Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân

Để giúp các bạn học sinh học tập hiệu quả hơn môn Toán lớp 12, VnDoc mời các bạn tham khảo tài liệu Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ có kết quả cao hơn trong học tập.

A. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là:

u_{n} = u_{n - 1} + d;(n \geq
2)un=un1+d;(n2)

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Chú ý:

  • Nếu \left( u_{n} \right)(un) là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên n
\geq 2n2 ta có: u_{n} - u_{n - 1} =
dunun1=d.
  • Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.

Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng \left( u_{n}
\right)(un) có số hạng đầu u_{1}u1 và công sai dd thì số hạng tổng quát u_{n}un được xác định bởi công thức:

u_{n} = u_{1} + (n - 1)d;(n \geq
2)un=u1+(n1)d;(n2)

Chú ý: Với n \geq 2n2 ta có: u_{n} = u_{1} + (n - 1)d \Rightarrow n =
\frac{u_{n} - u_{1}}{d} + 1un=u1+(n1)dn=unu1d+1

Tính chất cấp số cộng

Ba số hạng u_{n - 1},u_{n},u_{n +
1}un1,un,un+1là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi u_{n} = \frac{u_{n - 1} + u_{n + 1}}{2}un=un1+un+12 với n \geq 1n1.

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng \left( u_{n}
\right)(un) có số hạng đầu u_{1}u1 và công sai dd. Đặt S_{n}
= u_{1} + u_{2} + .... + u_{n}Sn=u1+u2+....+un. Khi đó:

S_{n} = \frac{\left( u_{1} + u_{n}
\right).n}{2}Sn=(u1+un).n2

 Ta có: u_{n} = u_{1} + (n -
1).dun=u1+(n1).d

\Rightarrow S_{n} = \frac{\left\lbrack
2u_{1} + (n - 1)d \right\rbrack.n}{2}Sn=[2u1+(n1)d].n2

B. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi qq, tức là:

u_{n} = u_{n - 1}.q;(q \geq
2)un=un1.q;(q2)

Số qq được gọi là công bội của cấp số nhân.

Chú ý:

  • Nếu \left( u_{n} \right)(un) là cấp số nhân với công bội qqu_{n} \neq 0un0 với mọi n \geq 1n1 thì với số tự nhiên n \geq 2n2 ta có: \frac{u_{n}}{u_{n - 1}} = qunun1=q.
  • Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi.

Số hạng tổng quát cấp số nhân

Nếu cấp số nhân \left( u_{n}
\right)(un) có số hạng đầu u_{1}u1 và công bội qq thì số hạng tổng quát u_{n}un được xác định bởi công thức:

u_{n} = u_{1}.q^{n - 1};(n \geq
2)un=u1.qn1;(n2)

Tính chất của cấp số nhân

Ba số hạng u_{n - 1},u_{n},u_{n +
1}un1,un,un+1là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi {u_{n}}^{2} = u_{n - 1}.u_{n + 1}un2=un1.un+1 với n \geq 1n1.

Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân \left( u_{n}
\right)(un) có số hạng đầu u_{1}u1 và công bội q \neq 1q1.

Đặt S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... +
u_{n}Sn=u1+u2+...+un. Khi đó:

S_{n} = \frac{u_{1}.\left( 1 - q^{n}
\right)}{1 - q}Sn=u1.(1qn)1q

Chú ý: Nếu q = 1q=1 thì S_{n} = n.u_{1}Sn=n.u1

C. Bài tập tự luận cấp số cộng, cấp số nhân

Bài tập 1: Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu có hãy xác định công sai.

a. {{u}_{n}}=-5n+4a.un=5n+4

b. {{u}_{n}}=\frac{2n+3}{5}b.un=2n+35

c. {{u}_{n}}=\frac{n+1}{n}c.un=n+1n

Hướng dẫn giải

a. Ta xét: {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=-5\left( n+1 \right)+4+5n-4=-5un+1un=5(n+1)+4+5n4=5 không phụ thuộc vào tham số n. Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d=5d=5

b. Ta xét: {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{2\left( n+1 \right)+3}{5}-\frac{2n+3}{5}=\frac{2}{5}un+1un=2(n+1)+352n+35=25 không phụ thuộc vào tham số n. Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai là d=\frac{2}{5}d=25

c. Ta xét tương tự như các câu a, b

Bài tập 2: Các dãy số sau dãy số nào là cấp số nhân? Nếu có xác định công bội.

a. {{u}_{n}}=\frac{2}{n}a.un=2n

b. {{u}_{n}}={{4.3}^{n}}b.un=4.3n

Hướng dẫn giải

a. Ta xét: \frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\frac{2}{n+1}}{\frac{2}{n}}=\frac{n}{n+1}un+1un=2n+12n=nn+1 phụ thuộc vào tham số n. Vậy dãy số đã cho không là cấp số nhân

b. Ta chứng minh tương tự câu a: \frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{4.3}^{n+1}}}{{{4.3}^{n}}}=3un+1un=4.3n+14.3n=3 không phu thuộc vào tham số n. Vậy cấp số đã cho là cấp số nhân với công bội là: q=3q=3

Bài tập 3: Cho cấp số cộng thỏa mãn \left\{ \begin{matrix}

{{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\

{{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\

\end{matrix} \right.{u1u3+u5=10u4+u6=26

a. Xác định công sai và công thức tổng quát của cấp số

b. Tính S={{u}_{1}}+{u_{4}}+{{u}_{7}}+...+{{u}_{2011}}S=u1+u4+u7+...+u2011

Hướng dẫn giải

Gọi d la công sai của cấp số cộng, ta có:

\begin{align}

& \left\{ \begin{matrix}

{{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\

{{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\

\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}

{{u}_{1}}-\left( {{u}_{1}}+2d \right)+{{u}_{1}}+4d=10 \\

{{u}_{1}}+3d+{{u}_{1}}+5d=26 \\

\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}

{{u}_{1}}+2d=10 \\

{{u}_{1}}+6d=26 \\

\end{matrix} \right. \\

& \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}

{{u}_{1}}=1 \\

d=3 \\

\end{matrix} \right. \\

\end{align}(1){u1u3+u5=10u4+u6=26{u1(u1+2d)+u1+4d=10u1+3d+u1+5d=26{u1+2d=10u1+6d=26(2){u1=1d=3

Vậy ta có công sai của cấp số là d=3

Công thức tổng quát: {{u}_{n}}={u_{1}}+\left( n-1 \right)d=1+3\left( n-1 \right)=3n-2un=u1+(n1)d=1+3(n1)=3n2

b. Ta có: Các số hạng trong tổng S={{u}_{1}}+{u_{4}}+{{u}_{7}}+...+{{u}_{2011}}S=u1+u4+u7+...+u2011 lập thành một cấp số cộng với 670 số hạng với công sai dd=3d

\Rightarrow S=\frac{670}{2}\left( 2{{u}_{1}}+669dS=6702(2u1+669d)=673015.

Bài tập 4: Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình phương của chúng là 293.

Hướng dẫn giải

Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng: u_{1};u_{2};u_{3}u1;u2;u3 . Theo đề bài ta có:

\left\{ \begin{matrix}
u_{1} + u_{2} + u_{3} = 27\ (1) \\
u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} = 293\ \ (2) \\
\end{matrix} \right.{u1+u2+u3=27 (1)u12+u22+u32=293  (2)

\ \text{(1)~} \Leftrightarrow u_{1} +
u_{1} + d + u_{1} + 2d = 27 (1)~u1+u1+d+u1+2d=27

\Leftrightarrow 3u_{1} + 3d = 27
\Leftrightarrow d = 9 - u_{1}3u1+3d=27d=9u1

\text{(2)~} \Leftrightarrow u_{1}^{2} +
\left( u_{1} + d \right)^{2} + \left( u_{1} + 2d \right)^{2} =
293(2)~u12+(u1+d)2+(u1+2d)2=293

\Leftrightarrow u_{1}^{2} + \left( u_{1}
+ 9 - u_{1} \right)^{2} + \left( u_{1} + 18 - 2u_{1} \right)^{2} =
293u12+(u1+9u1)2+(u1+182u1)2=293

\Leftrightarrow u_{1}^{2} + 81 + \left(
18 - u_{1} \right)^{2} = 293u12+81+(18u1)2=293

\Leftrightarrow 2u_{1}^{2} - 36u_{1} -
112 = 0 \Leftrightarrow u_{1} = 14 \vee u_{1} = 42u1236u1112=0u1=14u1=4

Với \ u_{1} = 14 \Rightarrow d = - 5
\Rightarrow u_{2} = 9;u_{3} = 4. u1=14d=5u2=9;u3=4.

Với \ u_{1} = 4 \Rightarrow d = 5
\Rightarrow u_{2} = 9;u_{3} = 14. u1=4d=5u2=9;u3=14.

Ta có thể gọi 3 số hạng liên tiếp của CSC là u_{1} = u - d,u_{2} = u,u_{3} = u + du1=ud,u2=u,u3=u+d với công sai d.

Bài tập 5: Cho cấp số nhân thỏa mãn \left\{ \begin{matrix}

{{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\

{{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\dfrac{82}{11} \\

\end{matrix} \right.{u1+u2+u3+u4+u5=11u1+u5=8211

a. Xác định công bội và công thức tổng quát của cấp số

b. Tính {{S}_{2011}}S2011

Hướng dẫn giải

a. Từ giả thiết bài toán đã cho ta có:

\left\{ \begin{matrix}

{{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\

{{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\frac{82}{11} \\

\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}

{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}=\frac{39}{11} \\

{{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}=\frac{82}{11} \\

\end{matrix} \right. \right.\Rightarrow \frac{{{q}^{4}}+1}{{{q}^{3}}+{{q}^{2}}+q}=\frac{82}{39}{u1+u2+u3+u4+u5=11u1+u5=8211{u2+u3+u4=3911u1+u1q4=8211q4+1q3+q2+q=8239

\Leftrightarrow \left( q-3 \right)\left( 3q-1 \right)\left( 13{{q}^{2}}+16q+13 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}

q=\dfrac{1}{3} \\

q=3 \\

\end{matrix} \right.(q3)(3q1)(13q2+16q+13)=0[q=13q=3

Với q=\frac{1}{3}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\frac{81}{11}\Leftrightarrow {{u}_{n}}=\frac{81}{11}\frac{1}{{{3}^{n-1}}}q=13u1=8111un=811113n1

Với q=3\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\frac{1}{11}\Leftrightarrow {{u}_{n}}=\frac{{{3}^{n-1}}}{11}q=3u1=111un=3n111

b. Ta có: {{S}_{2011}}={{u}_{1}}.\frac{{{q}^{2011}}-1}{q-1}S2011=u1.q20111q1 thay lần lượt các giá trị q đã tìm ở câu a vào biểu thức.

Bài tập 6: Cho ba số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm ba số đó.

Hướng dẫn giải

Gọi u_{1};u_{2};u_{3}u1;u2;u3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Theo bài ra ta có:

Tổng ba số dương bằng 65 suy ra u_{1} +
u_{2} + u_{3} = 65(*)u1+u2+u3=65()

u_{1} - 9;u_{2};u_{3} - 19u19;u2;u319 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng suy ra u_{1} - 1 + u_{3} - 19 = 2u_{2}(**)u11+u319=2u2()

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

\left\{ \begin{matrix}
u_{1} + u_{2} + u_{3} = 65 \\
u_{1} - 1 + u_{3} - 19 = 2u_{2} \\
\end{matrix} \right.{u1+u2+u3=65u11+u319=2u2

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
u_{1} + u_{2} + u_{3} = 65 \\
u_{1} - 2u_{2} + u_{3} = 20 \\
\end{matrix} \right.{u1+u2+u3=65u12u2+u3=20

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
u_{1} + u_{1}q + u_{1}q^{2} = 65 \\
u_{1} - 2u_{1}q + u_{1}q^{2} = 20 \\
\end{matrix} \right.{u1+u1q+u1q2=65u12u1q+u1q2=20

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
u_{1}\left( 1 + q + q^{2} \right) = 65 \\
u_{1}\left( 1 - 2q + q^{2} \right) = 20 \\
\end{matrix} \right.{u1(1+q+q2)=65u1(12q+q2)=20

\Rightarrow \frac{1 + q + q^{2}}{1 - 2q
+ q^{2}} = \frac{13}{4}1+q+q212q+q2=134

\Leftrightarrow 4\left( 1 + q + q^{2}
\right) = 13\left( 1 - 2q + q^{2} \right)4(1+q+q2)=13(12q+q2)

\Leftrightarrow 9q^{2} - 30q + 9 = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
q = 3 \\
q = \frac{1}{3} \\
\end{matrix} \right.9q230q+9=0[q=3q=13

u_{1};u_{2};u_{3}u1;u2;u3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân tăng dần nên chọn q = 3q=3

\Rightarrow u_{1} = 5 \Rightarrow u_{2}
= 15;u_{3} = 45u1=5u2=15;u3=45

Bài tập 7: Tính tổng của dãy số

a) S_{n} = 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... +
2^{n}Sn=2+22+23+...+2n

b) S_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}}
+ \frac{1}{2^{3}} + ... + \frac{1}{2^{n}}Sn=12+122+123+...+12n

Hướng dẫn giải

a) S_{n} = 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... +
2^{n}Sn=2+22+23+...+2n

Ta có:

2;2^{2};2^{3};...;2^{n}2;22;23;...;2n là một cấp số nhân với n số hạng có số hạng đầu u_{1} = 2u1=2 và công bội q = 2q=2 .

Do đó:

S_{n} = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q} =
2.\frac{1 - 2^{n}}{1 - 2} = 2\left( 2^{n} - 1 \right)Sn=u1.1qn1q=2.12n12=2(2n1)

b) S_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}}
+ \frac{1}{2^{3}} + ... + \frac{1}{2^{n}}Sn=12+122+123+...+12n

Ta có:

\frac{1}{2};\frac{1}{2^{2}};\frac{1}{2^{3}};...;\frac{1}{2^{n}}12;122;123;...;12n là một cấp số nhân với n số hạng có số hạng đầu u_{1} = \frac{1}{2}u1=12 và công bội q = \frac{1}{2}q=12 .

Do đó:

S_{n} = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q} =
2.\frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 -
\frac{1}{2^{n}}Sn=u1.1qn1q=2.1(12)n112=112n

D. Bài tập trắc nghiệm cấp số cộng, cấp số nhân

Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là -1,1,-1,1,-1,...,1,1,1,1,1,..., Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. {{u}_{n}}=1A.un=1 B. {{u}_{n}}=-1B.un=1
C. {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}C.un=(1)n D. {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}D.un=(1)n+1

Câu 2: Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy số giảm?

A. {{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+1}{n}A.un=n2+1n
B. {{u}_{n}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}B.un=nn1
C. {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( {{2}^{n}}-1 \right)C.un=(1)n(2n1)
D. {{u}_{n}}=\cos nD.un=cosn
Câu 3: Cho dãy số \left( {{U}_{n}} \right):\left\{ \begin{matrix}

{{u}_{1}}=1 \\

{{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+5 \\

\end{matrix} \right.\left( \forall n\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \right)(Un):{u1=1un+1=2un+5(nZ+). Giá trị của {{u}_{20}}u20 là:

A. {{3.2}^{20}}-5A.3.2205 B. {{2}^{22}}-5B.2225 C. {{3.2}^{19}}-5C.3.2195 D. {{2}^{20}}-5D.2205

Câu 4: Cho dãy số  \left( {{\mathsf{U}}_{n}} \right),n\in {{\mathbb{N}}^{*}}(Un),nNbiết {{u}_{n}}=\frac{1}{1+n}un=11+n ba số hạng đầu của dãy số đó là:

A. \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}A.12,13,14 B. \frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{1}{9}B.12,16,19 C. 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}C.1,12,13 D. 1,\frac{1}{3},\frac{1}{5}D.1,13,15

Câu 5: Cho biết {{S}_{n}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}Sn=12+22+32+...+n2. Khi đó công thức S\left( n \right)S(n) là?

A. S\left( n \right)=\frac{n\left( 2n+1 \right)\left( n+1 \right)}{6}A.S(n)=n(2n+1)(n+1)6
B. S\left( n \right)=\frac{{{n}^{2}}\left( 2n+1 \right)}{6}B.S(n)=n2(2n+1)6
C. S\left( n \right)=\frac{n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)}{6}C.S(n)=n(n1)(n+1)6
D. S\left( n \right)=\frac{n\left( 2n+1 \right)\left( 3n+1 \right)}{6}D.S(n)=n(2n+1)(3n+1)6
Câu 6: Tổng của S=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{\left( 2n-1 \right)\left( 2n+1 \right)}S=11.3+13.5+15.7+...+1(2n1)(2n+1) bằng:

A. S=\frac{n}{2n+1}A.S=n2n+1 B. S=\frac{n+1}{2n}B.S=n+12n
C. S=\frac{n}{n+1}C.S=nn+1 D. S=\frac{2n}{2n+1}D.S=2n2n+1

Câu 7: Cho dãy số \left( {{U}_{n}} \right):\left\{ \begin{matrix}

{{u}_{1}}=1 \\

{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+{{n}^{2}} \\

\end{matrix} \right.(Un):{u1=1un+1=un+n2. Tính {{u}_{21}}u21

A.2871 B.3011 C.3312 D.3080

Câu 8: Cho dãy số \left(u_{n}\right)(un) xác định bởi u_{1}=-\frac{41}{20}u1=4120  và u_{n+1}=21 u_{n}+1un+1=21un+1 với moi n \geq 1n1. Tìm số hạng thứ 2018 cúa dãy số đã cho.

A. u_{2018}=2.21^{2018}-\frac{1}{20}A.u2018=2.212018120 B. u_{2018}=2.21^{2017}-\frac{1}{20}B.u2018=2.212017120
C. u_{2018}=-2.21^{2017}-\frac{1}{20}C.u2018=2.212017120 D. u_{2018}=-2.21^{2018}-\frac{1}{20}D.u2018=2.212018120

Câu 9: Cho dãy \left(u_{n}\right): u_{1}=\mathrm{e}^{3}, u_{n+1}=u_{n}^{2}, k \in \mathbb{N}^{*}(un):u1=e3,un+1=un2,kN thỏa mãn u_{1} . u_{2} \ldots u_{k}=\mathrm{e}^{765}u1.u2uk=e765 . Giá trị của k là

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

Câu 10: Cho dãy số \left(u_{n}\right)(un) thỏa mãn u_{1}=\sqrt{2}u1=2u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}un+1=2+un với moi n \geq 1n1. Tìm u_{2018}u2018

A. u_{2018}=\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{2^{2017}}A.u2018=2cosπ22017
B.u_{2018}=2 \cos \frac{\pi}{2^{2019}} . \quadB.u2018=2cosπ22019.
C. u_{2018}=\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{2^{2018}}C.u2018=2cosπ22018
D.u_{2018}=2D.u2018=2

---------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân. Bài viết cho chúng ta thấy được công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân. Hi vọng qua bài viết bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 12 nhé. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Chia sẻ, đánh giá bài viết
4
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Lý thuyết Toán 11

Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng