Cách giải hệ phương trình Logarit
Giải hệ phương trình Logarit - Có đáp án
A. Phương trình Logarit
- Phương trình dạng
\(log_{a}x = b\), trong đó \(a,b\) là những số cho trước, \(a > 0\), \(a \neq 1\) - Phương trình \(log_{a}x = b\) \((a > 0,a \neq 1)\) luôn có nghiệm duy nhất \(x = a^{b}\).
B. Bài tập minh họa giải hệ phương trình Logarit
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình \(\left\{
\begin{matrix}
\log x - \log y = 2 \\
x - 10y = 900
\end{matrix} \right.\ .\)
A. \(\left\{ \begin{matrix}
x = 100 \\
y = 10
\end{matrix} \right.\). B. \(\left\{
\begin{matrix}
x = 1800 \\
y = 900
\end{matrix} \right.\). C. \(\left\{
\begin{matrix}
x = 1000 \\
y = 10
\end{matrix} \right.\). D. \(\left\{
\begin{matrix}
x = 10 \\
y = 1000
\end{matrix} \right.\).
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(x,y > 0\). Hệ phương trình tương đương với
\(\left\{ \begin{matrix}
\log\frac{x}{y} = 2 \\
x - 10y = 900
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\frac{x}{y} = 100 \\
x - 10y = 900
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 100y = 0 \\
x - 10y = 900
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1000 \\
y = 10
\end{matrix} \right.\ .\) Chọn C.
Ví dụ 2. Gọi \(\left( x_{0};y_{0}
\right)\) là một nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{matrix}x + y = 25 \\\log_{2}x - \log_{2}y = 2\end{matrix} \right.\ .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(x_{0} = 4y_{0}.\) B. \(x_{0} = 4 + y_{0}.\) C. \(y_{0} = 4x_{0}.\) D. \(y_{0} = 4 + x_{0}.\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(\left\{ \begin{matrix}
x > 0 \\
y > 0
\end{matrix} \right.\). Hệ phương trình tương đương với
\(\left\{ \begin{matrix}
x + y = 25 \\
log_{2}\frac{x}{y} = 2
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x + y = 25 \\
\frac{x}{y} = 4
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x + y = 25 \\
x - 4y = 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 20 = x_{0} \\
y = 5 = y_{0}
\end{matrix} \right.\ \overset{}{\rightarrow}x_{0} = 4y_{0}\). Chọn A.
Ví dụ 3. Cặp số \((x;y)\) nào sau đây thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} \log_{4}x + \log_{4}2y = 1 + \log_{4}9 \\x + 2y = 20\end{matrix} \right.\)?
A. \((x;y) = (9;2)\). B. \((x;y) = (18;1)\). C. \((x;y) = (1;18)\). D. \((x;y) = (16;2)\).
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(\left\{ \begin{matrix}
x > 0 \\
y > 0
\end{matrix} \right.\). Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{matrix}\log_{4}(2xy) = \log_{4}36 \\x + 2y = 20\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2xy = 36 \\
x + 2y = 20
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
xy = 18 \\
x = 20 - 2y
\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2y^{2} - 20y + 18 = 0 \\
x = 20 - 2y
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left\lbrack \begin{matrix}
y = 1 \\
y = 9
\end{matrix} \right.\ \\
x = 20 - 2y
\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
y = 1;\ \ x = 18 \\
y = 9;\ \ x = 2
\end{matrix} \right.\ .\)
Chọn B.
Cách 2. Dùng CASIO thử từng đáp án.
------------------------------------------------
Qua các phương pháp và ví dụ đã được phân tích trong bài viết, bạn có thể tự tin áp dụng các kỹ thuật giải hệ phương trình Logarit trong chương trình Toán lớp 11. Việc luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau sẽ giúp bạn cải thiện tốc độ làm bài và nâng cao tư duy xử lý phương trình logarit. Tiếp tục mở rộng kiến thức ở các chuyên đề liên quan sẽ giúp bạn học tốt hơn và đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra.
