Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân

Để giúp các bạn học sinh học tập hiệu quả hơn môn Toán lớp 12, VnDoc mời các bạn tham khảo tài liệu Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ có kết quả cao hơn trong học tập.

A. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là:

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Chú ý:

• Nếu \(\left( u_{n} \right)\) là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên \(n \geq 2\) ta có: \(u_{n} - u_{n - 1} = d\).
• Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.

Số hạng tổng quát

Chú ý: Với \(n \geq 2\) ta có: \(u_{n} = u_{1} + (n - 1)d \Rightarrow n = \frac{u_{n} - u_{1}}{d} + 1\)

Tính chất cấp số cộng

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

B. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi \(q\), tức là:

Số \(q\) được gọi là công bội của cấp số nhân.

Chú ý:

• Nếu \(\left( u_{n} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q\) và \(u_{n} \neq 0\) với mọi \(n \geq 1\) thì với số tự nhiên \(n \geq 2\) ta có: \(\frac{u_{n}}{u_{n - 1}} = q\).
• Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi.

Số hạng tổng quát cấp số nhân

Nếu cấp số nhân \(\left( u_{n} \right)\) có số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \(u_{n}\) được xác định bởi công thức:

\(u_{n} = u_{1}.q^{n - 1};(n \geq 2)\)

Tính chất của cấp số nhân

Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Chú ý: Nếu \(q = 1\) thì \(S_{n} = n.u_{1}\)

C. Bài tập tự luận cấp số cộng, cấp số nhân

Bài tập 1: Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu có hãy xác định công sai.

\(a. {{u}_{n}}=-5n+4\)

\(b. {{u}_{n}}=\frac{2n+3}{5}\)

\(c. {{u}_{n}}=\frac{n+1}{n}\)

Hướng dẫn giải

a. Ta xét: _{\({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=-5\left( n+1 \right)+4+5n-4=-5\)} không phụ thuộc vào tham số n. Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai _\(d=5\)

b. Ta xét: _{\({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{2\left( n+1 \right)+3}{5}-\frac{2n+3}{5}=\frac{2}{5}\)} không phụ thuộc vào tham số n. Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai là _{\(d=\frac{2}{5}\)}

c. Ta xét tương tự như các câu a, b

Bài tập 2: Các dãy số sau dãy số nào là cấp số nhân? Nếu có xác định công bội.

\(a. {{u}_{n}}=\frac{2}{n}\)

\(b. {{u}_{n}}={{4.3}^{n}}\)

Hướng dẫn giải

a. Ta xét: _{\(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\frac{2}{n+1}}{\frac{2}{n}}=\frac{n}{n+1}\)} phụ thuộc vào tham số n. Vậy dãy số đã cho không là cấp số nhân

b. Ta chứng minh tương tự câu a: _{\(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{4.3}^{n+1}}}{{{4.3}^{n}}}=3\)} không phu thuộc vào tham số n. Vậy cấp số đã cho là cấp số nhân với công bội là: _\(q=3\)

Bài tập 3: Cho cấp số cộng thỏa mãn _{\(\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\ {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{matrix} \right.\)}

a. Xác định công sai và công thức tổng quát của cấp số

b. Tính _{\(S={{u}_{1}}+{u_{4}}+{{u}_{7}}+...+{{u}_{2011}}\)}

Hướng dẫn giải

Gọi d la công sai của cấp số cộng, ta có:

\(\begin{align} & \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\ {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-\left( {{u}_{1}}+2d \right)+{{u}_{1}}+4d=10 \\ {{u}_{1}}+3d+{{u}_{1}}+5d=26 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+2d=10 \\ {{u}_{1}}+6d=26 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=1 \\ d=3 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align}\)

Vậy ta có công sai của cấp số là d=3

Công thức tổng quát: _{\({{u}_{n}}={u_{1}}+\left( n-1 \right)d=1+3\left( n-1 \right)=3n-2\)}

b. Ta có: Các số hạng trong tổng _{\(S={{u}_{1}}+{u_{4}}+{{u}_{7}}+...+{{u}_{2011}}\)} lập thành một cấp số cộng với 670 số hạng với công sai _\(d'=3d\)

\(\Rightarrow S=\frac{670}{2}\left( 2{{u}_{1}}+669d' \right)=673015\).

Bài tập 4: Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình phương của chúng là 293.

Hướng dẫn giải

Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng: \(u_{1};u_{2};u_{3}\) . Theo đề bài ta có:

\(\left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} = 27\ (1) \\ u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} = 293\ \ (2) \\ \end{matrix} \right.\)

\(\ \text{(1)~} \Leftrightarrow u_{1} + u_{1} + d + u_{1} + 2d = 27\)

\(\Leftrightarrow 3u_{1} + 3d = 27 \Leftrightarrow d = 9 - u_{1}\)

\(\text{(2)~} \Leftrightarrow u_{1}^{2} + \left( u_{1} + d \right)^{2} + \left( u_{1} + 2d \right)^{2} = 293\)

\(\Leftrightarrow u_{1}^{2} + \left( u_{1} + 9 - u_{1} \right)^{2} + \left( u_{1} + 18 - 2u_{1} \right)^{2} = 293\)

\(\Leftrightarrow u_{1}^{2} + 81 + \left( 18 - u_{1} \right)^{2} = 293\)

\(\Leftrightarrow 2u_{1}^{2} - 36u_{1} - 112 = 0 \Leftrightarrow u_{1} = 14 \vee u_{1} = 4\)

Với \(\ u_{1} = 14 \Rightarrow d = - 5 \Rightarrow u_{2} = 9;u_{3} = 4.\)

Với \(\ u_{1} = 4 \Rightarrow d = 5 \Rightarrow u_{2} = 9;u_{3} = 14.\)

Ta có thể gọi 3 số hạng liên tiếp của CSC là \(u_{1} = u - d,u_{2} = u,u_{3} = u + d\) với công sai d.

Bài tập 5: Cho cấp số nhân thỏa mãn \(\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\ {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\dfrac{82}{11} \\ \end{matrix} \right.\)

a. Xác định công bội và công thức tổng quát của cấp số

b. Tính _{\({{S}_{2011}}\)}

Hướng dẫn giải

a. Từ giả thiết bài toán đã cho ta có:

\(\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\ {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\frac{82}{11} \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}=\frac{39}{11} \\ {{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}=\frac{82}{11} \\ \end{matrix} \right. \right.\Rightarrow \frac{{{q}^{4}}+1}{{{q}^{3}}+{{q}^{2}}+q}=\frac{82}{39}\)

\(\Leftrightarrow \left( q-3 \right)\left( 3q-1 \right)\left( 13{{q}^{2}}+16q+13 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} q=\dfrac{1}{3} \\ q=3 \\ \end{matrix} \right.\)

Với _{\(q=\frac{1}{3}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\frac{81}{11}\Leftrightarrow {{u}_{n}}=\frac{81}{11}\frac{1}{{{3}^{n-1}}}\)}

Với _{\(q=3\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\frac{1}{11}\Leftrightarrow {{u}_{n}}=\frac{{{3}^{n-1}}}{11}\)}

b. Ta có: _{\({{S}_{2011}}={{u}_{1}}.\frac{{{q}^{2011}}-1}{q-1}\)} thay lần lượt các giá trị q đã tìm ở câu a vào biểu thức.

Bài tập 6: Cho ba số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm ba số đó.

Hướng dẫn giải

Gọi \(u_{1};u_{2};u_{3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Theo bài ra ta có:

Tổng ba số dương bằng 65 suy ra \(u_{1} + u_{2} + u_{3} = 65(*)\)

\(u_{1} - 9;u_{2};u_{3} - 19\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng suy ra \(u_{1} - 1 + u_{3} - 19 = 2u_{2}(**)\)

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} = 65 \\ u_{1} - 1 + u_{3} - 19 = 2u_{2} \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} = 65 \\ u_{1} - 2u_{2} + u_{3} = 20 \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{1}q + u_{1}q^{2} = 65 \\ u_{1} - 2u_{1}q + u_{1}q^{2} = 20 \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}\left( 1 + q + q^{2} \right) = 65 \\ u_{1}\left( 1 - 2q + q^{2} \right) = 20 \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow \frac{1 + q + q^{2}}{1 - 2q + q^{2}} = \frac{13}{4}\)

\(\Leftrightarrow 4\left( 1 + q + q^{2} \right) = 13\left( 1 - 2q + q^{2} \right)\)

\(\Leftrightarrow 9q^{2} - 30q + 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} q = 3 \\ q = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.\)

Vì \(u_{1};u_{2};u_{3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân tăng dần nên chọn \(q = 3\)

\(\Rightarrow u_{1} = 5 \Rightarrow u_{2} = 15;u_{3} = 45\)

Bài tập 7: Tính tổng của dãy số

a) \(S_{n} = 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... + 2^{n}\)

b) \(S_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + ... + \frac{1}{2^{n}}\)

Hướng dẫn giải

a) \(S_{n} = 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... + 2^{n}\)

Ta có:

\(2;2^{2};2^{3};...;2^{n}\) là một cấp số nhân với n số hạng có số hạng đầu \(u_{1} = 2\) và công bội \(q = 2\) .

Do đó:

\(S_{n} = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q} = 2.\frac{1 - 2^{n}}{1 - 2} = 2\left( 2^{n} - 1 \right)\)

b) \(S_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + ... + \frac{1}{2^{n}}\)

Ta có:

\(\frac{1}{2};\frac{1}{2^{2}};\frac{1}{2^{3}};...;\frac{1}{2^{n}}\) là một cấp số nhân với n số hạng có số hạng đầu \(u_{1} = \frac{1}{2}\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\) .

Do đó:

\(S_{n} = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q} = 2.\frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^{n}}\)

D. Bài tập trắc nghiệm cấp số cộng, cấp số nhân

Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là _{\(-1,1,-1,1,-1,...,\)} Số hạng tổng quát của dãy số này là:

\(A. {{u}_{n}}=1\)	\(B. {{u}_{n}}=-1\)
\(C. {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\)	\(D. {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\)

Câu 2: Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy số giảm?

\(A. {{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+1}{n}\)
\(B. {{u}_{n}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\)
\(C. {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( {{2}^{n}}-1 \right)\)
\(D. {{u}_{n}}=\cos n\)
Câu 3: Cho dãy số _{\(\left( {{U}_{n}} \right):\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=1 \\ {{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+5 \\ \end{matrix} \right.\left( \forall n\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \right)\)}. Giá trị của _{\({{u}_{20}}\)} là:

\(A. {{3.2}^{20}}-5\)

\(B. {{2}^{22}}-5\)

\(C. {{3.2}^{19}}-5\)

\(D. {{2}^{20}}-5\)

Câu 4: Cho dãy số  \(\left( {{\mathsf{U}}_{n}} \right),n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)biết _{\({{u}_{n}}=\frac{1}{1+n}\)} ba số hạng đầu của dãy số đó là:

\(A. \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\)

\(B. \frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{1}{9}\)

\(C. 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\)

\(D. 1,\frac{1}{3},\frac{1}{5}\)

Câu 5: Cho biết _{\({{S}_{n}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}\)}. Khi đó công thức _{\(S\left( n \right)\)} là?

\(A. S\left( n \right)=\frac{n\left( 2n+1 \right)\left( n+1 \right)}{6}\)
\(B. S\left( n \right)=\frac{{{n}^{2}}\left( 2n+1 \right)}{6}\)
\(C. S\left( n \right)=\frac{n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)}{6}\)
\(D. S\left( n \right)=\frac{n\left( 2n+1 \right)\left( 3n+1 \right)}{6}\)
Câu 6: Tổng của _{\(S=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{\left( 2n-1 \right)\left( 2n+1 \right)}\)} bằng:

\(A. S=\frac{n}{2n+1}\)	\(B. S=\frac{n+1}{2n}\)
\(C. S=\frac{n}{n+1}\)	\(D. S=\frac{2n}{2n+1}\)

Câu 7: Cho dãy số _{\(\left( {{U}_{n}} \right):\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=1 \\ {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+{{n}^{2}} \\ \end{matrix} \right.\)}. Tính _{\({{u}_{21}}\)}

A.2871

B.3011

C.3312

D.3080

Câu 8: Cho dãy số _{\(\left(u_{n}\right)\)} xác định bởi _{\(u_{1}=-\frac{41}{20}\)}  và _{\(u_{n+1}=21 u_{n}+1\)} với moi _{\(n \geq 1\)}. Tìm số hạng thứ 2018 cúa dãy số đã cho.

\(A. u_{2018}=2.21^{2018}-\frac{1}{20}\)	\(B. u_{2018}=2.21^{2017}-\frac{1}{20}\)
\(C. u_{2018}=-2.21^{2017}-\frac{1}{20}\)	\(D. u_{2018}=-2.21^{2018}-\frac{1}{20}\)

Câu 9: Cho dãy _{\(\left(u_{n}\right): u_{1}=\mathrm{e}^{3}, u_{n+1}=u_{n}^{2}, k \in \mathbb{N}^{*}\)} thỏa mãn _{\(u_{1} . u_{2} \ldots u_{k}=\mathrm{e}^{765}\)} . Giá trị của k là

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Câu 10: Cho dãy số _{\(\left(u_{n}\right)\)} thỏa mãn _{\(u_{1}=\sqrt{2}\)} và _{\(u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}\)} với moi _{\(n \geq 1\)}. Tìm _{\(u_{2018}\)}

\(A. u_{2018}=\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{2^{2017}}\)
\(B.u_{2018}=2 \cos \frac{\pi}{2^{2019}} . \quad\)
\(C. u_{2018}=\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{2^{2018}}\)
\(D.u_{2018}=2\)

---------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân. Bài viết cho chúng ta thấy được công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân. Hi vọng qua bài viết bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 12 nhé. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

• Cấp số nhân
• Cấp số cộng
• Giải SBT Toán 12 bài 2: Phương trình mặt phẳng
• Giải SBT Toán 12 bài 3: Phương trình đường thẳng
• Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
• Giải SBT Toán 12: Đề toán tổng hợp - Chương 3. Phương pháp tọa độ trong không gian