Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 11 Toán 11

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn
Lớp: Lớp 11
Môn: Toán
Loại File: Word + PDF
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn Toán 11

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn để bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết với nội dung tài liệu được cập nhật nhanh và chính xác nhất sẽ là nguồn thông tin hay để giúp các bạn học sinh học tốt hơn môn Toán. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé.

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

1. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Định nghĩa: Dãy số \left( {{U}_{n}} \right) được xác định bởi: \left( {{U}_{n}} \right)=\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=a \\ {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q \\ \end{matrix}\left( n\in \mathbb{N}* \right) \right. thì dãy số này được gọi là cấp số nhân, q là công bội.

Như vậy ta có thể hiểu cấp số nhân có dạng: a,aq,a{{q}^{2}},a{{q}^{3}},a{{q}^{4}},... với a là số hạng đầu tiên và q là công bội.

Ví dụ: Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và công sai bằng 2 là 2; 4; 8; 16'; 32; 64; 128; ...

2. Số hạng tổng quát cấp số nhân

Cấp số nhân bắt đầu là phần tử {{u}_{1}} và công bội q thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức:

{{u}_{n+1}}=a.{{q}^{n}},n\ge 1

\Rightarrow q=\sqrt[n-1]{\frac{{{a}_{n}}}{a}},n\ge 1

3. Tổng của một cấp số nhân

Công thức tổng số hạng đầu của cấp số nhân được xây dựng như sau:

\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a{{q}^{0}}+a{{q}^{1}}+a{{q}^{2}}+a{{q}^{3}}+...+a{{q}^{n}}}

Nhân cả 2 vế với: \left( 1-q \right)

\Leftrightarrow \left( 1-q \right){{S}_{n+1}}=\left( 1-q \right)\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a-a{{q}^{n+1}}}

Vì tất cả các số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau

\Rightarrow {{S}_{n+1}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=\frac{a\left( 1-{{q}^{n+1}} \right)}{1-q}}

4. Cấp số nhân lùi vô hạn

Cho (un) có công bội q, |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ 1: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,… là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = 1/2

5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

- Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q. Khi đó ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng:

S = \dfrac{u_1}{1−q} với |q| < 1

Chú ý: Nếu công bội là:

  • Số dương: Các số hạng luôn có dấu cố định.
  • Số âm: các số hạng là đan dấu giữa âm và dương..
  • 0, mọi số hạng bằng 0.
  • Lớn hơn 1, các số hạng tăng theo hàm mũ tới vô cực dương hoặc âm.
    1, là một dãy không đổi.
  • Giữa 1 và −1 nhưng khác không, chúng giảm theo hàm mũ về 0.
    −1, là một dãy đan dấu.
  • Nhỏ hơn −1, chúng tăng theo hàm mũ về vô cực (dương và âm).

6. Bài tập cấp số nhân

Ví dụ: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) với u_n=\left ( \dfrac1{3} \right ) ^n?

Hướng dẫn giải

Ta có: u_1 = \dfrac1{3}, u_2 = \dfrac1{9}.

Suy ra q=\frac{1}{3}

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn ta có:

S = \dfrac{u_1}{1−q} => S = \dfrac{1/3}{1−1/3} = \dfrac1{2}

Ví dụ 3: Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: -1,-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},-\dfrac{1}{8},..,{{\left( \dfrac{-1}{2} \right)}^{n}},...

Hướng dẫn giải

Vì các số của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với {{u}_{1}}=1,q=\frac{-1}{2}

S=-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+...+{{\left( \frac{-1}{2} \right)}^{n}}+...

\Rightarrow S=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}=\frac{1}{1+\dfrac{1}{2}}=\frac{2}{3}

Ví dụ 4: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là \frac{5}{3} tổng ba số hạng đầu tiên của dãy số là \frac{39}{25}. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó

Hướng dẫn giải

Ta có:

\left\{ \begin{matrix}S=\dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}=\dfrac{5}{3} \\{{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=\dfrac{39}{25} \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}=\dfrac{5}{3} \\{{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=\dfrac{36}{25}\text{ }\left( * \right) \\\end{matrix} \right.

\left( * \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}\left( 1+{{q}^{3}} \right)=\dfrac{39}{25}\Leftrightarrow \dfrac{5}{3}\left( 1+{{q}^{3}} \right)=\dfrac{39}{25}\Leftrightarrow q=\dfrac{2}{5}\Rightarrow {{u}_{1}}=1

Ví dụ 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có diện tích S1. Nối 4 trung điểm {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{D}_{1}} ta được hình vuông thứ 2 có diện tích S2. Tiếp tục như thế, ta được hình vuông {{A}_{1}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}{{D}_{2}} có diện tích S3…. Tiếp tục quá trình trên ta được hình vuông lần lượt có diện tích là S4; S5; S6; ...; S100. Tính tổng \sum\limits_{k=1}^{100}{{{S}_{k}}}.

Hướng dẫn giải

Có {{S}_{n}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{n-1}},{{S}_{1}}={{a}^{2}}\Rightarrow \left( {{S}_{n}} \right) là cấp số nhân có công bội bằng \frac{1}{2}

Do \sum\limits_{k=1}^{100}{{{S}_{k}}}=S{_1}\dfrac{{{q}^{100}}-1}{q-1}={{a}^{2}}\dfrac{{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-100}{\dfrac{1}{2}-1}

Ví dụ 4: Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 56, còn tổng các bình phương của các số hạng của nó bằng 448. Số hạng đầu của cấp số nhân thuộc khoảng nào sau đây?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_n} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 56} \\ {{u_1}^2 + {u_2}^2 + ... + {u_n}^2 = 449} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 56\left( {1 - q} \right)} \\ {{u_1}^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + ... + {q^{2n - 2}}} \right) = 448} \end{array}} \right.{\text{ }}

\Rightarrow {u_1}^2.\frac{1}{{1 - {q^2}}} = 448\Rightarrow \frac{{{{56}^2}\left( {1 - q} \right)}}{{1 + q}} = 448\Rightarrow q = \frac{3}{4} \Rightarrow {u_1} = 14

7. Bài tập cấp số nhân lùi vô hạn

Câu 1: Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số nhân lùi vô hạn?

  1. \frac{2}{3};\frac{4}{9};\frac{8}{27};...;\left( \frac{2}{3} \right)^{n};...
  2. \frac{1}{3};\frac{1}{9};\frac{1}{27};...;\frac{1}{3^{n}};...
  3. \frac{3}{2};\frac{9}{4};\frac{27}{8};..;\left( \frac{3}{2} \right)^{n};...
  4. 1; - \frac{1}{2};\frac{1}{4}; - \frac{1}{8};...;\left( \frac{- 1}{2} \right)^{n - 1};...

Hướng dẫn giải

Vì dãy ở đáp án C là một cấp số nhân có công bội q = 3/2 > 0

=> \frac{3}{2};\frac{9}{4};\frac{27}{8};..;\left( \frac{3}{2} \right)^{n};... không phải dãy lùi vô hạn

Câu 2: Cho cấp số nhân (un) có u1 = -1; u6 = -0,00001. Khi đó công bội q và số hạng tổng quát là:

  1. \left\{ \begin{matrix} q = \frac{1}{10} \\ u_{n} = \frac{- 1}{10^{n - 1}} \\ \end{matrix} \right.
  2. \left\{ \begin{matrix} q = - \frac{1}{10} \\ u_{n} = - 10^{n - 1} \\ \end{matrix} \right.
  3. \left\{ \begin{matrix} q = - \frac{1}{10} \\ u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{10^{n - 1}} \\ \end{matrix} \right.
  4. \left\{ \begin{matrix} q = \frac{1}{10} \\ u_{n} = \frac{1}{10^{n - 1}} \\ \end{matrix} \right.

Gợi ý: Sử dụng công thức u_{n} = u_{1}.q^{n - 1}

Hướng dẫn giải

Ta có:

u_{6} = u_{1}.q^{5}

\Leftrightarrow 0,00001 = - q^{5} \Leftrightarrow q = \frac{- 1}{10}

\Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = - 1.\left( \frac{- 1}{10} \right)^{n - 1} = \frac{( - 1)^{n}}{10^{n - 1}}

Chọn đáp án C

Câu 3: Cho cấp số nhân (un) có u1 = 2 và u2 = -8. Mệnh đề nào sau đây đúng?

  1. Sn = 130.
  2. u3 = 256.
  3. S5 = 516.
  4. q = -4.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{2} = - 8 = u_{1}.q = 2q \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ q = - 4 \\ \end{matrix} \right.

\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} S_{5} = u_{1}.\frac{1 - q^{5}}{1 - q} = 2.\frac{1 - ( - 4)^{5}}{1 + 4} = 410 \\ S_{6} = u_{1}.\frac{1 - q^{6}}{1 - q} = 2.\frac{1 - ( - 4)^{6}}{1 + 4} = - 1638 \\ u_{5} = u_{1}q^{4} = 2.( - 4)^{4} = 512 \\ \end{matrix} \right.

Chọn đáp án D

Câu 4: Tính tổng S_{n} = \left( 2 + \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( 4 + \frac{1}{4} \right)^{2} + ... + \left( 2^{n} + \frac{1}{2^{n}} \right)^{2}?

Hướng dẫn giải

Thực hiện biến đổi phép toán như sau:

S_{n} = \left( 2 + \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( 4 + \frac{1}{4} \right)^{2} + ... + \left( 2^{n} + \frac{1}{2^{n}} \right)^{2}

S_{n} = \left( 4 + 2 + \frac{1}{4} \right) + \left( 4^{2} + 2 + \frac{1}{4^{2}} \right) + ... + \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + ... + \frac{1}{4^{n}} \right)

S_{n} = 2n + \left( 4 + 4^{2} + ... + 4^{n} \right) + \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + ... + \frac{1}{4^{n}} \right)= 2n + 4.\frac{1 - 4^{n}}{1 - 4} + \frac{1}{4}\frac{1 - \frac{1}{4^{n}}}{1 - \frac{1}{4}}

S_{n} = 2n + \frac{4}{3}\left( 4^{n} - 1 \right) + \frac{4^{n - 1}}{3.4^{n}}

Câu 5: Một quả bóng rơi từ độ cao 6m với phương vuông góc với mặt đất. Mỗi lần chạm đất quả bóng nảy lên với độ cao bằng 3/4 độ cao của lần rơi trước. Tính quãng đường quả bóng đã bay từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa.

Hướng dẫn giải

Ta có quãng đường bóng bay bằng tổng quãng đường bóng nảy lên và quãng đường bóng rơi xuống

Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng \frac{3}{4} lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên là:

S_{1} = 6.\frac{3}{4} + 6.\left( \frac{3}{4} \right)^{2} + ... + 6.\left( \frac{3}{4} \right)^{n} + ...

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có u_{1} = 6.\frac{3}{4} = \frac{9}{1},q = \frac{3}{4}

=> S_{1} = \frac{\frac{9}{2}}{1 - \frac{3}{4}} = 18

Tổng quãng đường bóng rơi xuống bằng khoảng cách độ cao ban đầu và tổng quãng đường bóng nảy lên là:

S_{2} = 6 + 6.\frac{3}{4} + 6.\left( \frac{3}{4} \right)^{2} + ... + 6.\left( \frac{3}{4} \right)^{n} + ...

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u_{1} = 6;q = \frac{3}{4} => S_{2} = \frac{6}{1 - \frac{3}{4}} = 24

Vậy tổng quãng đường bóng bay là S = S1 + S2 = 18 + 24 = 42.

Câu 6. Cho cấp số nhân \frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{4096}. Hỏi số \frac{1}{4096} là số hạn thứ mấy trong cấp số nhân đã cho?

Hướng dẫn giải

Ta có: \frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{4096} là cấp số nhân với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ q = \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{1}{2} \end{matrix} \right.

\Rightarrow u_{n} = \frac{1}{2}.\left( \frac{1}{2} \right)^{n - 1} = \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{4096}\Rightarrow \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2^{12}} \Rightarrow n = 12

Câu 7. Tính tổng S = -2 + 4 - 8 + 16 - 32 + 64 - .. + (-2)n - 1 + (-2)n với n \geq 1,n \in \mathbb{N}.

Hướng dẫn giải:

Các số hạng - 2;4; - 8;16; - 32;64;...;( - 2)^{n - 1};( - 2)^{n} có tổng S gồm có n số hạng theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có u_{1} = - 2;q = - 2

\Rightarrow S = S_{n} = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q}\Rightarrow S = ( - 2).\frac{1 - ( - 2)^{n}}{3}

Câu 8. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,511111\ldots viết dạng phân số có dạng \frac{a}{b} với a; b là các số tự nhiên và \frac{a}{b} là phân số tối giản. Tính |b - 2a|.

Hướng dẫn giải

Ta có: 0,5111... = 0,5 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ...

Xét tổng 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ....

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là u1 = 0,01 và công bội q = \frac{1}{10}.

Vì vậy

0,51111... = 0,5 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ....

= 0,5 + \frac{u_{1}}{1 - q} = 0,5 + \frac{0,01}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{23}{45}

\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 23 \\ b = 45 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow |b - 2a| = 1

Câu 9. Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \ldots Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Hướng dẫn giải

Nhận xét: Ta cần áp dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

S = u_{1} + u_{2} + u_{3} + \ldots + u_{n} + \ldots = \frac{u_{1}}{1 - q} trong đó u_{1},q theo thứ tự là số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u_{1} = 1, công bộiq = - \frac{1}{2}.

S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \ldots + \left( - \frac{1}{2} \right)^{n} + \ldots= \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3}.

------------------------------------

❓ FAQ – Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

1. Cấp số nhân lùi vô hạn là gì?

Cấp số nhân lùi vô hạn là: 👉 Dãy số nhân vô hạn có công bội nhỏ hơn 1 về giá trị tuyệt đối.

2. Điều kiện để tổng cấp số nhân vô hạn tồn tại là gì?

∣q∣<1

3. Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn là gì?

S=\frac{u_1}{1-q}

4. Trong công thức trên, u1​ và q là gì?

  • u1: số hạng đầu tiên
  • q: công bội của cấp số nhân

5. Khi nào không thể áp dụng công thức tổng vô hạn?

Không áp dụng được khi: 👉 Công bội qq q có giá trị tuyệt đối lớn hơn hoặc bằng 1.

6. Những dạng bài tập thường gặp về cấp số nhân lùi vô hạn là gì?

  • Tính tổng dãy số vô hạn
  • Tìm công bội và số hạng đầu
  • Bài toán ứng dụng thực tế
  • Chứng minh biểu thức

7. Sai lầm phổ biến khi giải bài cấp số nhân vô hạn là gì?

  • Quên điều kiện ∣q∣<1
  • Xác định sai công bội
  • Nhầm công thức tổng hữu hạn và vô hạn

8. Có mẹo nào học nhanh công thức cấp số nhân không?

  • Ghi nhớ công thức theo sơ đồ
  • Phân biệt rõ tổng hữu hạn và vô hạn
  • Luyện nhiều bài tập áp dụng trực tiếp

9. Vì sao cấp số nhân lùi vô hạn quan trọng trong Toán THPT?

Đây là chuyên đề:

  • Thường xuất hiện trong đề kiểm tra và thi THPT
  • Liên quan nhiều đến tư duy dãy số và giới hạn

10. Cấp số nhân vô hạn có ứng dụng thực tế không?

Có. Chuyên đề được ứng dụng trong:

  • Tài chính và lãi suất
  • Mô hình tăng trưởng
  • Vật lý và kỹ thuật

11. Làm sao tránh nhầm lẫn giữa tổng hữu hạn và tổng vô hạn?

  • Kiểm tra số lượng số hạng
  • Xem điều kiện của công bội
  • Chọn đúng công thức trước khi tính

------------------------------------------

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn vừa được VnDoc.com gửi tới bạn đọc tham khảo. Qua bài viết bạn đọc có thể thấy được công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn, khái niệm cấp số nhân, số hạng tổng quát, tổng của một cấp số nhân... bên cạnh đó VnDoc có các ví dụ đi kèm theo, từ đó bạn đọc có thể vận dụng luôn được công thức vào các bài tập. Bên cạnh đó bài viết cho thấy định nghĩa của cấp số nhân là gì? số hạng tổng quát, tổng của một cấp số nhân, cấp số nhân lùi vô hạn, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết nhé.

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài học rồi đúng không ạ? Hi vọng qua bài viết bạn đọc có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 11. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh cùng tham khảo thêm một số tài liệu học tập các môn tại các mục Toán lớp 11, Giải bài tập Hóa học lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Ngoài tài liệu Công thức cấp số nhân, VnDoc mời quý thầy cô cùng bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
14
60.038 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này