Xác định số hạng tổng quát của dãy số (Nâng cao)
Tìm số hạng tổng quát dãy số Toán 11
Trong chương Dãy số – Toán 11, dạng xác định số hạng tổng quát của dãy số ở mức nâng cao luôn là thử thách lớn đối với học sinh. Không chỉ dừng lại ở việc nhận dạng quy luật, dạng toán này còn đòi hỏi khả năng suy luận chặt chẽ, biến đổi linh hoạt và vận dụng nhiều phương pháp khác nhau.
A. Bài tập minh họa xác định số hạng tổng quát của dãy số
Ví dụ 1. Cho dãy số 
\(\left( u_{n}
\right)\) xác định bởi: \(\left\{
\begin{matrix}
u_{1} = 11 \\
u_{n + 1} = 10u_{n} + 1 - 9n,\forall n \in N
\end{matrix} \right.\). Xác định số hạng tổng quát của dãy đã cho.
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(u_{1} = 11 = 10 + 1\)
\(u_{2} = 10.11 + 1 - 9 = 102 = 100 +
2\)
\(u_{3} = 10.102 + 1 - 9.2 = 1003 = 1000 +
3\)
Dự đoán: \(u_{n} = 10^{n} + n\
(1)\).
Chứng minh theo quy nạp ta có.
\(u_{1} = 11 = 10^{1} + 1\), công thức \((1)\) đúng với \(n = 1\). Giả sử công thức \((1)\) đúng với \(n = k\) ta có \(u_{k} = 10^{k} + k\).
Ta có: \(u_{k\ + \ 1} = 10\left( 10^{k} +
k \right) + 1 - 9k = 10^{k + 1} + (k + 1)\).
Công thức \((1)\) đúng với \(n = k + 1\).
Vậy\(u_{n} = 10^{n} + n\), \(\forall n \in N.\).
Ví dụ 2. Cho dãy số\((u_{n})\) biết \(\left\{ \begin{matrix}
u_{1} = - 2 \\
u_{n} = 3u_{n - 1} - 1,\forall n \geq 2
\end{matrix} \right.\). Xác định số hạng tổng quát của dãy.
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(u_{n} = 3u_{n - 1} - 1 \Leftrightarrow
u_{n} - \frac{1}{2} = 3u_{n - 1} - \frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow u_{n} - \frac{1}{2} =
3(u_{n - 1} - \frac{1}{2})(1)\).
Đặt \(v_{n} = u_{n} - \frac{1}{2}
\Rightarrow v_{1} = u_{1} - \frac{1}{2} = \frac{- 5}{2}\).
\((1) \Rightarrow v_{n} = 3v_{n -
1},\forall n \geq 2\).
Dãy \((v_{n})\ là\)cấp số nhân với công bội là \(q = 3\).
Nên \(v_{n} = v_{1}.q^{n - 1} = \frac{-
5}{2}.3^{n - 1}\).
Do đó \(u_{n} = v_{n} + \frac{1}{2} =
\frac{- 5}{2}3^{n - 1} + \frac{1}{2},\forall n = 1,2,...\).
Ví dụ 3. Cho dãy số \(\left( u_{n}
\right)\)xác định bởi\(u_{1} = 1;u_{n +
1} = \frac{3}{2}\left( u_{n} - \frac{n + 4}{n^{2} + 3n + 2}
\right),\forall n \in \mathbb{N}^{*}\). Tìm công thức số hạng tổng quát \(u_{n}\) của dãy số theo \(n\).
Hướng dẫn giải
Với mọi \(n \in \mathbb{N}^{*}\), ta có.
\(2u_{n + 1} = 3\left( u_{n} - \frac{n +
4}{(n + 1)(n + 2)} \right)\)
\(\Leftrightarrow 2u_{n + 1} = 3(u_{n} +
\frac{2}{n + 2} - \frac{3}{n + 1})\).
\(\Leftrightarrow 2\left( u_{n + 1} -
\frac{3}{n + 2} \right) = 3\left( u_{n} - \frac{3}{n + 1}
\right)\)
\(\Leftrightarrow u_{n + 1} - \frac{3}{n +
2} = \frac{3}{2}(u_{n} - \frac{3}{n + 1}).\).
Dãy số \((v_{n}),v_{n} = u_{n} - \frac{3}{n
+ 1}\) là cấp số nhân có công bội \(q =
\frac{3}{2}\) và\(v_{1} = -
\frac{1}{2}\).
\(v_{n} = \left( \frac{3}{2} \right)^{n -
1}.\left( - \frac{1}{2} \right),\forall n \in
\mathbb{N}^{*}\)
\(\Rightarrow u_{n} = \frac{3}{n + 1} -
\frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right)^{n - 1},\forall n \in
\mathbb{N}^{*}\).
C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết
Bài tập 1. Cho hàm số \(f:Z^{+} \rightarrow
Z^{+}\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
(1) \(f(n + 1) > f(n)\), \(\forall n \in Z^{+}.\).
(2) \(f\left\lbrack f(n) \right\rbrack >
n + 2000\), \(\forall n \in
Z^{+}.\).
a) Chứng minh: \(f(n + 1) = f(n)\), \(\forall n \in Z^{+}.\).
b) Tìm biểu thức \(f(n)\).
Bài tập 2. a) Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125.
b) Cho dãy số \(\left( u_{n}
\right)\) có \(\left\{ \begin{matrix}
u_{1} = 16 \\
u_{n + 1} + 14 = \frac{15\left( n.u_{n} + 1 \right)}{n + 1},\ \ \forall
n \geq 1
\end{matrix} \right.\). Tìm số hạng tổng quát \(u_{n}\).
Bài tập 3. Cho dãy số \((u_{n})\) xác định như sau \(\left\{ \begin{matrix}
u_{1} = 1;\ u_{2} = 2 \\
u_{n + 1} = \frac{3}{2}u_{n} - \frac{1}{2}u_{n - 1}\ \ \ \forall n \geq
2
\end{matrix} \right.\).
a) Xác định số hạng tổng quát \(u_{n}\).
b) Tính \(\underset{n \rightarrow +
\infty}{\lim u_{n}}\).
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
----------------------------------------------------
Việc thành thạo cách xác định số hạng tổng quát của dãy số nâng cao sẽ giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán khó trong chương trình Toán 11 cũng như tạo nền tảng vững chắc cho các chuyên đề tiếp theo. Thông qua hệ thống bài tập có đáp án, người học sẽ rèn luyện tư duy phát hiện quy luật và nâng cao kỹ năng giải toán.
