Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tính giới hạn lượng giác

Bài tập Toán 11 Giới hạn dãy số có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tính giới hạn lượng giác nhanh

Tính giới hạn lượng giác là nội dung then chốt trong chương Giới hạn dãy số – Giới hạn hàm số Toán 11, thường gây khó khăn cho học sinh do liên quan đến biến đổi lượng giác và các giới hạn đặc biệt.

Bài viết tổng hợp bài tập tính giới hạn lượng giác có đáp án, trình bày phương pháp giải nhanh – dễ áp dụng, giúp học sinh nắm chắc nền tảng để học tốt Giải tích THPT.

Bài tập 1. Tính giới hạn các dãy số sau:

a) $\lim\frac{6\sin n - 8\cos n}{3n^{2} +1}$ b) $\lim\frac{\sqrt[3]{n^{2}}.\cos(n!)}{2n +1}$ c) $\lim\left( 5 -\frac{n.\cos2n}{n^{2} + 3} \right)$

Hướng dẫn giải

a) Vì $0 \leq \left| \frac{6\sin n -8\cos n}{3n^{2} + 1} \right| \leq \frac{10}{3n^{2} + 1}$ và $\lim\frac{10}{3n^{2} + 1} = 0$ nên $\lim\frac{6\sin n - 8\cos n}{3n^{2} + 1} =0$ .

b) Vì $- \frac{\sqrt[3]{n^{2}}}{2n + 1}\leq \frac{\sqrt[3]{n^{2}}.\cos(n!)}{2n + 1} \leq\frac{\sqrt[3]{n^{2}}}{2n + 1}$ và $\lim\frac{- \sqrt[3]{n^{2}}}{2n + 1} = \lim\frac{\sqrt[3]{n^{2}}}{2n + 1} = 0$ nên $\lim\frac{\sqrt[3]{n^{2}}.\cos(n!)}{2n + 1} =0$ .

c) Vì $0 \leq \left| \frac{n.\cos2n}{n^{2}+ 3} \right| \leq \frac{n}{n^{2} + 3}$ và $\lim\frac{n}{n^{2} + 3} = 0$ nên $\lim\frac{n.\cos2n}{n^{2} + 3} = 0$ .

Suy ra $\lim\left( 5 - \frac{n.cos2n}{n^{2} + 3} \right) = 5 - 0 = 5$ .

Bài tập 2. Chứng minh giới hạn dãy số $\lim\left( \frac{3.3^{n} - sin3n}{3^{n}} \right) = 3$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim\left( \frac{3.3^{n} -\sin3n}{3^{n}} - 3 \right) = \lim\left( \frac{- \sin3n}{3^{n}}\right)$ .

Vì $0 \leq \left| \frac{- \sin3n}{3^{n}}\right| = \frac{| - \sin3n|}{3^{n}} \leq \frac{1}{3^{n}} = \left(\frac{1}{3} \right)^{n}$ .

Mà $\lim\left( \frac{1}{3} \right)^{n} = 0$ nên suy ra $\lim\left( \frac{-\sin3n}{3^{n}} \right) = 0$ nên do đó $\lim\left( \frac{3.3^{n} - \sin3n}{3^{n}} \right) =3$ .

Bài tập 3. Tính tổng các nghiệm $x \in (0;\pi)$ của phương trình $\sin x +\sin^{2}x + \sin^{3}x + ... + \sin^{n}x + ... = 1$ .

A. $\frac{\pi}{6}$ . B. $\pi$ . C. $\frac{5\pi}{6}$ . D. $\frac{2\pi}{3}$ .

Hướng dẫn giải

Với $x = \frac{\pi}{2}$ thay vào (1) ta có vô lý.

Với $x \in (0;\pi)\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} \right\}$ thì $\sin x;\sin^{2}x;\sin^{3}x;\sin^{n}x..$ là cấp số nhân lùi vô hạn công bội $q = \sin x$ .

Do đó, VT(1) là tổng của cấp só nhân lùi vô hạn nên ta được $(1) \Leftrightarrow \frac{\sin x}{1 - \sin x} = 1 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}\overset{x \in (0;\pi)\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} \right\}}{\rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{6} \\ x = \frac{5\pi}{6} \end{matrix} \right.$ .

Vậy tổng các nghiệm $x \in (0;\pi)$ là $\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \pi$ .

-------------------------------------------------------------

Nắm vững cách tính giới hạn lượng giác không chỉ giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11, mà còn tạo tiền đề quan trọng cho việc học đạo hàm và tích phân ở các lớp trên.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: