VnDoc.com

Chuyên đề Phương trình lượng giác chứa tham số

Giải phương trình lượng giác chứa tham số

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách giải phương trình lượng giác chứa tham số

A. Bài tập Phương trình lượng giác chứa tham số
B. Đáp án Chuyên đề Phương trình lượng giác chứa tham số

Khi học Toán 11, học sinh thường gặp những bài toán phương trình lượng giác có chứa tham số – đây là dạng bài đòi hỏi khả năng tư duy linh hoạt và kỹ năng kết hợp giữa đại số và lượng giác. Việc giải các phương trình loại này không chỉ đơn thuần là tìm nghiệm, mà còn yêu cầu xác định điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc có nghiệm thỏa mãn yêu cầu cụ thể. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giúp bạn từng bước tiếp cận chuyên đề phương trình lượng giác chứa tham số với phương pháp giải chi tiết, ví dụ minh họa rõ ràng và mẹo xử lý nhanh các tình huống thường gặp trong đề thi.

A. Bài tập Phương trình lượng giác chứa tham số

Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $sin^{6}x + cos^{6}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$ $sin^{6}x + cos^{6}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$ có nghiệm thực?

A. $13$. B. $15$. C. $7$. D. $9$.

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình $cos2x + m\left| \sin x \right| - m = 0$ $cos2x + m\left| \sin x \right| - m = 0$ có nghiệm?

A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. vô số.

Câu 3. Tìm $m$ để phương trình $cos2x - (2m + 1)\cos x + m + 1 = 0$ $cos2x - (2m + 1)\cos x + m + 1 = 0$ có nghiệm $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$ $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$.

A. $0 \leq m < 1$ $0 \leq m < 1$. B. $- 1 < m < 0$. C. $0 < m \leq 1$ $0 < m \leq 1$. D. $- 1 \leq m \leq 0$ $- 1 \leq m \leq 0$.

Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $sin^{6}x + cos^{6}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$ $sin^{6}x + cos^{6}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$ có nghiệm thực?

A. $13$. B. $15$. C. $7$. D. $9$.

Câu 5. Có bao nhiêu số nguyên $m$để phương trình: $2sinx + (m - 1)\cos x = - m$ $2sinx + (m - 1)\cos x = - m$ có nghiệm $x \in \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} \right\rbrack$ $x \in \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} \right\rbrack$.

A. $3$. B. $1$. C. $2$. D. Vô số.

Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $4cos^{3}x - cos2x + (m - 3)\cos x - 1 = 0$ $4cos^{3}x - cos2x + (m - 3)\cos x - 1 = 0$ có đúng bốn nghiệm khác nhau thuộc khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$ $\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$.

A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.

Câu 7. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $cos^{3}2x - cos^{2}2x = msin^{2}x$ $cos^{3}2x - cos^{2}2x = msin^{2}x$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\ \frac{\pi}{6} \right)$ $\left( 0;\ \frac{\pi}{6} \right)$?

A. $3$. B. $0$. C. $2$. D. $1$.

Câu 8. Cho phương trình $\left( 1 + \cos x \right)\left( cos4x - m\cos x \right) = msin^{2}x$ $\left( 1 + \cos x \right)\left( cos4x - m\cos x \right) = msin^{2}x$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có đúng $3$ nghiệm phân biệt thuộc $\left\lbrack 0\ ;\ \frac{2\pi}{3} \right\rbrack$ $\left\lbrack 0\ ;\ \frac{2\pi}{3} \right\rbrack$.

A. $m \in \left\lbrack - \frac{1}{2}\ ;\ \frac{1}{2} \right\rbrack$ $m \in \left\lbrack - \frac{1}{2}\ ;\ \frac{1}{2} \right\rbrack$. B. $m \in ( - \infty\ ;\ - 1\rbrack \cup \lbrack 1\ ;\ + \infty)$ $m \in ( - \infty\ ;\ - 1\rbrack \cup \lbrack 1\ ;\ + \infty)$.

C. $m \in ( - 1\ ;\ 1)$ $m \in ( - 1\ ;\ 1)$. D. $m \in \left\lbrack - \frac{1}{2}\ ;\ 1 \right)$ $m \in \left\lbrack - \frac{1}{2}\ ;\ 1 \right)$.

Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $cos3x - cos2x + m\cos x = 1$ $cos3x - cos2x + m\cos x = 1$ có đúng bảy nghiệm khác nhau thuộc khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};2\pi \right)$ $\left( - \frac{\pi}{2};2\pi \right)$?

A. $3$. B. $5$. C. $7$. D. $1$.

Câu 10. Số các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\left( \sin x - 1 \right)\left( 2cos^{2}x - (2m + 1)\cos x + m \right) = 0$ $\left( \sin x - 1 \right)\left( 2cos^{2}x - (2m + 1)\cos x + m \right) = 0$ có đúng $4$ nghiệm thực thuộc đoạn $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ là:

A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. vô số.

Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $2cos3x = m - 2cosx + \sqrt[3]{m + 6cosx}$ $2cos3x = m - 2cosx + \sqrt[3]{m + 6cosx}$ có nghiệm?

A. $5$. B. $4$. C. $6$. D. $3$.

Câu 12. Tìm $8\pi$ $8\pi$ để phương trình $2sinx + m\cos x = 1 - m$ $2sinx + m\cos x = 1 - m$ có nghiệm $x \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right\rbrack$ $x \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right\rbrack$

A. $- 1 \leq m \leq 3$ $- 1 \leq m \leq 3$. B. $- \frac{3}{2} \leq m$ $- \frac{3}{2} \leq m$. C. $1 \leq m \leq 3$ $1 \leq m \leq 3$. D. $m \leq \frac{3}{2}$ $m \leq \frac{3}{2}$.

Câu 13. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình sau vô nghiệm với ẩn $x,$ $\left( x\mathbb{\in R} \right)$ $\left( x\mathbb{\in R} \right)$: $4cosx - 3sinx = \left( m^{3} - 4m + 3 \right)x + m - 4.$ $4cosx - 3sinx = \left( m^{3} - 4m + 3 \right)x + m - 4.$

A. Vô số B. $2$ C. $3$ D. $1$

Câu 14. Cho phương trình $cos3x - cos2x + m\cos x - 1 = 0$ $cos3x - cos2x + m\cos x - 1 = 0$. Có bao nhiêu giá trị $m$ để phương trình có đúng 7 nghiệm $x \in \left( - \frac{\pi}{2};2\pi \right\rbrack$ $x \in \left( - \frac{\pi}{2};2\pi \right\rbrack$

A. $2$ B. $4$ C. $1$ D. $8$

Câu 15. Cho phương trình $cos2x - (2m - 3)\cos x + m - 1 = 0$ $cos2x - (2m - 3)\cos x + m - 1 = 0$ ($m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left( \frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2} \right)$ $\left( \frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2} \right)$.

A. $1 \leq m < 2$ $1 \leq m < 2$. B. $m < 2$. C. $m \geq 1$ $m \geq 1$. D. $m \leq 1$ $m \leq 1$.

Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $cos2x - 5sinx + m = 0$ có đúng $1$ nghiệm thuộc khoảng $\left( - \pi;\frac{\pi}{2} \right).$ $\left( - \pi;\frac{\pi}{2} \right).$

A. $- 1 \leq m < 6$ $- 1 \leq m < 6$. B. $- 4 \leq m < 6$ $- 4 \leq m < 6$.

C. $m \in \left\{ - 4 \right\} \cup \lbrack - 1;6)$ $m \in \left\{ - 4 \right\} \cup \lbrack - 1;6)$. D. $- 4 \leq m \leq - 1$ $- 4 \leq m \leq - 1$.

Câu 17. Tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $cos2x - (2m - 1)\cos x - m + 1 = 0$ $cos2x - (2m - 1)\cos x - m + 1 = 0$ có đúng $2$nghiệm $x \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right\rbrack$ $x \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right\rbrack$ là

A. $- 1 \leq m \leq 1$ $- 1 \leq m \leq 1$. B. $- 1 \leq m \leq 0$ $- 1 \leq m \leq 0$. C. $0 \leq m < 1$ $0 \leq m < 1$. D. $0 \leq m \leq 1$ $0 \leq m \leq 1$.

B. Đáp án Chuyên đề Phương trình lượng giác chứa tham số

Câu 1.

Ta có $sin^{6}x + cos^{6}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0 \Leftrightarrow$ $sin^{6}x + cos^{6}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0 \Leftrightarrow$ $1 - 3sin^{2}xcos^{2}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$ $1 - 3sin^{2}xcos^{2}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$

Đặt $t = sin2x$, $- 1 \leq t \leq 1$ $- 1 \leq t \leq 1$.

PT trở thành $- 3t^{2} + 6t + 12 = m$ $- 3t^{2} + 6t + 12 = m$.

Xét hàm số $f(t) = - 3t^{2} + 6t + 12$ $f(t) = - 3t^{2} + 6t + 12$, $- 1 \leq t \leq 1$ $- 1 \leq t \leq 1$

Phương trình $sin^{6}x + cos^{6}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$ $sin^{6}x + cos^{6}x + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$ có nghiệm thực khi $3 \leq m \leq 15$ $3 \leq m \leq 15$.

Vậy có $13$ giá trị nguyên của tham số $m$.

Câu 2.

Ta xét phương trình $cos2x + m\left| \sin x \right| - m = 0 \Leftrightarrow - 2sin^{2}x + m\left| \sin x \right| + 1 - m = 0\ \ (1)$ $cos2x + m\left| \sin x \right| - m = 0 \Leftrightarrow - 2sin^{2}x + m\left| \sin x \right| + 1 - m = 0\ \ (1)$

Đặt $\left| \sin x \right| = t\ \ \ (0 \leq t \leq 1)$ $\left| \sin x \right| = t\ \ \ (0 \leq t \leq 1)$ khi đó

$(1) \Leftrightarrow - 2t^{2} + mt + 1 - m = 0$ $(1) \Leftrightarrow - 2t^{2} + mt + 1 - m = 0$

Để phương trình $cos2x + m\left| \sin x \right| - m = 0$ $cos2x + m\left| \sin x \right| - m = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm t thỏa $0 \leq t \leq 1$ $0 \leq t \leq 1$

$- 2t^{2} + mt + 1 - m = 0\ \Leftrightarrow m(t - 1) = 2t^{2} - 1 \Leftrightarrow m = \frac{2t^{2} - 1}{t - 1}(*)$ $- 2t^{2} + mt + 1 - m = 0\ \Leftrightarrow m(t - 1) = 2t^{2} - 1 \Leftrightarrow m = \frac{2t^{2} - 1}{t - 1}(*)$(Vì $t = 1$không phải là nghiệm của phương trình)

Xét hàm số $y = \frac{2x^{2} - 1}{x - 1}$ $y = \frac{2x^{2} - 1}{x - 1}$ trên $\lbrack 0;1)$ $\lbrack 0;1)$.

Ta có $y' = 2 - \frac{1}{(x - 1)^{2}}$; $y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \sqrt{2} + 1 \\ x = \sqrt{2} - 1 \\ \end{matrix} \right.$

Để phương trình (*) có nghiệm $\Leftrightarrow m \leq \frac{- 2 + 3\sqrt{2}}{2}$ $\Leftrightarrow m \leq \frac{- 2 + 3\sqrt{2}}{2}$. Do m nguyên dương nên $m = 1$.

Câu 3.

Ta có

$cos2x - (2m + 1)\cos x + m + 1 = 0$ $cos2x - (2m + 1)\cos x + m + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2\cos^{2}x - (2m + 1)\cos x + m = 0$ $\Leftrightarrow 2\cos^{2}x - (2m + 1)\cos x + m = 0$

$\Leftrightarrow (2cosx - 1)\left( \cos x- m \right) = 0$ $\Leftrightarrow (2cosx - 1)\left( \cos x- m \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\cos x = m \\\cos x = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\cos x = m \\\cos x = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right.$.

Do $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$ $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$ nên $\cos x \in ( - 1;0)$ $\cos x \in ( - 1;0)$ nên phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ $\cos x = \frac{1}{2}$ không có nghiệm $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$ $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$.

Vậy nên để phương trình $cos2x - (2m + 1)\cos x + m + 1 = 0$ $cos2x - (2m + 1)\cos x + m + 1 = 0$ có nghiệm $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$ $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$ khi phương trình $\cos x = m$ $\cos x = m$ có nghiệm $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$ $x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$ nghĩa là $- 1 < m < 0$.

Câu 4.

Phương trình đã cho tương đương với:

$\left( sin^{2}x + cos^{2}x \right)^{3} - 3sin^{2}x.cos^{2}x.\left( sin^{2}x + cos^{2}x \right) + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$ $\left( sin^{2}x + cos^{2}x \right)^{3} - 3sin^{2}x.cos^{2}x.\left( sin^{2}x + cos^{2}x \right) + 3sinx\cos x - \frac{m}{4} + 2 = 0$

$\Leftrightarrow - \frac{3}{4}sin^{2}2x + \frac{3}{2}sin2x - \frac{m}{4} + 3 = 0$ $\Leftrightarrow - \frac{3}{4}sin^{2}2x + \frac{3}{2}sin2x - \frac{m}{4} + 3 = 0$

$\Leftrightarrow - \frac{3}{4}(sin2x - 1)^{2} + \frac{15}{4} = \frac{m}{4}$ $\Leftrightarrow - \frac{3}{4}(sin2x - 1)^{2} + \frac{15}{4} = \frac{m}{4}$.

Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi $\frac{m}{4} \in \left\lbrack \frac{3}{4};\frac{15}{4} \right\rbrack \Leftrightarrow m \in \lbrack 3;15\rbrack$ $\frac{m}{4} \in \left\lbrack \frac{3}{4};\frac{15}{4} \right\rbrack \Leftrightarrow m \in \lbrack 3;15\rbrack$

Vậy có $13$ giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có nghiệm thực.

Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu.

--------------------------------------------------

Phương trình lượng giác chứa tham số là một trong những chuyên đề nâng cao trong chương trình Toán 11, thường xuất hiện trong các đề thi phân loại năng lực học sinh. Thông qua việc học cách đặt điều kiện, phân tích miền xác định, sử dụng bất đẳng thức và kết hợp kiến thức giải phương trình cơ bản, bạn hoàn toàn có thể làm chủ dạng bài toán này.

Việc luyện tập đều đặn với nhiều dạng bài có chứa tham số giúp bạn rèn luyện khả năng phân tích logic, xử lý biểu thức lượng giác linh hoạt và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi học kỳ cũng như thi thử THPT Quốc gia. Ngoài ra, khi nắm chắc chuyên đề này, bạn sẽ có nền tảng tốt để tiếp cận với các bài toán khảo sát hàm số lượng giác có tham số ở lớp 12.

Nếu bạn muốn học tốt hơn, hãy tiếp tục theo dõi các chuyên đề khác trong chương trình Toán lớp 11, đặc biệt là các dạng bài nâng cao có sự kết hợp giữa đại số và lượng giác – một trong những phần trọng tâm của chương trình phổ thông hiện nay.

Tải về

Chọn file muốn tải về: