VnDoc.com

Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân

Cấp số cộng và cấp số nhân

Toán lớp 12 - Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân

1. Cấp số cộng
2. Cấp số nhân
3. Bài tập tự luận cấp số cộng, cấp số nhân
4. Bài tập trắc nghiệm cấp số cộng, cấp số nhân

Để giúp các bạn học sinh học tập hiệu quả hơn môn Toán lớp 12, VnDoc mời các bạn tham khảo tài liệu Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ có kết quả cao hơn trong học tập.

1. Cấp số cộng

+ Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai.

∀n∈N∗,U_n+1=U_n+d

+ Tính chất của cấp số cộng:

U_n+1−U_n=U_n+2−U_n+1

U_n+1=U_n+U_n+2/2

+ Số hạng tổng quát: U_n=U₁+d(n−1)

+ Tổng n số hạng đầu:

U_n=(a₁+a_n)n/2

U_n=2a₁+d(n−1)/2.n

2. Cấp số nhân

+ Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số hạng thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 và khác 1 gọi là công bội.

"n Є N*, Un + 1 = Un.q

+ Tính chất:

U_n+1/U_n=U_n+2/U_n+1

U_n+1=Un. $\sqrt{U_n.U_{n+2}}$ $\sqrt{U_n.U_{n+2}}$, Un > 0

+ Số hạng tổng quát:

Un = U1.qn - 1

+ Tổng n số hạng đầu tiên: S_n=U₁+U₂+...+U_n=U₁.1−qⁿ/1−q

+ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1

S_n=U₁+U₂+...+U_n=U₁/1−q

3. Bài tập tự luận cấp số cộng, cấp số nhân

Bài tập 1: Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu có hãy xác định công sai.

$a. {{u}_{n}}=-5n+4$ $a. {{u}_{n}}=-5n+4$

$b. {{u}_{n}}=\frac{2n+3}{5}$ $b. {{u}_{n}}=\frac{2n+3}{5}$

$c. {{u}_{n}}=\frac{n+1}{n}$ $c. {{u}_{n}}=\frac{n+1}{n}$

Hướng dẫn giải

a. Ta xét: _{${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=-5\left( n+1 \right)+4+5n-4=-5$} không phụ thuộc vào tham số n. Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai _$d=5$

b. Ta xét: _{${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{2\left( n+1 \right)+3}{5}-\frac{2n+3}{5}=\frac{2}{5}$} không phụ thuộc vào tham số n. Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai là _{$d=\frac{2}{5}$}

c. Ta xét tương tự như các câu a, b

Bài tập 2: Các dãy số sau dãy số nào là cấp số nhân? Nếu có xác định công bội.

$a. {{u}_{n}}=\frac{2}{n}$ $a. {{u}_{n}}=\frac{2}{n}$

$b. {{u}_{n}}={{4.3}^{n}}$ $b. {{u}_{n}}={{4.3}^{n}}$

Hướng dẫn giải

a. Ta xét: _{$\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\frac{2}{n+1}}{\frac{2}{n}}=\frac{n}{n+1}$} phụ thuộc vào tham số n. Vậy dãy số đã cho không là cấp số nhân

b. Ta chứng minh tương tự câu a: _{$\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{4.3}^{n+1}}}{{{4.3}^{n}}}=3$} không phu thuộc vào tham số n. Vậy cấp số đã cho là cấp số nhân với công bội là: _$q=3$

Bài tập 3: Cho cấp số cộng thỏa mãn _{$\left\{ \begin{matrix}

{{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\

{{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\

\end{matrix} \right.$}

a. Xác định công sai và công thức tổng quát của cấp số

b. Tính _{$S={{u}_{1}}+{u_{4}}+{{u}_{7}}+...+{{u}_{2011}}$}

Hướng dẫn giải

Gọi d la công sai của cấp số cộng, ta có:

$\begin{align} & \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\ {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-\left( {{u}_{1}}+2d \right)+{{u}_{1}}+4d=10 \\ {{u}_{1}}+3d+{{u}_{1}}+5d=26 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+2d=10 \\ {{u}_{1}}+6d=26 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=1 \\ d=3 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align}$ $\begin{align} & \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\ {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-\left( {{u}_{1}}+2d \right)+{{u}_{1}}+4d=10 \\ {{u}_{1}}+3d+{{u}_{1}}+5d=26 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+2d=10 \\ {{u}_{1}}+6d=26 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=1 \\ d=3 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align}$

Vậy ta có công sai của cấp số là d=3

Công thức tổng quát: _{${{u}_{n}}={u_{1}}+\left( n-1 \right)d=1+3\left( n-1 \right)=3n-2$}

b. Ta có: Các số hạng trong tổng _{$S={{u}_{1}}+{u_{4}}+{{u}_{7}}+...+{{u}_{2011}}$} lập thành một cấp số cộng với 670 số hạng với công sai _$d'=3d$

$\Rightarrow S=\frac{670}{2}\left( 2{{u}_{1}}+669d$ $\Rightarrow S=\frac{670}{2}\left( 2{{u}_{1}}+669d' \right)=673015$

Bài tập 4: Cho cấp số nhân thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\ {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\dfrac{82}{11} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\ {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\dfrac{82}{11} \\ \end{matrix} \right.$

a. Xác định công bội và công thức tổng quát của cấp số

b. Tính _{${{S}_{2011}}$}

Hướng dẫn giải

a. Từ giả thiết bài toán đã cho ta có:

$\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\ {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\frac{82}{11} \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}=\frac{39}{11} \\ {{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}=\frac{82}{11} \\ \end{matrix} \right. \right.\Rightarrow \frac{{{q}^{4}}+1}{{{q}^{3}}+{{q}^{2}}+q}=\frac{82}{39}$ $\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\ {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\frac{82}{11} \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}=\frac{39}{11} \\ {{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}=\frac{82}{11} \\ \end{matrix} \right. \right.\Rightarrow \frac{{{q}^{4}}+1}{{{q}^{3}}+{{q}^{2}}+q}=\frac{82}{39}$

$\Leftrightarrow \left( q-3 \right)\left( 3q-1 \right)\left( 13{{q}^{2}}+16q+13 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} q=\dfrac{1}{3} \\ q=3 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left( q-3 \right)\left( 3q-1 \right)\left( 13{{q}^{2}}+16q+13 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} q=\dfrac{1}{3} \\ q=3 \\ \end{matrix} \right.$

Với _{$q=\frac{1}{3}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\frac{81}{11}\Leftrightarrow {{u}_{n}}=\frac{81}{11}\frac{1}{{{3}^{n-1}}}$}

Với _{$q=3\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\frac{1}{11}\Leftrightarrow {{u}_{n}}=\frac{{{3}^{n-1}}}{11}$}

b. Ta có: _{${{S}_{2011}}={{u}_{1}}.\frac{{{q}^{2011}}-1}{q-1}$} thay lần lượt các giá trị q đã tìm ở câu a vào biểu thức

4. Bài tập trắc nghiệm cấp số cộng, cấp số nhân

Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là _{$-1,1,-1,1,-1,...,$} Số hạng tổng quát của dãy số này là:

$A. {{u}_{n}}=1$ $A. {{u}_{n}}=1$	$B. {{u}_{n}}=-1$ $B. {{u}_{n}}=-1$
$C. {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}$ $C. {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}$	$D. {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}$ $D. {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}$

Câu 2: Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy số giảm?

$A. {{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+1}{n}$ $A. {{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+1}{n}$
$B. {{u}_{n}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$ $B. {{u}_{n}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$
$C. {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( {{2}^{n}}-1 \right)$ $C. {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( {{2}^{n}}-1 \right)$
$D. {{u}_{n}}=\cos n$ $D. {{u}_{n}}=\cos n$
Câu 3: Cho dãy số _{$\left( {{U}_{n}} \right):\left\{ \begin{matrix}

{{u}_{1}}=1 \\

{{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+5 \\

\end{matrix} \right.\left( \forall n\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \right)$}. Giá trị của _{${{u}_{20}}$} là:

$A. {{3.2}^{20}}-5$ $A. {{3.2}^{20}}-5$

$B. {{2}^{22}}-5$ $B. {{2}^{22}}-5$

$C. {{3.2}^{19}}-5$ $C. {{3.2}^{19}}-5$

$D. {{2}^{20}}-5$ $D. {{2}^{20}}-5$

Câu 4: Cho dãy số $\left( {{\mathsf{U}}_{n}} \right),n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ $\left( {{\mathsf{U}}_{n}} \right),n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$biết _{${{u}_{n}}=\frac{1}{1+n}$} ba số hạng đầu của dãy số đó là:

$A. \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}$ $A. \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}$

$B. \frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{1}{9}$ $B. \frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{1}{9}$

$C. 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}$ $C. 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}$

$D. 1,\frac{1}{3},\frac{1}{5}$ $D. 1,\frac{1}{3},\frac{1}{5}$

Câu 5: Cho biết _{${{S}_{n}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}$}. Khi đó công thức _{$S\left( n \right)$} là?

$A. S\left( n \right)=\frac{n\left( 2n+1 \right)\left( n+1 \right)}{6}$ $A. S\left( n \right)=\frac{n\left( 2n+1 \right)\left( n+1 \right)}{6}$
$B. S\left( n \right)=\frac{{{n}^{2}}\left( 2n+1 \right)}{6}$ $B. S\left( n \right)=\frac{{{n}^{2}}\left( 2n+1 \right)}{6}$
$C. S\left( n \right)=\frac{n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)}{6}$ $C. S\left( n \right)=\frac{n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)}{6}$
$D. S\left( n \right)=\frac{n\left( 2n+1 \right)\left( 3n+1 \right)}{6}$ $D. S\left( n \right)=\frac{n\left( 2n+1 \right)\left( 3n+1 \right)}{6}$
Câu 6: Tổng của _{$S=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{\left( 2n-1 \right)\left( 2n+1 \right)}$} bằng:

$A. S=\frac{n}{2n+1}$ $A. S=\frac{n}{2n+1}$	$B. S=\frac{n+1}{2n}$ $B. S=\frac{n+1}{2n}$
$C. S=\frac{n}{n+1}$ $C. S=\frac{n}{n+1}$	$D. S=\frac{2n}{2n+1}$ $D. S=\frac{2n}{2n+1}$

Câu 7: Cho dãy số _{$\left( {{U}_{n}} \right):\left\{ \begin{matrix}

{{u}_{1}}=1 \\

{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+{{n}^{2}} \\

\end{matrix} \right.$}. Tính _{${{u}_{21}}$}

A.2871

B.3011

C.3312

D.3080

Câu 8: Cho dãy số _{$\left(u_{n}\right)$} xác định bởi _{$u_{1}=-\frac{41}{20}$} và _{$u_{n+1}=21 u_{n}+1$} với moi _{$n \geq 1$}. Tìm số hạng thứ 2018 cúa dãy số đã cho.

$A. u_{2018}=2.21^{2018}-\frac{1}{20}$ $A. u_{2018}=2.21^{2018}-\frac{1}{20}$	$B. u_{2018}=2.21^{2017}-\frac{1}{20}$ $B. u_{2018}=2.21^{2017}-\frac{1}{20}$
$C. u_{2018}=-2.21^{2017}-\frac{1}{20}$ $C. u_{2018}=-2.21^{2017}-\frac{1}{20}$	$D. u_{2018}=-2.21^{2018}-\frac{1}{20}$ $D. u_{2018}=-2.21^{2018}-\frac{1}{20}$

Câu 9: Cho dãy _{$\left(u_{n}\right): u_{1}=\mathrm{e}^{3}, u_{n+1}=u_{n}^{2}, k \in \mathbb{N}^{*}$} thỏa mãn _{$u_{1} . u_{2} \ldots u_{k}=\mathrm{e}^{765}$} . Giá trị của k là

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Câu 10: Cho dãy số _{$\left(u_{n}\right)$} thỏa mãn _{$u_{1}=\sqrt{2}$} và _{$u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}$} với moi _{$n \geq 1$}. Tìm _{$u_{2018}$}

$A. u_{2018}=\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{2^{2017}}$ $A. u_{2018}=\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{2^{2017}}$
$B.u_{2018}=2 \cos \frac{\pi}{2^{2019}} . \quad$ $B.u_{2018}=2 \cos \frac{\pi}{2^{2019}} . \quad$
$C. u_{2018}=\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{2^{2018}}$ $C. u_{2018}=\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{2^{2018}}$
$D.u_{2018}=2$ $D.u_{2018}=2$

---------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân. Bài viết cho chúng ta thấy được công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân. Hi vọng qua bài viết bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 12 nhé. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

4

18.247

Chia sẻ bởi:
Phan Thị Hoàn
Nhóm:
Sưu tầm
Ngày: 28/06/2023

Tải về

Chọn file muốn tải về: