Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Giới hạn tại vô cực của hàm phân thức chứa căn thức

Toán 11 Giới hạn hàm số có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Công thức tính giới hạn hàm số chứa căn thức

A. Bài tập tự luận
B. Bài tập trắc nghiệm

Trong chương trình Toán 11, bài toán giới hạn tại vô cực của hàm phân thức chứa căn thức là một dạng nâng cao, đòi hỏi học sinh phải kết hợp linh hoạt nhiều kỹ thuật biến đổi như nhân liên hợp, chia cho lũy thừa lớn nhất của biến và rút gọn biểu thức. Đây là dạng toán thường xuất hiện trong đề kiểm tra và đề thi, giúp đánh giá khả năng tư duy và kỹ năng xử lý biểu thức đại số.

Bài viết này sẽ trình bày hệ thống phương pháp giải bài toán giới hạn hàm số có chứa căn thức một cách rõ ràng, dễ hiểu. Thông qua các ví dụ minh họa và hướng dẫn chi tiết, bạn sẽ nắm vững cách xử lý giới hạn tại vô cực, từ đó nâng cao hiệu quả học tập và tự tin giải các bài toán Toán 11.

A. Bài tập tự luận

Bài 1. Tính giới hạn $K = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + 1}}{x + 1}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$K = \lim_{x\rightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + 1}}{x + 1} = \lim_{x\rightarrow - \infty}\frac{- x\sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}{x + 1}$ $=\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{- \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}{1 +\frac{1}{x}} = - 2$ .

Bài 2. Tìm giới hạn $C = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} - 2} + \sqrt[3]{x^{3} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} - x}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$C = \lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{|x|\sqrt{4 - \frac{2}{x^{2}}} + x\sqrt[3]{1 +\frac{1}{x^{3}}}}{|x|\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} - x}$ $= \lim_{x\rightarrow - \infty}\frac{- \sqrt{4 - \frac{2}{x^{2}}} + \sqrt[3]{1 +\frac{1}{x^{3}}}}{- \left( \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + 1 \right)} =\frac{1}{2}$ .

Bài 3. Giới hạn $I = \lim_{x \rightarrow + \infty}\left( x + 1 - \sqrt{x^{2} - x + 2} \right)$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$I = \lim_{x \rightarrow + \infty}\left( x + 1 - \sqrt{x^{2} - x + 2} \right) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\left( \frac{x^{2} - x^{2} + x - 2}{x + \sqrt{x^{2} - x + 2}} + 1 \right)$

$= \lim_{x \rightarrow + \infty}\left( \frac{x - 2}{x + \sqrt{x^{2} - x + 2}} + 1 \right)$ $= \lim_{x \rightarrow + \infty}\left( \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}} + 1 \right) = \frac{3}{2}$ .

B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. [NB] Tính giới hạn $\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\sqrt{x + 1}}{x^{2022} - 1}$ .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: $\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\sqrt{x + 1}}{x^{2022} - 1} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{x^{2021}}.\frac{\sqrt{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{1}{x^{2021}}} = 0$ .

Câu 2. [NB] Tính $\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} + 3x + 5}}{4x - 1}$ .

A. $- \frac{1}{4}$ . B. . C. . D. $\frac{1}{4}$ .

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có $\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} + 3x + 5}}{4x - 1} = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{- \sqrt{1 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}}{4 - \frac{1}{x}} = - \frac{1}{4}$ .

Câu 3. [TH] Tìm giới hạn $\lim_{x \rightarrow + \infty}\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} \right)$ .

A. . B. . C. $- \infty$ . D. $+ \infty$ .

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

$\lim_{x \rightarrow + \infty}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} \right)$ $= \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{x + 1 - x + 3}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}$ $= \lim_{x\rightarrow + \infty}\frac{4}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}} =0$ .

Câu 4. [TH] Tính giới hạn $\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x - \sqrt{x^{2} + x}}{x + 1}$ .

A. . B. . C. . D. $- \infty$ .

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

$\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x - \sqrt{x^{2} + x}}{x + 1} = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x + x\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{x + 1} = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{1 + \frac{1}{x}} = 2$ .

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

--------------------------------------------------

Giới hạn tại vô cực của hàm phân thức chứa căn thức là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán 11, giúp học sinh hiểu sâu hơn về hành vi của hàm số khi biến số tiến đến vô cùng. Khi nắm vững các phương pháp biến đổi và công thức tính giới hạn, bạn sẽ dễ dàng giải quyết các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao.

Tải về

Chọn file muốn tải về: