Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Giới hạn dãy phân thức hữu tỉ

Cách tính giới hạn dãy số Toán 11

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tính giới hạn dãy phân thức hữu tỉ

A. Phương pháp tính giới hạn dãy số phân thức hữu tỉ
B. Bài tập tự luận tính giới hạn dãy số phân thức hữu tỉ
C. Bài tập trắc nghiệm tính giới hạn

Trong chương trình Toán 11, dạng toán giới hạn dãy phân thức hữu tỉ là nội dung quan trọng, giúp học sinh nắm vững kiến thức về dãy số và giới hạn. Việc hiểu rõ phương pháp tính giới hạn sẽ giúp học sinh giải bài nhanh và chính xác hơn.

A. Phương pháp tính giới hạn dãy số phân thức hữu tỉ

Giới hạn của $\left( u_{n} \right)$ trong đó $u_{n}$ là một phân thức hữu tỉ dạng $u_{n} = \frac{P(n)}{Q(n)}$ (trong đó là hai đa thức chứa của ).

Phương pháp:

Chia tử và mẫu cho $n^{k}$ với $n^{k}$ là lũy thừa có số mũ lớn nhất của và (hoặc là rút $n^{k}$ làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và $\lim\frac{a}{n^{k}} = 0\ (k > 0)$ để tính.

B. Bài tập tự luận tính giới hạn dãy số phân thức hữu tỉ

Bài tập 1. Tính $\lim\frac{n^{2} - 4n^{3}}{2n^{3} + 5n - 2}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\lim\frac{n^{2} - 4n^{3}}{2n^{3} + 5n -2} = \lim\frac{n^{3}\left( \frac{1}{n} - 4 \right)}{n^{3}\left( 2 +\frac{5}{n^{2}} - \frac{2}{n^{3}} \right)}$ $= \lim\frac{\frac{1}{n} -4}{2 + \frac{5}{n^{2}} - \frac{2}{n^{3}}} = \frac{- 4}{2} = -2$ .

Bài tập 2. Tính $\lim\frac{n^{3} - 7n}{1 + 2n^{2}}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\lim\frac{n^{3} - 7n}{1 + 2n^{2}} = \lim\frac{n^{3}\left( 1 - \frac{7}{n^{2}} \right)}{n^{2}\left( \frac{1}{n^{2}} + 2 \right)} = \lim\left( n.\frac{1 - \frac{7}{n^{2}}}{\frac{1}{n^{2}} + 2} \right) = + \infty$ .

Vì $\lim\left( \frac{1 - \frac{7}{n^{2}}}{\frac{1}{n^{2}} + 2} \right) = \frac{1}{2} > 0;\ \ \lim n = + \infty$ .

Bài tập 3. Tính $\lim\frac{n + 2}{n^{2} + n + 1}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\lim\frac{n + 2}{n^{2} + n + 1} = \lim\frac{n\left( 1 + \frac{3}{n} \right)}{n^{2}\left( 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} \right)} = \lim\frac{1}{n}.\frac{1 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} = 0$

C. Bài tập trắc nghiệm tính giới hạn

Câu 1. Tính $I = \lim\frac{2n - 3}{2n^{2} + 3n + 1}$

A. $I = - \infty$ . B. $I = + \infty$ . B. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:

$I = \lim\frac{2n - 3}{2n^{2} + 3n + 1} =\lim\frac{n^{2}\left( \frac{2}{n} - \frac{3}{n^{2}} \right)}{n^{2}\left(2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}} \right)}$ $= \lim\frac{\frac{2}{n} -\frac{3}{n^{2}}}{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}} = 0$ .

Câu 2. Biết $\lim\frac{2n^{3} + n^{2} - 4}{an^{3} + 2} = \frac{1}{2}$ với là tham số. Khi đó $a - a^{2}$ bằng

A.. B. . B. . D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

$\lim\frac{2n^{3} + n^{2} - 4}{an^{3} + 2} = \lim\frac{n^{3}\left( 2 + \frac{1}{n} - \frac{4}{n^{3}} \right)}{n^{3}\left( a + \frac{2}{n^{3}} \right)} = \frac{2}{a} = \frac{1}{2}$ .

Suy ra . Khi đó $a - a^{2} = 4 - 4^{2} = - 12$ .

Câu 3. Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ với $u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$ . Tính $\lim u_{n}$ .

A. . B. $\frac{1}{4}$ . C. $\frac{1}{2}$ . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C

* Cách 1:

Ta có: $\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right)$

Suy ra

$\frac{1}{1.3} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right)$

$\frac{1}{3.5} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right)$ …

…

$u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2n + 1} \right)$ nên $\lim u_{n} = \lim\frac{1}{2}\left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2n + 1} \right) = \frac{1}{2}$ .

* Cách 2:

Ta có $u_{1} = \frac{1}{3};\ \ u_{2} = \frac{2}{5};\ \ u_{3} = \frac{3}{7}$ . Ta chứng minh $u_{n} = \frac{n}{2n + 1}\ \ (*)$ bằng quy nạp

+ Với , công thức đúng.

+ Giả sử công thức đúng với $n = k \geq 1 \Rightarrow u_{k} = \frac{k}{2k + 1}$ . Ta cần chứng minh $u_{k + 1} = \frac{k + 1}{2(k + 1) + 1}$ .

Thật vậy, ta có

$u_{k + 1} = u_{k} + \frac{1}{\left\lbrack 2(k + 1) - 1 \right\rbrack\left\lbrack 2(k + 1) + 1 \right\rbrack}$

$= \frac{k}{2k + 1} + \frac{1}{(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{2k^{2} + 3k + 1}{(2k + 1)(2k + 3)}$

$= \frac{(k + 1)(2k + 1)}{(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{k + 1}{2(k + 1) + 1}$ .

Vậy công thức $u_{n} = \frac{n}{2n + 1}\ \ (*)$ đúng với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ .

Khi đó $\lim u_{n} = \lim\frac{n}{2n + 1} = \frac{1}{2}$ .

Câu 4. Đặt $f(n) = \left( n^{2} + n + 1 \right)^{2} + 1.$

Xét dãy số $\left( u_{n} \right)$ sao cho $u_{n} = \frac{f(1).f(3).f(5)...f(2n - 1)}{f(2).f(4).f(6)...f(2n)}.$ Tính $\lim n\sqrt{u_{n}}.$ .

A. $\lim n\sqrt{u_{n}} = \sqrt{2}.$ B. $\lim n\sqrt{u_{n}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$

C. $\lim n\sqrt{u_{n}} = \sqrt{3}.$ D. $\lim n\sqrt{u_{n}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$

Hướng dẫn giải

Chọn D

Xét $g(n) = \frac{f(2n - 1)}{f(2n)} \Rightarrow g(n) = \frac{\left( 4n^{2} - 2n + 1 \right)^{2} + 1}{\left( 4n^{2} + 2n + 1 \right)^{2} + 1}$ .

$g(n) = \frac{\left( 4n^{2} + 1\right)^{2} - 4n\left( 4n^{2} + 1 \right) + \left( 4n^{2} + 1\right)}{\left( 4n^{2} + 1 \right)^{2} + 4n\left( 4n^{2} + 1 \right) +\left( 4n^{2} + 1 \right)}$ $= \frac{4n^{2} + 1 - 4n + 1}{4n^{2} + 1 + 4n+ 1} = \frac{(2n - 1)^{2} + 1}{(2n + 1)^{2} + 1}$

$\Rightarrow u_{n} =\frac{2}{10}.\frac{10}{26}.\frac{26}{50}\ldots.\frac{(2n - 3)^{2} +1}{(2n - 1)^{2} + 1}.\frac{(2n - 1)^{2} + 1}{(2n + 1)^{2} + 1}$ $=\frac{2}{(2n + 1)^{2} + 1}$

$\Rightarrow \lim n\sqrt{u_{n}} = \lim\sqrt{\frac{2n^{2}}{4n^{2} + 4n + 2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

--------------------------------------------------

Chuyên đề giới hạn dãy phân thức hữu tỉ giúp học sinh hiểu rõ cách tính giới hạn trong Toán 11. Luyện tập thường xuyên dạng toán này sẽ giúp bạn nâng cao kỹ năng giải toán dãy số và đạt kết quả tốt trong học tập.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: