Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

VnDoc.com

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn Toán 11

1. Cấp số nhân là gì?
2. Số hạng tổng quát
3. Tổng của một cấp số nhân
4. Cấp số nhân lùi vô hạn
5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn để bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết với nội dung tài liệu được cập nhật nhanh và chính xác nhất sẽ là nguồn thông tin hay để giúp các bạn học sinh học tốt hơn môn Toán. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé.

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

1. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Định nghĩa: Dãy số _{$\left( {{U}_{n}} \right)$} được xác định bởi: _{$\left( {{U}_{n}} \right)=\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=a \\ {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q \\ \end{matrix}\left( n\in \mathbb{N}* \right) \right.$} thì dãy số này được gọi là cấp số nhân, q là công bội.

Như vậy ta có thể hiểu cấp số nhân có dạng: _{$a,aq,a{{q}^{2}},a{{q}^{3}},a{{q}^{4}},...$} với a là số hạng đầu tiên và q là công bội.

Ví dụ: Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và công sai bằng 2 là _{$2,4,8,16,32,64,128,....$}

2. Số hạng tổng quát

Cấp số nhân bắt đầu là phần tử _{${{u}_{1}}$} và công bội q thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức: _{${{u}_{n+1}}=a.{{q}^{n}},n\ge 1$}

$\Rightarrow q=\sqrt[n-1]{\frac{{{a}_{n}}}{a}},n\ge 1$ $\Rightarrow q=\sqrt[n-1]{\frac{{{a}_{n}}}{a}},n\ge 1$

3. Tổng của một cấp số nhân

Tổng số hạng đầu của cấp số nhân :

$\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a{{q}^{0}}+a{{q}^{1}}+a{{q}^{2}}+a{{q}^{3}}+...+a{{q}^{n}}}$ $\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a{{q}^{0}}+a{{q}^{1}}+a{{q}^{2}}+a{{q}^{3}}+...+a{{q}^{n}}}$

Nhân cả 2 vế với: $\left( 1-q \right)$ $\left( 1-q \right)$

$\Leftrightarrow \left( 1-q \right){{S}_{n+1}}=\left( 1-q \right)\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a-a{{q}^{n+1}}}$ $\Leftrightarrow \left( 1-q \right){{S}_{n+1}}=\left( 1-q \right)\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a-a{{q}^{n+1}}}$

Vì tất cả các số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau

$\Rightarrow {{S}_{n+1}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=\frac{a\left( 1-{{q}^{n+1}} \right)}{1-q}}$ $\Rightarrow {{S}_{n+1}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=\frac{a\left( 1-{{q}^{n+1}} \right)}{1-q}}$

4. Cấp số nhân lùi vô hạn

(u_n) có công bội q, |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ 1: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,… là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = 1/2

5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

- Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) có công bội q. Khi đó ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng:

_{$S = \dfrac{u_1}{1−q}$} với _$|q|<1$

Chú ý: Nếu công bội là:

Số dương: Các số hạng luôn có dấu cố định.
Số âm: các số hạng là đan dấu giữa âm và dương..
0, mọi số hạng bằng 0.
Lớn hơn 1, các số hạng tăng theo hàm mũ tới vô cực dương hoặc âm.
1, là một dãy không đổi.
Giữa 1 và −1 nhưng khác không, chúng giảm theo hàm mũ về 0.
−1, là một dãy đan dấu.
Nhỏ hơn −1, chúng tăng theo hàm mũ về vô cực (dương và âm).

Ví dụ 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) với _{$u_n=\left ( \dfrac1{3} \right ) ^n$}

Hướng dẫn giải

Ta có $u_1 = \dfrac1{3}, u_2 = \dfrac1{9}$ $u_1 = \dfrac1{3}, u_2 = \dfrac1{9}$.

Suy ra _{$q=\frac{1}{3}$}

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn ta có:

$S = \dfrac{u_1}{1−q}$ $S = \dfrac{u_1}{1−q}$

$S = \dfrac{1/3}{1−1/3} = \dfrac1{2}$ $S = \dfrac{1/3}{1−1/3} = \dfrac1{2}$

Ví dụ 3: Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

$-1,-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},-\dfrac{1}{8},..,{{\left( \dfrac{-1}{2} \right)}^{n}},...$ $-1,-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},-\dfrac{1}{8},..,{{\left( \dfrac{-1}{2} \right)}^{n}},...$

Hướng dẫn giải

Vì các số của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với _{${{u}_{1}}=1,q=\frac{-1}{2}$}

$S=-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+...+{{\left( \frac{-1}{2} \right)}^{n}}+... \Rightarrow S=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}=\frac{1}{1+\dfrac{1}{2}}=\frac{2}{3}$ $S=-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+...+{{\left( \frac{-1}{2} \right)}^{n}}+... \Rightarrow S=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}=\frac{1}{1+\dfrac{1}{2}}=\frac{2}{3}$

Ví dụ 4: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là _{$\frac{5}{3}$} tổng ba số hạng đầu tiên của dãy số là _{$\frac{39}{25}$}. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó

Lời giải:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S=\dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}=\dfrac{5}{3} \\ {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=\dfrac{39}{25} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}=\dfrac{5}{3} \\ {{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=\dfrac{36}{25}\text{ }\left( * \right) \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} S=\dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}=\dfrac{5}{3} \\ {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=\dfrac{39}{25} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}=\dfrac{5}{3} \\ {{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=\dfrac{36}{25}\text{ }\left( * \right) \\ \end{matrix} \right.$

$\left( * \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}\left( 1+{{q}^{3}} \right)=\dfrac{39}{25}\Leftrightarrow \dfrac{5}{3}\left( 1+{{q}^{3}} \right)=\dfrac{39}{25}\Leftrightarrow q=\dfrac{2}{5}\Rightarrow {{u}_{1}}=1$ $\left( * \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}\left( 1+{{q}^{3}} \right)=\dfrac{39}{25}\Leftrightarrow \dfrac{5}{3}\left( 1+{{q}^{3}} \right)=\dfrac{39}{25}\Leftrightarrow q=\dfrac{2}{5}\Rightarrow {{u}_{1}}=1$

Ví dụ 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có diện tích _{${{S}_{1}}$}. Nối 4 trung điểm _{${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{D}_{1}}$} ta được hình vuông thứ 2 có diện tích _{${{S}_{2}}$}. Tiếp tục như thế, ta được hình vuông _{${{A}_{1}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}{{D}_{2}}$} có diện tích _{${{S}_{3}}$}…. Tiếp tục quá trình trên ta được hình vuông lần lượt có diện tích là _{${{S}_{4}},{{S}_{5}},{{S}_{6}},.....,{{S}_{100}}$}. Tính tổng _{$\sum\limits_{k=1}^{100}{{{S}_{k}}}$}

Lời giải:

Có _{${{S}_{n}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{n-1}},{{S}_{1}}={{a}^{2}}\Rightarrow \left( {{S}_{n}} \right)$} là cấp số nhân có công bội bằng _{$\frac{1}{2}$}

Do _{$\sum\limits_{k=1}^{100}{{{S}_{k}}}=S{_1}\dfrac{{{q}^{100}}-1}{q-1}={{a}^{2}}\dfrac{{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-100}{\dfrac{1}{2}-1}$}

Ví dụ 4: Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 56, còn tổng các bình phương của các số hạng của nó bằng 448. Số hạng đầu của cấp số nhân thuộc khoảng nào sau đây?

Hướng dẫn giải

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_n} = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 56} \\ {{u_1}^2 + {u_2}^2 + ... + {u_n}^2 = 449} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 56\left( {1 - q} \right)} \\ {{u_1}^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + ... + {q^{2n - 2}}} \right) = 448} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_n} = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 56} \\ {{u_1}^2 + {u_2}^2 + ... + {u_n}^2 = 449} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 56\left( {1 - q} \right)} \\ {{u_1}^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + ... + {q^{2n - 2}}} \right) = 448} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow {u_1}^2.\dfrac{1}{{1 - {q^2}}} = 448 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{{{56}^2}\left( {1 - q} \right)}}{{1 + q}} = 448 \Rightarrow q = \dfrac{3}{4} \hfill \\ \Rightarrow {u_1} = 14 \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \Rightarrow {u_1}^2.\dfrac{1}{{1 - {q^2}}} = 448 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{{{56}^2}\left( {1 - q} \right)}}{{1 + q}} = 448 \Rightarrow q = \dfrac{3}{4} \hfill \\ \Rightarrow {u_1} = 14 \hfill \\ \end{matrix}$

Luyện tập

1/ Cho cấp số nhân (un) có u3=24và u4=48. Hãy tính tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số đó.

Giải: Gọi q là công bội của cấp số nhân (un), ta có: q=48/24=2

Do đó, theo định lí 2, ta được : 24=u3=u1.22. Suy ra u1=6. Vì thế, theo định lí 3, ta được S5=6.(1−25)/(1−2)=186

2/ Một cấp số nhân có số hạng thứ nhất là 3 và công bội là 2.

a) Viết 6 số hạng đầu tiên.

b) Tính tổng của 6 số hạng đầu tiên.

c) Viết công thức tổng quát cho số hạng thứ n.

d) Tính tổng S của 100 số hạng đầu tiên.

Bài làm. a) 3, 6, 12, 24, 48, 96.

b) 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189.

c) 3 × 2^(n - 1).

d) S = 3 + 6 + 12 +... + 3 × 2^99. 2S = 6 + 12 + 24 +... + 3 × 2^100. 2S - S = 3 × 2^100 - 3. Từ đó S = 3 × (2^100 - 1).

------------------------------------

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn vừa được VnDoc.com gửi tới bạn đọc tham khảo. Qua bài viết bạn đọc có thể thấy được công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn, khái niệm cấp số nhân, số hạng tổng quát, tổng của một cấp số nhân... bên cạnh đó VnDoc có các ví dụ đi kèm theo, từ đó bạn đọc có thể vận dụng luôn được công thức vào các bài tập. Bên cạnh đó bài viết cho thấy định nghĩa của cấp số nhân là gì? số hạng tổng quát, tổng của một cấp số nhân, cấp số nhân lùi vô hạn, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết nhé.

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài học rồi đúng không ạ? Hi vọng qua bài viết bạn đọc có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 11. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh cùng tham khảo thêm một số tài liệu học tập các môn tại các mục Toán lớp 11, Giải bài tập Hóa học lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Ngoài tài liệu Công thức cấp số nhân, VnDoc mời quý thầy cô cùng bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: