Trắc nghiệm đúng sai giới hạn dãy số có đáp án - Bài tập Toán 11 Giới hạn dãy số

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 11 câu
Điểm số bài kiểm tra: 11 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Nhận biết

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Tính được các giới hạn. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $lim(\sqrt{2})^{n} = - \infty$ .Sai||Đúng

b) $\lim\pi^{n} = 0$ . Sai||Đúng

c) $\lim\left( 2n^{3} + 2n^{2} - 4 \right) = + \infty$ .Đúng||Sai

d) $\lim\left( - 5n^{4} + n^{3} - 4n \right) = - \infty$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Tính được các giới hạn. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $lim(\sqrt{2})^{n} = - \infty$ .Sai||Đúng

b) $\lim\pi^{n} = 0$ . Sai||Đúng

c) $\lim\left( 2n^{3} + 2n^{2} - 4 \right) = + \infty$ .Đúng||Sai

d) $\lim\left( - 5n^{4} + n^{3} - 4n \right) = - \infty$ . Đúng||Sai

a) Sai: Ta có: $\lim\left( \sqrt{2} \right)^{n} = + \infty$ (do $\sqrt{2} > 1$ )

b) Sai: Ta có: $\lim\pi^{n} = + \infty$ (do $\pi > 1$ )

c) Đúng:

Ta có

$\lim\left( 2n^{3} + 2n^{2} - 4 \right) = \lim n^{3} \cdot \left( 2 + \frac{2}{n} - \frac{4}{n^{3}} \right) = + \infty$ .

Vì $\left\{ \begin{matrix} \lim n^{3} = + \infty \\ \lim\left( 2 + \frac{2}{n} - \frac{4}{n^{3}} \right) = 2 > 0 \end{matrix} \right.$

d) Đúng: Vì $\lim\left( - 5n^{4} + n^{3} - 4n \right) = \lim n^{4} \cdot \left( - 5 + \frac{1}{n} - \frac{4}{n^{3}} \right) = - \infty$ .

Vì $\left\{ \begin{matrix} \lim n^{4} = + \infty \\ \lim\left( - 5 + \frac{1}{n} - \frac{4}{n^{3}} \right) = - 5 < 0 \end{matrix} \right.$
Câu 2: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Biết giới hạn $\lim\frac{2n + 1}{2 - 3n} = a$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Giá trị $a$ lớn hơn $0$ . Sai||Đúng

b) $x = a$ là trục đối xứng của parabol $(P):\ y = 3x^{2} + 4x - 7$ .Đúng||Sai

c) Bộ ba số $- \frac{5}{3};\ a;\ \frac{1}{3}$ lập thành một cấp số cộng với công sai bằng $2$ . Sai||Đúng

d) Cho cấp số nhân $\left( u_{n} \right)$ với công bội $q = 3$ và $u_{1} = a$ thì $u_{3} = 6$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Biết giới hạn $\lim\frac{2n + 1}{2 - 3n} = a$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Giá trị $a$ lớn hơn $0$ . Sai||Đúng

b) $x = a$ là trục đối xứng của parabol $(P):\ y = 3x^{2} + 4x - 7$ .Đúng||Sai

c) Bộ ba số $- \frac{5}{3};\ a;\ \frac{1}{3}$ lập thành một cấp số cộng với công sai bằng $2$ . Sai||Đúng

d) Cho cấp số nhân $\left( u_{n} \right)$ với công bội $q = 3$ và $u_{1} = a$ thì $u_{3} = 6$ . Sai||Đúng

a) Sai: Ta có: $\lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = \lim\frac{n\left( 2 + \frac{1}{n} \right)}{n\left( - 3 + \frac{2}{n} \right)} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{- 3 + \frac{2}{n}} = \frac{- 2}{3}$ suy ra: $a = - \frac{2}{3}$

b) Đúng: Trục đối xứng của parabol $(P):\ y = 3x^{2} + 4x - 7$ là $x = - \frac{4}{2.3} = - \frac{2}{3}$

c) Sai: Ba số $- \frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{1}{3}$ tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng $1$

d) Sai: Cho cấp số nhân $\left( u_{n} \right)$ với công bội $q = 3$ và $u_{1} = a = - \frac{2}{3} \Rightarrow u_{3} = u_{1}.q^{2}$ $= - \frac{2}{3}.3^{2}$ $= - 6$
Câu 3: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Biết $\lim\frac{2n^{2} - n + 4}{an^{2} + n + 3} = 2$ và $\lim\frac{3^{n} + 4^{n + 1}}{4^{n} + 3} = b$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Giá trị của $a = 2$ . Sai||Đúng

b) Giá trị của $b = 4$ . Đúng||Sai

c) $2a - b = 0$ . Sai||Đúng

d) Ba số $a,b,16$ lập thành một cấp số nhân. Đúng||Sai

Đáp án là:

Biết $\lim\frac{2n^{2} - n + 4}{an^{2} + n + 3} = 2$ và $\lim\frac{3^{n} + 4^{n + 1}}{4^{n} + 3} = b$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Giá trị của $a = 2$ . Sai||Đúng

b) Giá trị của $b = 4$ . Đúng||Sai

c) $2a - b = 0$ . Sai||Đúng

d) Ba số $a,b,16$ lập thành một cấp số nhân. Đúng||Sai

a) Sai: Ta có $\lim\frac{2n^{2} - n + 4}{an^{2} + n + 3} = 2 \Leftrightarrow \lim\frac{n^{2}\left( 2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{n^{2}} \right)}{n^{2}\left( a + \frac{1}{n} + \frac{3}{n^{2}} \right)} = 2$

$\Leftrightarrow \lim\frac{2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{n^{2}}}{a + \frac{1}{n} + \frac{3}{n^{2}}} = 2 \Leftrightarrow \frac{2}{a} = 2 \Leftrightarrow a = 1$

b) Đúng: Ta có $b = \lim\frac{3^{n} + 4^{n + 1}}{4^{n} + 3} = \lim\frac{3^{n} + 4^{n}.4}{4^{n} + 3} = \lim\frac{\left( \frac{3}{4} \right)^{n} + 4}{1 + 3.\left( \frac{1}{4} \right)^{n}} = 4$ . $\Rightarrow b = 4$

c) Sai: Vậy $a = 1,b = 4 \Rightarrow 2a - b = 2.1 - 4 = - 2$ .

d) Đúng: Ta có $a = 1,b = 4$ .

Mà $b^{2} = 16$ và $a.16 = 1.16 = 16$ $\Rightarrow b^{2} = a.16$ nên theo tính chất của cấp số nhân ta có $1,4,16$ lập thành một cấp số nhân với $u_{1} = 1,q = 4$ .
Câu 4: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ với $u_{n} = \frac{4n^{2} + n + 2}{an^{2} + 5}.$ Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Để dãy số đã cho có giới hạn bằng $2$ , giá trị của $a = 2.$ Đúng||Sai

b) Để dãy số đã cho có giới hạn bằng $1$ , giá trị của $a = 3.$ Sai||Đúng

c) Để dãy số đã cho có giới hạn bằng $3$ , giá trị của $a$ là một số nguyên. Sai||Đúng

d) Để dãy số đã cho có giới hạn bằng $- 2$ , giá trị của $a = - 2$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ với $u_{n} = \frac{4n^{2} + n + 2}{an^{2} + 5}.$ Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Để dãy số đã cho có giới hạn bằng $2$ , giá trị của $a = 2.$ Đúng||Sai

b) Để dãy số đã cho có giới hạn bằng $1$ , giá trị của $a = 3.$ Sai||Đúng

c) Để dãy số đã cho có giới hạn bằng $3$ , giá trị của $a$ là một số nguyên. Sai||Đúng

d) Để dãy số đã cho có giới hạn bằng $- 2$ , giá trị của $a = - 2$ . Đúng||Sai

a) Đúng: $\lim\frac{4n^{2} + n + 2}{an^{2}+ 5} = \lim\frac{4 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}}{a + \frac{5}{n^{2}}}= \frac{4}{a}\ \ \left( a=0 \right)$

Khi đó $2 = \lim u_{n} \Leftrightarrow 2 = \frac{4}{a} \Leftrightarrow a = 2$

b) Sai: Khi đó $1 = \lim u_{n} \Leftrightarrow 1 = \frac{4}{a} \Leftrightarrow a = 4$

c) Sai: Khi đó $3 = \lim u_{n} \Leftrightarrow 3 = \frac{4}{a} \Leftrightarrow a = \frac{4}{3}$

d) Đúng: Khi đó $- 2 = \lim u_{n} \Leftrightarrow - 2 = \frac{4}{a} \Leftrightarrow a = - 2$
Câu 5: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Đặt $I = \lim\left( \sqrt{n^{2} + a^{2}n} - \sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \right)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Ta biến đổi được $I = \lim\frac{n - 1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}$ . Sai||Đúng

b) Nếu $I = 0$ thì có 3 giá trị $a$ thỏa mãn. Sai||Đúng

c) Nếu $I = 0$ thì tổng các giá trị $a$ tìm được bằng $1$ . Sai||Đúng

d) Có 2 giá trị $a$ nguyên để $I = 1$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Đặt $I = \lim\left( \sqrt{n^{2} + a^{2}n} - \sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \right)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Ta biến đổi được $I = \lim\frac{n - 1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}$ . Sai||Đúng

b) Nếu $I = 0$ thì có 3 giá trị $a$ thỏa mãn. Sai||Đúng

c) Nếu $I = 0$ thì tổng các giá trị $a$ tìm được bằng $1$ . Sai||Đúng

d) Có 2 giá trị $a$ nguyên để $I = 1$ . Sai||Đúng

a) Sai: Ta biến đổi được $I = \lim\frac{n - 1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}$

$\sqrt{n^{2} + a^{2}n} - \sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \rightarrow = 0\overset{\rightarrow}{}$ nhân lượng liên hợp.

Ta có $\lim\left( \sqrt{n^{2} + a^{2}n} -\sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \right)$ $= \lim\frac{\left( a^{2} - a - 2\right)n - 1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}$

b) Sai: $I = \lim\frac{a^{2} - a - 2 - \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}}} = \frac{a^{2} - a - 2}{2}$

Khi $I = 0 \Leftrightarrow \frac{a^{2} - a- 2}{2} = 0 \Leftrightarrow a^{2} - a - 2 = 0$ $\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}a = - 1 \\a = 2\end{matrix} \right.$

c) Sai: Nếu $I = 0$ thì tổng các giá trị $a$ tìm được bằng $1$ . Khi đó $- 1 + 2 = 1 \neq 0$

d) Sai: Có 2 giá trị $a$ nguyên để $I = 1$

Khi $I = 1 \Leftrightarrow \frac{a^{2} - a- 2}{2} = 1$ $\Leftrightarrow a^{2} - a - 4 = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}a = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \\a = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\end{matrix} \right.$
Câu 6: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau

Ông An bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm là $5000000$ đồng một tháng. Cứ sau một chu kỳ 3 năm thì ông An được tăng lương $4\%$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Mức lương ông An nhận được sau 3 năm là $5200000$ đồng. Đúng||Sai

b) Tổng số tiền lương ông An nhận được sau 6 năm đầu là $374400000$ đồng. Sai||Đúng

c) Dự đoán công thức tính số tiền lương ông An được nhận $u_{n}$ , sau n chu kì năm công tác là: $u_{n} = 5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{n}$ đồng. Sai||Đúng

d) Giả sử ông An đi làm sau đúng 35 năm thì được về hưu. Tổng số tiền lương ông nhận được trong cả quá trình công tác là $2612277740$ đồng. Đúng||Sai

Đáp án là:

Ông An bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm là $5000000$ đồng một tháng. Cứ sau một chu kỳ 3 năm thì ông An được tăng lương $4\%$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Mức lương ông An nhận được sau 3 năm là $5200000$ đồng. Đúng||Sai

b) Tổng số tiền lương ông An nhận được sau 6 năm đầu là $374400000$ đồng. Sai||Đúng

c) Dự đoán công thức tính số tiền lương ông An được nhận $u_{n}$ , sau n chu kì năm công tác là: $u_{n} = 5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{n}$ đồng. Sai||Đúng

d) Giả sử ông An đi làm sau đúng 35 năm thì được về hưu. Tổng số tiền lương ông nhận được trong cả quá trình công tác là $2612277740$ đồng. Đúng||Sai

a) Đúng: Mức lương 3 năm tiếp theo của ông An là:

$5000000 + 5000000.\frac{4}{100} = 5000000.\left( 1 + \frac{1}{25} \right) = 5200000$ (đồng)

b) Sai: 1 năm = 12 tháng.

Tổng lương 3 năm đầu là $36.5000000\ = 180\ 000000$ đồng.

Tổng lương từ năm thứ 4 đến năm thứ 6 là: $36.520000 = 187200000$ đồng.

Tổng số tiền lương ông An nhận được sau 6 năm đầu là:

$180000000 + 187200000 = 367200000$ đồng.

c) Sai: Chu kì thứ nhất mức lương của ông An là: $u_{1} = 5000000$ đồng.

Chu kì thứ hai mức lương của ông An là:

$u_{2} = 5000000 + 5000000.\frac{4}{100}$ $=5000000.\left( 1 + \frac{1}{25} \right) = 5000000.\frac{26}{25}$ (đồng)

Chu kì thứ ba mức lương của ông An là:

$u_{3} = 5000000.\left( \frac{26}{25} \right) +5000000.\left( \frac{26}{25} \right).\frac{1}{25}$ $= 5000000.\left(\frac{26}{25} \right).\left( 1 + \frac{1}{25} \right) = 5000000.\left(\frac{26}{25} \right)^{2}$ ( đồng).

Chu kì thứ tư mức lương của ông An là:

$u_{4} = 5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{2} +5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{2}.\frac{1}{25}$ $= 5000000.\left(\frac{26}{25} \right)^{2}\left( 1 + \frac{1}{25} \right) =5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{3}$ (đồng).

Cứ tiếp tục như vậy ta dự đoán được sau chu kì thứ $n$ số tiền lương ông An nhận được là:

$u_{n} = 5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{n - 1}$ (đồng).

d) Đúng: Tổng tiền lương của chu kì thứ nhất là: $36.5000000\ = 180\ 000000$ đồng.

Tổng tiền lương của chu kì thứ hai là: $36.5000000.\frac{26}{25}$ đồng.

Tổng tiền lương của chu kì thứ ba là: $36.5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{2}$ đồng.

….

Tổng tiền lương của chu kì thứ mười một là: $36.5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{10}$ đồng.

Tổng tiền lương 2 năm tiếp theo của chu kì thứ mười hai là: $24.5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{11}$ đồng.

Tổng tiền lương sau tròn 35 năm là:

$S = 36.5000000 + 36.5000000.\left( \frac{26}{25} \right) +36.5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{2}$ $+ ... + 36.5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{10} + 24.5000000.\left(\frac{26}{25} \right)^{11}$

$= 36.5000000\left( 1 + \frac{26}{25} + \left( \frac{26}{25} \right)^{2} + ... + \left( \frac{26}{25} \right)^{10} \right) + 24.5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{11}$

$= \frac{36.5000000.\left( 1 - \left( \frac{26}{25} \right)^{11} \right)}{1 - \frac{26}{25}} + 24.5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{11} = 2612277740$ đồng.
Câu 7: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho giới hạn $L = \lim\frac{\sqrt[3]{an^{3} + 5n^{2} - 7}}{\sqrt{3n^{2} - n + 2}}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Khi $a = 1$ thì $L = \frac{1}{\sqrt{3}}$ . Đúng||Sai

b) Khi $a = 0$ thì $L = \frac{1}{3}$ . Sai||Đúng

c) Khi $a > 0$ thì $L > 0$ . Đúng||Sai

d) Khi $L = b\sqrt{3} + c$ với $\ b,\ \ c$ là các tham số thì $P = \frac{a + c}{b^{3}} = \frac{1}{2}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho giới hạn $L = \lim\frac{\sqrt[3]{an^{3} + 5n^{2} - 7}}{\sqrt{3n^{2} - n + 2}}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Khi $a = 1$ thì $L = \frac{1}{\sqrt{3}}$ . Đúng||Sai

b) Khi $a = 0$ thì $L = \frac{1}{3}$ . Sai||Đúng

c) Khi $a > 0$ thì $L > 0$ . Đúng||Sai

d) Khi $L = b\sqrt{3} + c$ với $\ b,\ \ c$ là các tham số thì $P = \frac{a + c}{b^{3}} = \frac{1}{2}$ . Sai||Đúng

Ta có:

$\lim\frac{\sqrt[3]{an^{3} + 5n^{2} - 7}}{\sqrt{3n^{2} - n + 2}} = \lim\frac{\sqrt[3]{a + \frac{5}{n} - \frac{7}{n^{3}}}}{\sqrt{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{3}\sqrt{3}$

a) Đúng: Khi $a = 1$ thì $L = \frac{1}{\sqrt{3}}$ . Với $a = 1$ thì $L = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

b) Sai: Khi $a = 0$ thì $L = \frac{1}{3}$ . Với $a = 1$ thì $L = \sqrt{3}$

c) Đúng: Khi $a > 0$ thì $L > 0$ . Với $a > 0$ thì $\sqrt[3]{a} > 0 \Rightarrow \frac{\sqrt[3]{a}}{3}\sqrt{3} > 0 \Rightarrow L > 0$

d) Sai: Khi $L = b\sqrt{3} + c$ với $\ b,\ \ c$ là các tham số thì $P = \frac{a + c}{b^{3}} = \frac{1}{2}$

$L = \frac{\sqrt[3]{a}}{3}\sqrt{3} =b\sqrt{3} + c$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}b = \frac{\sqrt[3]{a}}{3} \\c = 0\end{matrix} \right.$ $\ \Rightarrow P = \frac{a + c}{b^{3}} =\frac{a}{\frac{a}{27}} = 27$
Câu 8: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ với $u_{n} = an^{2} + n - 1$ với $a\mathbb{\in R}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Với $a = 1$ , giới hạn của dãy số đã cho là $1$ . Sai|||Đúng

b) Với $a = 2$ , giới hạn của dãy số đã cho là $+ \infty$ .Đúng||Sai

c) Với $a = - \frac{5}{2}$ , giới hạn của dãy số đã cho là $- \infty$ .Đúng||Sai

d) Với $a \leq 0$ , giới hạn của dãy số đã cho là $- \infty$ . Sai|||Đúng

Đáp án là:

Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ với $u_{n} = an^{2} + n - 1$ với $a\mathbb{\in R}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Với $a = 1$ , giới hạn của dãy số đã cho là $1$ . Sai|||Đúng

b) Với $a = 2$ , giới hạn của dãy số đã cho là $+ \infty$ .Đúng||Sai

c) Với $a = - \frac{5}{2}$ , giới hạn của dãy số đã cho là $- \infty$ .Đúng||Sai

d) Với $a \leq 0$ , giới hạn của dãy số đã cho là $- \infty$ . Sai|||Đúng

a) Sai: Với $a = 1$ , $u_{n} = n^{2} + n - 1$ .

Ta có: $\lim\left( n^{2} + n - 1 \right) = \lim\ \ n^{2}\left( 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} \right) = + \infty$ .

b) Đúng: Với $a = 2$ , $u_{n} = 2n^{2} + n - 1$ .

Ta có: $\lim\left( 2n^{2} + n - 1 \right) = \lim\ \ n^{2}\left( 2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} \right) = + \infty$ .

c) Đúng: Với $a = - \frac{5}{2}$ , $u_{n} = - \frac{5}{2}n^{2} + n - 1$ .

Ta có: $\lim\left( - \frac{5}{2}n^{2} + n - 1 \right) = \lim\ \ n^{2}\left( - \frac{5}{2} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} \right) = - \infty$ .

d) Sai: Với $a < 0$ . Ta có: $\lim\left( an^{2} + n - 1 \right) = \lim\ \ n^{2}\left( a + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} \right) = - \infty$ .

Với $a = 0$ , $u_{n} = n - 1$ . Ta có: $\lim(n - 1) = \lim\ \ n\left( 1 - \frac{1}{n} \right) = + \infty$ .
Câu 9: Nhận biết

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Giả sử ta có $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = a$ và $\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x) = b$ . Với $\left( a;b\mathbb{\in R} \right)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x).g(x) \right\rbrack = a.\ b$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack 2f(x) - g(x) \right\rbrack = 2a - b$ . Đúng||Sai

c) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}$ . Sai||Đúng

d) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack \frac{f(x) + 2g(x)}{f(x)} \right\rbrack = a + \frac{2b}{a}\ \$ với $(a \neq 0).$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Giả sử ta có $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = a$ và $\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x) = b$ . Với $\left( a;b\mathbb{\in R} \right)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x).g(x) \right\rbrack = a.\ b$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack 2f(x) - g(x) \right\rbrack = 2a - b$ . Đúng||Sai

c) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}$ . Sai||Đúng

d) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack \frac{f(x) + 2g(x)}{f(x)} \right\rbrack = a + \frac{2b}{a}\ \$ với $(a \neq 0).$ Sai||Đúng

a) Đúng: Vì theo định lí về giới hạn hữu hạn.

b) Đúng: Vì $\lim_{x \rightarrow x_{\ _{0}}}\ \left\lbrack cf(x) \right\rbrack = c\lim_{x \rightarrow x_{\ _{0}}}f(x)(c\mathbb{\in R})$ nên $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack 2f(x) - g(x) \right\rbrack = 2a - b.$

c) Sai: Vì b có thể bằng 0.

d) Sai: Vì $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack \frac{f(x) + 2g(x)}{f(x)} \right\rbrack = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack 1 + \frac{2g(x)}{f(x)} \right\rbrack = 1 + \frac{2b}{a}\ \ \ ;(a \neq 0).$
Câu 10: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho giới hạn $L = \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $L = 2$ khi $a = 1$ .Đúng||Sai

b) $L = 3$ thì có 2 giá trị nguyên $a$ thỏa mãn.Sai||Đúng

c) $L > 3$ khi $a > 6$ .Đúng||Sai

d) Có 3 giá trị nguyên của $a$ thuộc $(0;20)$ sao cho $\lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$ là một số nguyên.Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho giới hạn $L = \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $L = 2$ khi $a = 1$ .Đúng||Sai

b) $L = 3$ thì có 2 giá trị nguyên $a$ thỏa mãn.Sai||Đúng

c) $L > 3$ khi $a > 6$ .Đúng||Sai

d) Có 3 giá trị nguyên của $a$ thuộc $(0;20)$ sao cho $\lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$ là một số nguyên.Đúng||Sai

a) Đúng: Ta có $\left\{ \begin{matrix}\lim\frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} = \lim\frac{a -\frac{1}{n^{2}}}{\frac{3}{n^{2}} + 1} = a \\\lim\frac{1}{2^{n}} = \lim\left( \frac{1}{2} \right)^{n} = 0\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 +n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + a}.$

Khi đó $L = 2 \Leftrightarrow \sqrt{3 + a} = 2 \Leftrightarrow 3 + a = 4 \Leftrightarrow a = 1$

b) Sai: Khi đó $L = 3 \Leftrightarrow \sqrt{3 + a} = 3 \Leftrightarrow 3 + a = 9 \Leftrightarrow a = 6$

c) Đúng: Khi đó $L > 3 \Leftrightarrow \sqrt{3 + a} > 3 \Leftrightarrow 3 + a > 9 \Leftrightarrow a > 6$

d) Đúng: Ta có $\left\{ \begin{matrix} a \in (0;20),\ \ a\mathbb{\in Z} \\ \sqrt{a + 3}\mathbb{\in Z} \end{matrix} \right.\ \overset{\rightarrow}{}a \in \left\{ 1;6;13 \right\}.$
Câu 11: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Tìm được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$

và $T = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} - \ldots + ( - 1)^{n}\frac{1}{3^{n}} + \ldots$ Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q = \frac{1}{2}.$ Đúng||Sai

b) $T = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} - \ldots + ( - 1)^{n}\frac{1}{3^{n}} + \ldots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q = \frac{1}{3}.$ Sai||Đúng

c) $S > T$ Đúng||Sai

d) $S = \frac{1}{T}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Tìm được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$

và $T = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} - \ldots + ( - 1)^{n}\frac{1}{3^{n}} + \ldots$ Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q = \frac{1}{2}.$ Đúng||Sai

b) $T = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} - \ldots + ( - 1)^{n}\frac{1}{3^{n}} + \ldots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q = \frac{1}{3}.$ Sai||Đúng

c) $S > T$ Đúng||Sai

d) $S = \frac{1}{T}$ Sai||Đúng

a) Đúng: Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_{1} = 1$ , công bội $q = \frac{1}{2}.$

$\ \Rightarrow S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \left( \frac{1}{2} \right)^{n} + \ldots = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2.$

b) Sai: Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_{1} = 1$ , công bội $q = - \frac{1}{3}.$

Vì vậy $T = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} - \ldots + \left( - \frac{1}{3} \right)^{n} + \ldots = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3}{4}.$

c) Đúng: $S = 2$ , $T = \frac{3}{4} \Rightarrow S > T$ .

d) Sai: $\Rightarrow S > T$

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!