VnDoc.com

Làm sao để chứng minh một dãy số là dãy giảm?

Dạng toán chứng minh dãy số giảm thường gặp

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Các dạng toán chứng minh dãy số giảm thường gặp

Trong quá trình học về dãy số, việc chứng minh một dãy số là dãy giảm là dạng toán xuất hiện thường xuyên nhưng dễ gây lúng túng nếu không nắm rõ phương pháp. Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc lựa chọn cách tiếp cận phù hợp giữa so sánh số hạng, xét hiệu hay biến đổi bất đẳng thức.

Bài viết này sẽ giải đáp rõ làm sao để chứng minh một dãy số là dãy giảm, đồng thời tổng hợp các dạng toán lớp 11 thường gặp giúp người học áp dụng linh hoạt và chính xác.

A. Cách chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm

Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$:

$\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ là dãy số giảm $\Leftrightarrow u_{n + 1} > u_{n}$ $\Leftrightarrow u_{n + 1} > u_{n}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ $n \in \mathbb{N}^{*}$

$\Leftrightarrow u_{n + 1} - u_{n} < 0,\ \ \forall n \in \mathbb{N}^{*} \Leftrightarrow \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} < 1,\ \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}\ \ \ \ \left( u_{n} > 0 \right)$ $\Leftrightarrow u_{n + 1} - u_{n} < 0,\ \ \forall n \in \mathbb{N}^{*} \Leftrightarrow \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} < 1,\ \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}\ \ \ \ \left( u_{n} > 0 \right)$

B. Bài tập minh họa chứng minh dãy số giảm

Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số sau đây là dãy số giảm?

a) $u_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}$ $u_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}$ b) $u_{n} = \frac{n}{n^{2} + 1}$ $u_{n} = \frac{n}{n^{2} + 1}$ c) $u_{n} = \frac{\sqrt{n + 1} - n}{n}$ $u_{n} = \frac{\sqrt{n + 1} - n}{n}$ d) $u_{n} = \frac{1}{n} - 2$ $u_{n} = \frac{1}{n} - 2$

e) $u_{n} = \frac{2n+1}{5n+2}$ $u_{n} = \frac{2n+1}{5n+2}$ f) $u_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ $u_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ g) $u_{n} = \frac{\sqrt{n + 1} - 1}{n}$ $u_{n} = \frac{\sqrt{n + 1} - 1}{n}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$u_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2^{n}};u_{n + 1} = \frac{\sqrt{n + 1}}{2^{n + 1}}$ $u_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2^{n}};u_{n + 1} = \frac{\sqrt{n + 1}}{2^{n + 1}}$

$\Rightarrow \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{\sqrt{n + 1}}{2^{n + 1}} \cdot \frac{2^{n}}{\sqrt{n}} = \frac{1}{2}\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{n + 1}{n}}$ $\Rightarrow \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{\sqrt{n + 1}}{2^{n + 1}} \cdot \frac{2^{n}}{\sqrt{n}} = \frac{1}{2}\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{n + 1}{n}}$

Giả sử: $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{n + 1}{n}} > 1$ $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{n + 1}{n}} > 1$ $\Leftrightarrow\frac{1}{4}\frac{n + 1}{n} > 1$ $\Leftrightarrow\frac{1}{4}\frac{n + 1}{n} > 1$

$\Leftrightarrow n + 1 > 4n\Leftrightarrow 3n < 1 \Rightarrow$ $\Leftrightarrow n + 1 > 4n\Leftrightarrow 3n < 1 \Rightarrow$vô lý.

Vậy $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} < 1 \Leftrightarrow u_{n + 1} < u_{n} \Rightarrow$ $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} < 1 \Leftrightarrow u_{n + 1} < u_{n} \Rightarrow$dãy số đã cho là dãy số giảm.

b) Ta có:

$u_{n} = \frac{n}{n^{2} + 1};u_{n + 1} = \frac{n + 1}{(n + 1)^{2} + 1} = \frac{n + 1}{n^{2} + 2n + 2}$ $u_{n} = \frac{n}{n^{2} + 1};u_{n + 1} = \frac{n + 1}{(n + 1)^{2} + 1} = \frac{n + 1}{n^{2} + 2n + 2}$

$\Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 1}{n^{2} + 2n + 2} - \frac{n}{n^{2} + 1}$ $\Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 1}{n^{2} + 2n + 2} - \frac{n}{n^{2} + 1}$

$= \frac{(n + 1)\left( n^{2} + 1 \right) - n\left( n^{2} + 2n + 2 \right)}{\left( n^{2} + 1 \right)\left( n^{2} + 2n + 2 \right)}$ $= \frac{(n + 1)\left( n^{2} + 1 \right) - n\left( n^{2} + 2n + 2 \right)}{\left( n^{2} + 1 \right)\left( n^{2} + 2n + 2 \right)}$

$= \frac{n^{3} + n^{2} + n + 1 - n^{3} -2n^{2} - 2n}{\left( n^{2} + 1 \right)\left( n^{2} + 2n + 2 \right)}$ $= \frac{n^{3} + n^{2} + n + 1 - n^{3} -2n^{2} - 2n}{\left( n^{2} + 1 \right)\left( n^{2} + 2n + 2 \right)}$

$=\frac{- n^{2} - n + 1}{\left( n^{2} + 1 \right)\left( n^{2} + 2n + 2\right)} < 0;\forall n \geq 1 \Rightarrow \left( u_{n}\right)$ $=\frac{- n^{2} - n + 1}{\left( n^{2} + 1 \right)\left( n^{2} + 2n + 2\right)} < 0;\forall n \geq 1 \Rightarrow \left( u_{n}\right)$ là dãy số giảm.

c) Ta có:

$u_{n}=\frac{\sqrt{n + 1} - n}{n}=\frac{\sqrt{n + 1}}{n} - 1$ $u_{n}=\frac{\sqrt{n + 1} - n}{n}=\frac{\sqrt{n + 1}}{n} - 1$ $\Rightarrow u_{n + 1} = \frac{\sqrt{n + 2}}{n + 1} - 1$ $\Rightarrow u_{n + 1} = \frac{\sqrt{n + 2}}{n + 1} - 1$

Khi đó ta có:

$u_{n + 1} - u_{n} = \left(\frac{\sqrt{n + 2}}{n + 1} - 1 \right) - \left( \frac{\sqrt{n + 1}}{n} -1 \right)$ $u_{n + 1} - u_{n} = \left(\frac{\sqrt{n + 2}}{n + 1} - 1 \right) - \left( \frac{\sqrt{n + 1}}{n} -1 \right)$

$= \frac{\sqrt{n + 2}}{n + 1} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n} =\frac{n\sqrt{n + 2} - (n + 1)\sqrt{n + 1}}{n(n + 1)}$ $= \frac{\sqrt{n + 2}}{n + 1} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n} =\frac{n\sqrt{n + 2} - (n + 1)\sqrt{n + 1}}{n(n + 1)}$

Giả sử: $u_{n + 1} - u_{n} > 0$ $u_{n + 1} - u_{n} > 0$

$\Leftrightarrow n\sqrt{n + 2} - (n + 1)\sqrt{n + 1} > 0$ $\Leftrightarrow n\sqrt{n + 2} - (n + 1)\sqrt{n + 1} > 0$

$\Leftrightarrow n\sqrt{n + 2} > (n + 1)\sqrt{n + 1}$ $\Leftrightarrow n\sqrt{n + 2} > (n + 1)\sqrt{n + 1}$

$\Leftrightarrow n^{2}(n + 2) > (n +1)^{3}$ $\Leftrightarrow n^{2}(n + 2) > (n +1)^{3}$ $\Leftrightarrow n^{3} + 2n^{2} > n^{3} + 3n^{2} + 3n + 1$ $\Leftrightarrow n^{3} + 2n^{2} > n^{3} + 3n^{2} + 3n + 1$

$\Leftrightarrow n^{2} + 3n + 1 < 0 \Rightarrow$ $\Leftrightarrow n^{2} + 3n + 1 < 0 \Rightarrow$vô lý.

Vậy $u_{n + 1} - u_{n} <0\Rightarrow\left( u_{n} \right)$ $u_{n + 1} - u_{n} <0\Rightarrow\left( u_{n} \right)$ là dãy số giảm.

d) Ta có:

$u_{n} = \frac{1}{n} - 2 \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{1}{n + 1} - 2$ $u_{n} = \frac{1}{n} - 2 \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{1}{n + 1} - 2$

$\Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = \left( \frac{1}{n + 1} - 2 \right) - \left( \frac{1}{n} - 2 \right) = - \frac{1}{n(n + 1)} < 0$ $\Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = \left( \frac{1}{n + 1} - 2 \right) - \left( \frac{1}{n} - 2 \right) = - \frac{1}{n(n + 1)} < 0$

Suy ra $u_{n + 1} < u_{n}$ $u_{n + 1} < u_{n}$. Vậy dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ là dãy số giảm.

e) Ta có:

$u_{n} = \frac{2n + 1}{5n + 2} = \frac{2}{3} + \frac{1}{5(5n + 2)}$ $u_{n} = \frac{2n + 1}{5n + 2} = \frac{2}{3} + \frac{1}{5(5n + 2)}$ $\Rightarrow u_{n + 1} = \frac{2}{5} + \frac{1}{5(5n + 7)}$ $\Rightarrow u_{n + 1} = \frac{2}{5} + \frac{1}{5(5n + 7)}$

Khi đó: $u_{n + 1} - u_{n} = \left( \frac{2}{5} + \frac{1}{5(5n + 7)} \right) - \left( \frac{2}{5} + \frac{1}{5(5n + 2)} \right)$ $u_{n + 1} - u_{n} = \left( \frac{2}{5} + \frac{1}{5(5n + 7)} \right) - \left( \frac{2}{5} + \frac{1}{5(5n + 2)} \right)$

$= - \frac{1}{(5n + 2)(5n + 7)} > 0 \Rightarrow u_{n + 1} < u_{n}$ $= - \frac{1}{(5n + 2)(5n + 7)} > 0 \Rightarrow u_{n + 1} < u_{n}$.

Vậy $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ là dãy số giảm.

f) Ta có:

$u_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 2}}$ $u_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 2}}$

Do $n\mathbb{\in N}*$ $n\mathbb{\in N}*$ nên $\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1} > \sqrt{n + 1} + \sqrt{n}$ $\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1} > \sqrt{n + 1} + \sqrt{n}$

$\Rightarrow u_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}} < u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ $\Rightarrow u_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}} < u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$

$\Rightarrow u_{n + 1} < u_{n} \Rightarrow \left( u_{n} \right)$ $\Rightarrow u_{n + 1} < u_{n} \Rightarrow \left( u_{n} \right)$ là dãy số giảm. $\begin{matrix} \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \\ \end{matrix}$

g) Ta có: $u_{n} = \frac{\sqrt{n + 1} - 1}{n} = \frac{n}{n\left( \sqrt{n + 1} + 1 \right)} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + 1}$ $u_{n} = \frac{\sqrt{n + 1} - 1}{n} = \frac{n}{n\left( \sqrt{n + 1} + 1 \right)} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + 1}$

Khi $n$ tăng thì dễ thấy mẫu số tăng, phân số giảm nên dãy số đã cho là dãy số giảm.

Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ biết: $\left( u_{n} \right) = \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n} = \frac{3u_{n - 1} + 1}{4}\ \forall n \geq 2 \end{matrix} \right.$ $\left( u_{n} \right) = \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n} = \frac{3u_{n - 1} + 1}{4}\ \forall n \geq 2 \end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn giải

Ta dự đoán dãy số giảm sau đó ta sẽ chứng minh nó giảm

Ta có $u_{n} - u_{n - 1} = \frac{3u_{n - 1} + 1}{4} - u_{n - 1} = \frac{1 - u_{n - 1}}{4}$ $u_{n} - u_{n - 1} = \frac{3u_{n - 1} + 1}{4} - u_{n - 1} = \frac{1 - u_{n - 1}}{4}$

Do đó, để chứng minh dãy $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ giảm ta chứng minh $u_{n} > 1\ \forall n \geq 1$ $u_{n} > 1\ \forall n \geq 1$ bằng phương pháp quy nạp toán học.

Thật vậy:

Với $n = 1 \Rightarrow u_{1} = 2 > 1$ $n = 1 \Rightarrow u_{1} = 2 > 1$

Giả sử $u_{k} > 1 \Rightarrow u_{k + 1} = \frac{3u_{k} + 1}{4} > \frac{3 + 1}{4} = 1$ $u_{k} > 1 \Rightarrow u_{k + 1} = \frac{3u_{k} + 1}{4} > \frac{3 + 1}{4} = 1$

Theo nguyên lí quy nạp ta có $u_{n} > 1\ \forall n \geq 1$ $u_{n} > 1\ \forall n \geq 1$

Suy ra $u_{n} - u_{n - 1} < 0 \Leftrightarrow u_{n} < u_{n - 1}\ \ \forall n \geq 2$ $u_{n} - u_{n - 1} < 0 \Leftrightarrow u_{n} < u_{n - 1}\ \ \forall n \geq 2$ hay dãy $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ giảm.

Ví dụ 3. Với giá trị nào của $a$ thì dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$, với $u_{n} = \frac{na + 2}{n + 1}$ $u_{n} = \frac{na + 2}{n + 1}$ là dãy số giảm?

Hướng dẫn giải

Ta có: $u_{n} = \frac{na + 2}{n + 1} = a + \frac{2 - a}{n + 1} \Rightarrow u_{n + 1} = 2 + \frac{2 - a}{n + 2} \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = \frac{a - 2}{(n + 1)(n + 2)}$ $u_{n} = \frac{na + 2}{n + 1} = a + \frac{2 - a}{n + 1} \Rightarrow u_{n + 1} = 2 + \frac{2 - a}{n + 2} \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = \frac{a - 2}{(n + 1)(n + 2)}$.

Để $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ là dãy số giảm thì $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{a - 2}{(n + 1)(n + 2)} < 0 \Leftrightarrow a < 2$ $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{a - 2}{(n + 1)(n + 2)} < 0 \Leftrightarrow a < 2$.

C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 1. Trong các dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ cho bởi số hạng tổng quát $u_{n}$ $u_{n}$ sau, dãy số nào giảm?

A. $u_{n} = \left( \frac{4}{3} \right)^{n}.$ $u_{n} = \left( \frac{4}{3} \right)^{n}.$ B. $u_{n} = ( - 1)^{n}\left( 5^{n} - 1 \right).$ $u_{n} = ( - 1)^{n}\left( 5^{n} - 1 \right).$ C. $u_{n} = - 3^{n}.$ $u_{n} = - 3^{n}.$ D. $u_{n} = \sqrt{n + 4}.$ $u_{n} = \sqrt{n + 4}.$

Bài tập 2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy giảm?

A. $u_{n} = n^{2}$ $u_{n} = n^{2}$. B. $u_{n} = \frac{1}{n} -3$ $u_{n} = \frac{1}{n} -3$. C. $u_{n} = 3n$ $u_{n} = 3n$. D. $u_{n} = n^{3} - 2$ $u_{n} = n^{3} - 2$.

Bài tập 3: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?

A. $u_{n} = \frac{3}{n^{2}}$ $u_{n} = \frac{3}{n^{2}}$. B. $u_{n} = \frac{n - 3}{n + 1}$ $u_{n} = \frac{n - 3}{n + 1}$. C. $u_{n} = \frac{n}{2}$ $u_{n} = \frac{n}{2}$. D. $u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{3^n}$ $u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{3^n}$.

Bài tập 4. Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?

A. $u_{n} = \frac{5 - 3n}{2n + 3},n \in \mathbb{N}^{*}$ $u_{n} = \frac{5 - 3n}{2n + 3},n \in \mathbb{N}^{*}$. B. $u_{n} = \frac{n - 5}{4n + 1},n \in \mathbb{N}^{*}$ $u_{n} = \frac{n - 5}{4n + 1},n \in \mathbb{N}^{*}$.

C. $u_{n} = 2n^{2} + 3,n \in \mathbb{N}^{*}$ $u_{n} = 2n^{2} + 3,n \in \mathbb{N}^{*}$. D. $u_{n} = \cos(2n + 1),n \in \mathbb{N}^{*}$ $u_{n} = \cos(2n + 1),n \in \mathbb{N}^{*}$.

Bài tập 5. Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?

A. $u_{n} = \frac{5 - 3n}{2n + 3},\ \left( n\mathbb{\in N}* \right)$ $u_{n} = \frac{5 - 3n}{2n + 3},\ \left( n\mathbb{\in N}* \right)$. B. $u_{n} = \frac{n - 5}{4n + 1},\ \left( n\mathbb{\in N}* \right)$ $u_{n} = \frac{n - 5}{4n + 1},\ \left( n\mathbb{\in N}* \right)$.

C. $u_{n} = 2n^{3} + 3,\ \left( n\mathbb{\in N}* \right)$ $u_{n} = 2n^{3} + 3,\ \left( n\mathbb{\in N}* \right)$. D. $u_{n} = \cos(2n + 1),\ \left( n\mathbb{\in N}* \right)$ $u_{n} = \cos(2n + 1),\ \left( n\mathbb{\in N}* \right)$.

📄 Do dung lượng nội dung lớn, tài liệu chi tiết được cung cấp dưới dạng file tải về.

--------------------------------------------------------

Hiểu rõ cách chứng minh dãy số giảm không chỉ giúp giải đúng bài toán mà còn nâng cao tư duy logic khi làm việc với dãy số. Khi nắm vững các dạng chứng minh dãy số giảm thường gặp, người học sẽ tự tin xử lý các bài toán từ cơ bản đến nâng cao, phục vụ hiệu quả cho học tập và ôn luyện.

Tải về

Chọn file muốn tải về: