Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Thể tích khối tứ diện

Bài tập thể tích Toán 11 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tính thể tích khối tứ diện

Trong chương trình Toán 11, dạng toán thể tích khối tứ diện là nội dung quan trọng của hình học không gian, thường xuất hiện trong bài kiểm tra và đề thi. Việc nắm vững công thức và phương pháp tính thể tích tứ diện giúp học sinh giải toán nhanh và chính xác hơn.

Bài tập 1. Cho hình chóp tam giác có là trung điểm của , là điểm trên cạnh sao cho , là điểm trên cạnh sao cho . Kí hiệu $V_{1},V_{2}$ lần lượt là thể tích của các khối tứ diện và . Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ .

A. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{9}$ . B. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{4}$ . C. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{2}{3}$ . D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{3}$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

$\frac{V_{N.BMP}}{V_{C.SAB}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot d(N,(SAB)) \cdot S_{BMP}}{\frac{1}{3} \cdot d(C,(SAB)) \cdot S_{SAB}}$ ; $\frac{d(N,(SAB))}{d(C,(SAB))} = \frac{NS}{CS} = \frac{2}{3}$ ,

$S_{BPM} = \frac{1}{2}S_{BPS} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}S_{SAB}$ Suy ra, $\frac{V_{N.BMP}}{V_{C.SAB}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{9}$ .

Bài tập 2. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , góc giữa hai mặt phẳng và bằng $45{^\circ}$ , $M,\ \ N$ và lần lượt là trung điểm các cạnh và . Tính thể tích của khối tứ diện .

A. $V = \frac{a^{3}}{6}$ B. $V = \frac{a^{3}}{4}$ C. $V = \frac{a^{3}}{12}$ D. $V = \frac{a^{3}}{2}$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\frac{S_{SMN}}{S_{SAB}} = \frac{SM}{SA} \cdot \frac{SN}{SB} = \frac{1}{4}$ .

Tương tự, $\frac{S_{BNP}}{S_{SAB}} = \frac{1}{4},\frac{S_{AMP}}{S_{SAB}} = \frac{1}{4}$ .

Suy ra $\frac{S_{MNP}}{S_{SAB}} = \frac{1}{4}$ (có thể khẳng định $\frac{S_{MNP}}{S_{SAB}} = \frac{1}{4}$ nhờ hai tam giác MNP và BAS là hai tam giác đồng dạng với tỉ số $k = \frac{1}{2}$ ).

Do đó $\frac{V_{D.MNP}}{V_{D.SAB}} = \frac{1}{4}$ (1)

$V_{D.SAB} = V_{S.DAB} = \frac{1}{2}V_{S.ABCD}$ . (2)

$V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SO.S_{ABCD} = \frac{1}{3}OP.tan45{^\circ}.S_{ABCD} = \frac{4a^{3}}{3}$ (3). Từ (1), (2) và (3): $V_{DMNP} = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}.\frac{4a^{3}}{3} = \frac{a^{3}}{6}$ .

Bài tập 3. Cho tứ diện có các cạnh và đôi một vuông góc với nhau. Gọi $G_{1},G_{2},G_{3}$ và $G_{4}$ lần lượt là trọng tâm các mặt và . Biết , . Tính theo a thể tích khối tứ diện $G_{1}G_{2}G_{3}G_{4}$ .

A. $4a^{3}$ B. $a^{3}$ C. $108a^{3}$ D. $36a^{3}$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh được $V_{G_{1}G_{2}G_{3}G_{4}} = \frac{1}{27}V_{ABCD}$ .

Thật vậy ta có:

$(G_{2}G_{3}G_{4}) \parallel (CBA)$ và $\bigtriangleup G_{2}G_{3}G_{4})\sim \bigtriangleup CBA$ (tỉ số đồng dạng $k = \frac{1}{3}$ ) .

Từ đó:

$\frac{S_{G_{2}G_{3}G_{4}}}{S_{CBA}} = k^{2} = \frac{1}{9}$

$d(G_{1},(G_{2}G_{3}G_{4})) =d(G_{4},(ABC))$ $= \frac{1}{3}d(D,(ABC))\ \ (do\ G_{4}M =\frac{1}{3}DM)$

Suy ra $\frac{V_{G_{1}G_{2}G_{3}G_{4}}}{V_{ABCD}} = \frac{d(G_{1},(G_{2}G_{3}G_{4}))}{d(D,(ABC))} \cdot \frac{S_{G_{2}G_{3}G_{4}}}{S_{CBA}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{27}$

$\Rightarrow V_{G_{1}G_{2}G_{3}G_{4}} = \frac{1}{27}V_{ABCD} = \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{6}.AB.AC.AD = 4a^{3}$

Bài tập 4. Cho tứ diện có , , . Tính thể tích khối tứ diện .

A. $360m^{3}$ B. $720m^{3}$ C. $770m^{3}$ D. $340m^{3}$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Dựng tam giác MNP sao cho C, B, D lần lượt là trung điểm các cạnh MN, MP, NP.

Do BD là đường trung bình tam giác MNP nên $BD = \frac{1}{2}MN$ hay $AC = \frac{1}{2}MN$ .

Tam giác AMN vuông tại A (do có trung tuyến bằng một nửa cạnh tương ứng), hay $AM\bot AN$ . Tương tự, $AP\bot AN$ và $AM\bot AP$ .

Ta có:

$S_{MBC} = \frac{1}{4}S_{MNP}$ , $S_{NCD} = \frac{1}{4}S_{MNP}$ , $S_{BPD} = \frac{1}{4}S_{MNP}$ .Suy ra $S_{BCD} = \frac{1}{4}S_{MNP}$ .

Từ đó, $\boxed{V_{ABCD} = \frac{1}{4}V_{AMNP}}$ .

Đặt $x = \frac{AM}{m},y = \frac{AN}{m},z = \frac{AP}{m}$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 4.20^{2} \\ y^{2} + z^{2} = 4.21^{2} \\ x^{2} + z^{2} = 4.11^{2} \end{matrix} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{matrix}x^{2} = 160 \\y^{2} = 1440 \\z^{2} = 324\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \frac{1}{6}xyz = 1440 \Rightarrow V_{ABCD} = \frac{1}{4}V_{AMNP} = 360m^{3}$

(AM, AN, AP đôi một vuông góc nên $V_{AMNP} = \frac{1}{6}AM.AN.AP$ )

$V = \frac{\sqrt{2}}{12}\sqrt{(a^{2} + b^{2} - c^{2})(a^{2} - b^{2} + c^{2})( - a^{2} + b^{2} + c^{2})}$ .

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

---------------------------------------------------

Chuyên đề thể tích khối tứ diện giúp học sinh hiểu rõ công thức và cách áp dụng trong Toán 11. Luyện tập thường xuyên dạng toán này sẽ giúp bạn nâng cao kỹ năng giải toán hình học không gian và đạt kết quả tốt trong học tập.

Tải về

Chọn file muốn tải về: