lớp 11
Xem thêm