Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Chuyên đề Phương trình lượng giác chứa tham số

Giải phương trình lượng giác chứa tham số

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Chuyên đề Toán Lớp 11

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách giải phương trình lượng giác chứa tham số

A. Bài tập Phương trình lượng giác chứa tham số
B. Đáp án Chuyên đề Phương trình lượng giác chứa tham số

Khi học Toán 11, học sinh thường gặp những bài toán phương trình lượng giác có chứa tham số – đây là dạng bài đòi hỏi khả năng tư duy linh hoạt và kỹ năng kết hợp giữa đại số và lượng giác. Việc giải các phương trình loại này không chỉ đơn thuần là tìm nghiệm, mà còn yêu cầu xác định điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc có nghiệm thỏa mãn yêu cầu cụ thể. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giúp bạn từng bước tiếp cận chuyên đề phương trình lượng giác chứa tham số với phương pháp giải chi tiết, ví dụ minh họa rõ ràng và mẹo xử lý nhanh các tình huống thường gặp trong đề thi.

A. Bài tập Phương trình lượng giác chứa tham số

Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $sin^{6}x + cos^{6}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$ $sin^{6}x + cos^{6}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$ có nghiệm thực?

A. $13$. B. $15$. C. $7$. D. $9$.

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình $cos2x + m\left| \sin x \right| - m = 0$ $cos2x + m\left| \sin x \right| - m = 0$ có nghiệm?

A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. vô số.

Câu 3. Tìm $m$ để phương trình $cos2x - (2m + 1)\cos x + m + 1 = 0$ $cos2x - (2m + 1)\cos x + m + 1 = 0$ có nghiệm $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$ $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$.

A. $0 \leq m < 1$ $0 \leq m < 1$. B. $- 1 < m < 0$. C. $0 < m \leq 1$ $0 < m \leq 1$. D. $- 1 \leq m \leq 0$ $- 1 \leq m \leq 0$.

Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $sin^{6}x + cos^{6}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$ $sin^{6}x + cos^{6}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$ có nghiệm thực?

A. $13$. B. $15$. C. $7$. D. $9$.

Câu 5. Có bao nhiêu số nguyên $m$để phương trình: $2sinx + (m - 1)\cos x = - m$ $2sinx + (m - 1)\cos x = - m$ có nghiệm $x \in \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} \right\rbrack$ $x \in \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} \right\rbrack$.

A. $3$. B. $1$. C. $2$. D. Vô số.

Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $4cos^{3}x - cos2x + (m - 3)\cos x - 1 = 0$ $4cos^{3}x - cos2x + (m - 3)\cos x - 1 = 0$ có đúng bốn nghiệm khác nhau thuộc khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$ $\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$.

A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.

Câu 7. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $cos^{3}2x - cos^{2}2x = msin^{2}x$ $cos^{3}2x - cos^{2}2x = msin^{2}x$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\ \frac{\pi}{6} \right)$ $\left( 0;\ \frac{\pi}{6} \right)$?

A. $3$. B. $0$. C. $2$. D. $1$.

Câu 8. Cho phương trình $\left( 1 + \cos x \right)\left( cos4x - m\cos x \right) = msin^{2}x$ $\left( 1 + \cos x \right)\left( cos4x - m\cos x \right) = msin^{2}x$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có đúng $3$ nghiệm phân biệt thuộc $\left\lbrack 0\ ;\ \frac{2\pi}{3} \right\rbrack$ $\left\lbrack 0\ ;\ \frac{2\pi}{3} \right\rbrack$.

A. $m \in \left\lbrack - \frac{1}{2}\ ;\ \frac{1}{2} \right\rbrack$ $m \in \left\lbrack - \frac{1}{2}\ ;\ \frac{1}{2} \right\rbrack$. B. $m \in ( - \infty\ ;\ - 1\rbrack \cup \lbrack 1\ ;\ + \infty)$ $m \in ( - \infty\ ;\ - 1\rbrack \cup \lbrack 1\ ;\ + \infty)$.

C. $m \in ( - 1\ ;\ 1)$ $m \in ( - 1\ ;\ 1)$. D. $m \in \left\lbrack - \frac{1}{2}\ ;\ 1 \right)$ $m \in \left\lbrack - \frac{1}{2}\ ;\ 1 \right)$.

Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $cos3x - cos2x + m\cos x = 1$ $cos3x - cos2x + m\cos x = 1$ có đúng bảy nghiệm khác nhau thuộc khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};2\pi \right)$ $\left( - \frac{\pi}{2};2\pi \right)$?

A. $3$. B. $5$. C. $7$. D. $1$.

Câu 10. Số các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\left( \sin x - 1 \right)\left( 2cos^{2}x - (2m + 1)\cos x + m \right) = 0$ $\left( \sin x - 1 \right)\left( 2cos^{2}x - (2m + 1)\cos x + m \right) = 0$ có đúng $4$ nghiệm thực thuộc đoạn $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ là:

A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. vô số.

Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $2cos3x = m - 2cosx + \sqrt[3]{m + 6cosx}$ $2cos3x = m - 2cosx + \sqrt[3]{m + 6cosx}$ có nghiệm?

A. $5$. B. $4$. C. $6$. D. $3$.

Câu 12. Tìm $8\pi$ $8\pi$ để phương trình $2sinx + m\cos x = 1 - m$ $2sinx + m\cos x = 1 - m$ có nghiệm $x \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right\rbrack$ $x \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right\rbrack$

A. $- 1 \leq m \leq 3$ $- 1 \leq m \leq 3$. B. $- \frac{3}{2} \leq m$ $- \frac{3}{2} \leq m$. C. $1 \leq m \leq 3$ $1 \leq m \leq 3$. D. $m \leq \frac{3}{2}$ $m \leq \frac{3}{2}$.

Câu 13. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình sau vô nghiệm với ẩn $x,$ $\left( x\mathbb{\in R} \right)$ $\left( x\mathbb{\in R} \right)$: $4cosx - 3sinx = \left( m^{3} - 4m + 3 \right)x + m - 4.$ $4cosx - 3sinx = \left( m^{3} - 4m + 3 \right)x + m - 4.$

A. Vô số B. $2$ C. $3$ D. $1$

Câu 14. Cho phương trình $cos3x - cos2x + m\cos x - 1 = 0$ $cos3x - cos2x + m\cos x - 1 = 0$. Có bao nhiêu giá trị $m$ để phương trình có đúng 7 nghiệm $x \in \left( - \frac{\pi}{2};2\pi \right\rbrack$ $x \in \left( - \frac{\pi}{2};2\pi \right\rbrack$

A. $2$ B. $4$ C. $1$ D. $8$

Câu 15. Cho phương trình $cos2x - (2m - 3)\cos x + m - 1 = 0$ $cos2x - (2m - 3)\cos x + m - 1 = 0$ ($m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left( \frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2} \right)$ $\left( \frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2} \right)$.

A. $1 \leq m < 2$ $1 \leq m < 2$. B. $m < 2$. C. $m \geq 1$ $m \geq 1$. D. $m \leq 1$ $m \leq 1$.

Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $cos2x - 5sinx + m = 0$ có đúng $1$ nghiệm thuộc khoảng $\left( - \pi;\frac{\pi}{2} \right).$ $\left( - \pi;\frac{\pi}{2} \right).$

A. $- 1 \leq m < 6$ $- 1 \leq m < 6$. B. $- 4 \leq m < 6$ $- 4 \leq m < 6$.

C. $m \in \left\{ - 4 \right\} \cup \lbrack - 1;6)$ $m \in \left\{ - 4 \right\} \cup \lbrack - 1;6)$. D. $- 4 \leq m \leq - 1$ $- 4 \leq m \leq - 1$.

Câu 17. Tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $cos2x - (2m - 1)\cos x - m + 1 = 0$ $cos2x - (2m - 1)\cos x - m + 1 = 0$ có đúng $2$nghiệm $x \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right\rbrack$ $x \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right\rbrack$ là

A. $- 1 \leq m \leq 1$ $- 1 \leq m \leq 1$. B. $- 1 \leq m \leq 0$ $- 1 \leq m \leq 0$. C. $0 \leq m < 1$ $0 \leq m < 1$. D. $0 \leq m \leq 1$ $0 \leq m \leq 1$.

B. Đáp án Chuyên đề Phương trình lượng giác chứa tham số

Câu 1.

Ta có $sin^{6}x + cos^{6}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0 \Leftrightarrow$ $sin^{6}x + cos^{6}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0 \Leftrightarrow$ $1 - 3sin^{2}xcos^{2}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$ $1 - 3sin^{2}xcos^{2}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$

Đặt $t = sin2x$, $- 1 \leq t \leq 1$ $- 1 \leq t \leq 1$.

PT trở thành $- 3t^{2} + 6t + 12 = m$ $- 3t^{2} + 6t + 12 = m$.

Xét hàm số $f(t) = - 3t^{2} + 6t + 12$ $f(t) = - 3t^{2} + 6t + 12$, $- 1 \leq t \leq 1$ $- 1 \leq t \leq 1$

Phương trình $sin^{6}x + cos^{6}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$ $sin^{6}x + cos^{6}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$ có nghiệm thực khi $3 \leq m \leq 15$ $3 \leq m \leq 15$.

Vậy có $13$ giá trị nguyên của tham số $m$.

Câu 2.

Ta xét phương trình $cos2x + m\left| \sin x \right| - m = 0 \Leftrightarrow - 2sin^{2}x + m\left| \sin x \right| + 1 - m = 0\ \ (1)$ $cos2x + m\left| \sin x \right| - m = 0 \Leftrightarrow - 2sin^{2}x + m\left| \sin x \right| + 1 - m = 0\ \ (1)$

Đặt $\left| \sin x \right| = t\ \ \ (0 \leq t \leq 1)$ $\left| \sin x \right| = t\ \ \ (0 \leq t \leq 1)$ khi đó

$(1) \Leftrightarrow - 2t^{2} + mt + 1 - m = 0$ $(1) \Leftrightarrow - 2t^{2} + mt + 1 - m = 0$

Để phương trình $cos2x + m\left| \sin x \right| - m = 0$ $cos2x + m\left| \sin x \right| - m = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm t thỏa $0 \leq t \leq 1$ $0 \leq t \leq 1$

$- 2t^{2} + mt + 1 - m = 0\ \Leftrightarrow m(t - 1) = 2t^{2} - 1 \Leftrightarrow m = \frac{2t^{2} - 1}{t - 1}(*)$ $- 2t^{2} + mt + 1 - m = 0\ \Leftrightarrow m(t - 1) = 2t^{2} - 1 \Leftrightarrow m = \frac{2t^{2} - 1}{t - 1}(*)$(Vì $t = 1$không phải là nghiệm của phương trình)

Xét hàm số $y = \frac{2x^{2} - 1}{x - 1}$ $y = \frac{2x^{2} - 1}{x - 1}$ trên $\lbrack 0;1)$ $\lbrack 0;1)$.

Ta có $y' = 2 - \frac{1}{(x - 1)^{2}}$; $y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \sqrt{2} + 1 \\ x = \sqrt{2} - 1 \\ \end{matrix} \right.$

Để phương trình (*) có nghiệm $\Leftrightarrow m \leq \frac{- 2 + 3\sqrt{2}}{2}$ $\Leftrightarrow m \leq \frac{- 2 + 3\sqrt{2}}{2}$. Do m nguyên dương nên $m = 1$.

Câu 3.

Ta có

$cos2x - (2m + 1)\cos x + m + 1 = 0$ $cos2x - (2m + 1)\cos x + m + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2\cos^{2}x - (2m + 1)\cos x + m = 0$ $\Leftrightarrow 2\cos^{2}x - (2m + 1)\cos x + m = 0$

$\Leftrightarrow (2cosx - 1)\left( \cos x- m \right) = 0$ $\Leftrightarrow (2cosx - 1)\left( \cos x- m \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\cos x = m \\\cos x = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\cos x = m \\\cos x = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right.$.

Do $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$ $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$ nên $\cos x \in ( - 1;0)$ $\cos x \in ( - 1;0)$ nên phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ $\cos x = \frac{1}{2}$ không có nghiệm $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$ $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$.

Vậy nên để phương trình $cos2x - (2m + 1)\cos x + m + 1 = 0$ $cos2x - (2m + 1)\cos x + m + 1 = 0$ có nghiệm $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$ $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$ khi phương trình $\cos x = m$ $\cos x = m$ có nghiệm $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$ $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$ nghĩa là $- 1 < m < 0$.

Câu 4.

Phương trình đã cho tương đương với:

$\left( sin^{2}x + cos^{2}x \right)^{3} - 3sin^{2}x.cos^{2}x.\left( sin^{2}x + cos^{2}x \right) + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$ $\left( sin^{2}x + cos^{2}x \right)^{3} - 3sin^{2}x.cos^{2}x.\left( sin^{2}x + cos^{2}x \right) + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$

$\Leftrightarrow - \frac{3}{4}sin^{2}2x + \frac{3}{2}sin2x - \frac{m}{4} + 3 = 0$ $\Leftrightarrow - \frac{3}{4}sin^{2}2x + \frac{3}{2}sin2x - \frac{m}{4} + 3 = 0$

$\Leftrightarrow - \frac{3}{4}(sin2x - 1)^{2} + \frac{15}{4} = \frac{m}{4}$ $\Leftrightarrow - \frac{3}{4}(sin2x - 1)^{2} + \frac{15}{4} = \frac{m}{4}$.

Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi $\frac{m}{4} \in \left\lbrack \frac{3}{4};\frac{15}{4} \right\rbrack \Leftrightarrow m \in \lbrack 3;15\rbrack$ $\frac{m}{4} \in \left\lbrack \frac{3}{4};\frac{15}{4} \right\rbrack \Leftrightarrow m \in \lbrack 3;15\rbrack$

Vậy có $13$ giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có nghiệm thực.

Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu.

--------------------------------------------------

FAQ

Câu 1. Phương trình lượng giác chứa tham số là gì?

Phương trình lượng giác chứa tham số là phương trình có một hoặc nhiều đại lượng tham số bên cạnh ẩn số. Khi giải, học sinh cần biến đổi phương trình và xác định điều kiện của tham số để tìm nghiệm hoặc kết luận số nghiệm theo yêu cầu.

Câu 2. Làm thế nào để giải phương trình lượng giác chứa tham số Toán 11?

Trước tiên, cần sử dụng các công thức lượng giác phù hợp để đưa phương trình về dạng cơ bản. Tiếp theo, xác định điều kiện xác định, điều kiện có nghiệm và xét các giá trị của tham số. Cuối cùng, kết luận nghiệm theo từng trường hợp và kiểm tra lại kết quả.

Câu 3. Khi giải phương trình lượng giác chứa tham số, cần chú ý điều gì?

Học sinh cần tránh chia hai vế cho biểu thức có thể bằng 0 khi chưa xét trường hợp tương ứng. Ngoài ra, phải xác định đúng điều kiện của tham số, sử dụng công thức lượng giác chính xác và không bỏ sót các trường hợp đặc biệt.

Câu 4. Làm thế nào để tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm?

Sau khi biến đổi phương trình, hãy đưa biểu thức lượng giác về dạng có thể so sánh với miền giá trị của hàm số. Chẳng hạn, nếu thu được $\sin x=m$ hoặc $\cos x=m$ , với $x$ là số thực thì phương trình có nghiệm khi $-1\le m\le1$ . Với các dạng khác, cần dựa vào cấu trúc phương trình để xác định điều kiện tương ứng.

Câu 5. Chuyên đề phương trình lượng giác chứa tham số có phù hợp để ôn thi không?

Có. Chuyên đề giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi lượng giác, xét điều kiện và phân loại trường hợp. Đây cũng là nội dung hữu ích để củng cố kiến thức Toán 11 và phát triển tư duy giải toán. Khi ôn thi, cần ưu tiên các dạng bài phù hợp với chương trình và cấu trúc đề thi mục tiêu.

Câu 6. Nên luyện tập phương trình lượng giác chứa tham số theo cách nào?

Nên bắt đầu với phương trình lượng giác cơ bản, sau đó luyện các bài yêu cầu tìm điều kiện tham số, xác định số nghiệm và biện luận theo từng trường hợp. Với mỗi bài, học sinh nên tự giải trước khi xem đáp án, rồi kiểm tra lại các bước biến đổi để nhận ra lỗi sai.

Câu 7. Tài liệu bài tập phương trình lượng giác chứa tham số có đáp án giúp ích gì?

Tài liệu có đáp án giúp học sinh chủ động đối chiếu kết quả, đánh giá mức độ hiểu bài và củng cố phương pháp giải. Nếu có lời giải chi tiết, học sinh còn có thể theo dõi cách đặt điều kiện, xét trường hợp và trình bày kết luận một cách logic.

----------------------------------------------------

Phương trình lượng giác chứa tham số là một trong những chuyên đề nâng cao trong chương trình Toán 11, thường xuất hiện trong các đề thi phân loại năng lực học sinh. Thông qua việc học cách đặt điều kiện, phân tích miền xác định, sử dụng bất đẳng thức và kết hợp kiến thức giải phương trình cơ bản, bạn hoàn toàn có thể làm chủ dạng bài toán này.

Việc luyện tập đều đặn với nhiều dạng bài có chứa tham số giúp bạn rèn luyện khả năng phân tích logic, xử lý biểu thức lượng giác linh hoạt và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi học kỳ cũng như thi thử THPT Quốc gia. Ngoài ra, khi nắm chắc chuyên đề này, bạn sẽ có nền tảng tốt để tiếp cận với các bài toán khảo sát hàm số lượng giác có tham số ở lớp 12.

Nếu bạn muốn học tốt hơn, hãy tiếp tục theo dõi các chuyên đề khác trong chương trình Toán lớp 11, đặc biệt là các dạng bài nâng cao có sự kết hợp giữa đại số và lượng giác – một trong những phần trọng tâm của chương trình phổ thông hiện nay.

Tải về

Chọn file muốn tải về: