Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Thể tích khối chóp đều

Công thức tính thể tích hình chóp toán 11

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Công thức thể tích hình chóp đều

Trong chương trình Toán 11, dạng toán thể tích hình chóp đều là nội dung quan trọng của hình học không gian, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi. Việc nắm vững công thức và phương pháp tính thể tích hình chóp đều giúp học sinh giải toán nhanh và chính xác hơn.

Hình chóp đều

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.

Nhận xét:

Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

Hình chóp tam giác đều

Cho hình chóp tam giác đều .

Khi đó:

Đáy là tam giác đều.
Các mặt bên là các tam giác cân tại .
Chiều cao: .
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: $\widehat{SAO} = \widehat{SBO} = \widehat{SCO}$ .
Góc giữa mặt bên và mặt đáy: $\widehat{SHO}$ .
Tính chất: $AO = \frac{2}{3}AH,\ OH = \frac{1}{3}AH,\ AH = \frac{AB\sqrt{3}}{2}$ .

Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.

Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.

Hình chóp tứ giác đều

Cho hình chóp tam giác đều .

Đáy là hình vuông.
Các mặt bên là các tam giác cân tại .
Chiều cao: .
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: $\widehat{SAO} = \widehat{SBO} = \widehat{SCO} = \widehat{SDO}$ .
Góc giữa mặt bên và mặt đáy: $\widehat{SHO}$ .

Công thức tính thể tích khối chóp đều

$V=\dfrac{1}{3}.B.h$

B là diện tích đáy khối chóp

h là chiều cao khối chóp

Ví dụ minh họa tính thể tích khối chóp đều

Bài tập 1. Cho là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp biết , .

A. $a^{3}$ B. $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}$ C. $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$ . D. $\frac{a^{3}}{3}$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Gọi là hình chiếu của lên

Ta có: $AH = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$S_{ABCD} = a^{2} \Rightarrow V_{S.ABCD} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$

Bài tập 2. Cho hình chóp đều , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng $60^{0}$ , khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng $\frac{3a}{2\sqrt{7}}$ . Thể tích của khối chóp theo bằng

A. $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$ . B. $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{18}$ . C. $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{16}$ . D. $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}$ .

Hướng dẫn giải

Gọi là trung điểm của .

Trong mp(SAM), Kẻ $MH\bot SA,\ (H \in SA)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot SO \end{matrix} \right.\ \Rightarrow BC\bot(SAM) \Rightarrow BC\bot MH$ .

Do đó là đường vuông góc chung của và .

Suy ra $MH = \frac{3a}{2\sqrt{7}}$ .

Ta có: $SM\bot BC \Rightarrow \widehat{\left( (SBC),(ABC) \right)} = \widehat{SMA} = 60^{0}$ .

Đặt $OM = x \Rightarrow AM = 3x,\ OA = 2x$ .

$\Rightarrow SO = OM.tan60^{0} = x\sqrt{3}$ và $SA = \sqrt{\left( x\sqrt{3} \right)^{2} + (2x)^{2}} = x\sqrt{7}$ .

Trong $\bigtriangleup SAM$ ta có:

$\Leftrightarrow x\sqrt{7}.\frac{3a}{2\sqrt{7}} = x\sqrt{3}.3x$

$\Leftrightarrow x = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Khi đó:

$AM = 3x = 3.\frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AB = a$ .

$V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{\Delta ABC}.SO = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{a}{2} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{24}$

Bài tập 3. Cho hình chóp đều có đáy là hình thoi tâm , $AC = 2\sqrt{3}a$ , , hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng . Biết khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$ . Tính thể tích của khối chóp theo .

A. $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{16}$ . B. $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{18}$ . C. $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{3}$ . D. $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Ta có tam giác ABO vuông tại O và $AO = a\sqrt{3}$ ,

. Do đó $\frac{AO}{BO} = \sqrt{3} = tan60^{0} \Rightarrow \widehat{ABO} = 60^{0}$ .

Suy ra $\Delta ABD$ đều.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (SAC)\bot(ABCD) \\ (SBD)\bot(ABCD) \\ (SAC) \cap (SBD) = SO \end{matrix} \right.\ \Rightarrow SO\bot(ABCD)$ .

Trong tam giác đều , gọi H là trung điểm AB,

K là trung điểm BH,

Suy ra $DH\bot AB$ và $DH = a\sqrt{3}$ ; và $OK = \frac{1}{2}DH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Suy ra $OK\bot AB \Rightarrow AB\bot(SOK)$ .

Gọi I là hình chiếu của O lên SK, ta có:

$OI\bot SK;\ AB\bot OI \Rightarrow OI\bot(SAB)$ . $\Rightarrow OI = d\left\lbrack O;\ \ (SAB) \right\rbrack$ .

Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao:

$\frac{1}{OI^{2}} = \frac{1}{OK^{2}} + \frac{1}{SO^{2}} \Rightarrow SO = \frac{a}{2}$ .

$V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}.S_{\Delta ABCD}.SO = \frac{1}{3}.4.S_{\Delta ABO}.SO$

$= \frac{1}{3}.4.\frac{1}{2}.OA.OB.SO = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{3}$ .

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

------------------------------------------------------

Chuyên đề thể tích hình chóp đều giúp học sinh hiểu rõ công thức và cách áp dụng trong Toán 11. Luyện tập thường xuyên dạng toán này sẽ giúp bạn nâng cao kỹ năng giải toán hình học không gian và đạt kết quả tốt trong học tập.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: