VnDoc.com

Tìm m để bất phương trình logarit nghiệm đúng với mọi x thuộc R

Bất phương trình Logarit chứa tham số có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tìm tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

A. Cách tìm m để BPT logrit nghiệm đúng với mọi x thuộc tập số thực
B. Ví dụ minh họa tìm tham số để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Trong chuyên đề bất phương trình logarit chứa tham số, dạng toán tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc R là một dạng bài quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi và đề thi THPT Quốc gia. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ điều kiện xác định của logarit, phân tích cách tìm tham số m sao cho bất phương trình luôn đúng, đồng thời cung cấp ví dụ minh họa chi tiết và lời giải chuẩn để bạn dễ dàng nắm vững kiến thức và ứng dụng hiệu quả trong thực tế làm bài.

A. Cách tìm m để BPT logrit nghiệm đúng với mọi x thuộc tập số thực

Phương pháp giải toán:

Bước 1. Tách tham số $m$ ra khỏi $x$ và đưa BPT về dạng $A(m) \leq f(x)$ $A(m) \leq f(x)$ hoặc $A(m) \geq f(x)$ $A(m) \geq f(x)$.
Bước 2. Khảo sát sự biến thiên và dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình có nghiệm.

Chú ý: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $D$. Trong trường hợp tồn tại $\max_{x \in D}f(x)$ $\max_{x \in D}f(x)$ và $\min_{x \in D}f(x)$ $\min_{x \in D}f(x)$ thì ta có:

Bất phương trình $A(m) \leq f(x)$ $A(m) \leq f(x)$ nghiệm đúng $\forall x \in D \Leftrightarrow A(m) \leq \min_{x \in D}f(x)$ $\forall x \in D \Leftrightarrow A(m) \leq \min_{x \in D}f(x)$.
Bất phương trình $A(m) \geq f(x)$ $A(m) \geq f(x)$ nghiệm đúng $\forall x \in D \Leftrightarrow A(m) \geq \max_{x \in D}f(x)$ $\forall x \in D \Leftrightarrow A(m) \geq \max_{x \in D}f(x)$.

Nếu $f(x) = ax^{2} + bx + c\ \ (a \neq 0)$ $f(x) = ax^{2} + bx + c\ \ (a \neq 0)$ thì:

$f(x) \geq 0,\ \forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta \leq 0 \end{matrix} \right.$ $f(x) \geq 0,\ \forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta \leq 0 \end{matrix} \right.$. $f(x) \leq 0,\ \forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ \Delta \leq 0 \end{matrix} \right.$ $f(x) \leq 0,\ \forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ \Delta \leq 0 \end{matrix} \right.$.

B. Ví dụ minh họa tìm tham số để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình $\log_{2}(7x^{2} + 7) \geq \log_{2}(mx^{2} + 4x +m)$ $\log_{2}(7x^{2} + 7) \geq \log_{2}(mx^{2} + 4x +m)$ nghiệm đúng với mọi giá trị thực của $x$?

Hướng dẫn giải

Yêu cầu bài toán được thỏa mãn $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} mx^{2} + 4x + m > 0,\forall x\mathbb{\in R} \\ 7x^{2} + 7 \geq mx^{2} + 4x + m,\forall x\mathbb{\in R} \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} mx^{2} + 4x + m > 0,\forall x\mathbb{\in R} \\ 7x^{2} + 7 \geq mx^{2} + 4x + m,\forall x\mathbb{\in R} \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{matrix} f(x) = mx^{2} + 4x + m > 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }(*) \\ g(x) = (7 - m)x^{2} - 4x + 7 - m \geq 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R\ \ \ \ \ }(**) \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} f(x) = mx^{2} + 4x + m > 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }(*) \\ g(x) = (7 - m)x^{2} - 4x + 7 - m \geq 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R\ \ \ \ \ }(**) \end{matrix} \right.$.

Ta thấy $m = 0$; $m = 7$ không thỏa mãn điều kiện đề bài.

Với $m \neq 0$ $m \neq 0$ và $m \neq 7$ $m \neq 7$. Khi đó ta có:

$(*)$ $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ \Delta$ $\left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ \Delta' = 4 - m^{2} < 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m < - 2 \\ m > 2 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m < - 2 \\ m > 2 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ $m > 2$. (1)

$(**)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 7 - m > 0 \\ \Delta$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 7 - m > 0 \\ \Delta' = 4 - (7 - m)^{2} \leq 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 7 \\ - m^{2} + 14m - 45 \leq 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 7 \\ - m^{2} + 14m - 45 \leq 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 7 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \leq 5 \\ m \geq 9 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 7 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \leq 5 \\ m \geq 9 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m \leq 5$ $\Leftrightarrow m \leq 5$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $2 < m \leq 5$ $2 < m \leq 5$.

Do $m\mathbb{\in Z}$ $m\mathbb{\in Z}$ nên $m \in \left\{ 3;4;5 \right\}$ $m \in \left\{ 3;4;5 \right\}$.

Ví dụ 2. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc $\lbrack - 100;100\rbrack$ $\lbrack - 100;100\rbrack$ của tham số $m$để bất phương trình $\log_{0,02}\left( \log_{2}\left( 3^{x} + 1 \right)\right) > \log_{0,02}m$ $\log_{0,02}\left( \log_{2}\left( 3^{x} + 1 \right)\right) > \log_{0,02}m$ nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc khoảng $( - \infty;0)$ $( - \infty;0)$?

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix}\log_{2}\left( 3^{x} + 1 \right) > 0 \\m > 0\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m > 0$ $\left\{ \begin{matrix}\log_{2}\left( 3^{x} + 1 \right) > 0 \\m > 0\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m > 0$.

Ta có:

$\log_{0,02}\left( \log_{2}\left(3^{x} + 1 \right) \right) > \log_{0,02}m$ $\log_{0,02}\left( \log_{2}\left(3^{x} + 1 \right) \right) > \log_{0,02}m$

$\Leftrightarrow \log_{2}\left(3^{x} + 1 \right) < m$ $\Leftrightarrow \log_{2}\left(3^{x} + 1 \right) < m$.

Xét hàm số $f(x) = \log_{2}\left( 3^{x} + 1\right)$ $f(x) = \log_{2}\left( 3^{x} + 1\right)$.

Ta có $f'(x) = \frac{3^{x}.\ln3}{\left(3^{x} + 1 \right).\ln2} > 0\ \ \forall x\mathbb{\in R}$.

Suy ra hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.

Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $( - \infty;0)$ $( - \infty;0)$ khi $m \geq 1.$ $m \geq 1.$

Do $m$ nguyên và thuộc đoạn $\lbrack - 100;100\rbrack$ $\lbrack - 100;100\rbrack$ nên $m \in \left\{ 1;2;3;4;.....;100 \right\}$ $m \in \left\{ 1;2;3;4;.....;100 \right\}$.

Ví dụ 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình $\sqrt{\log_{2}^{2}2x - 4} > m\left( \log_{8}x^{3}- 1 \right)$ $\sqrt{\log_{2}^{2}2x - 4} > m\left( \log_{8}x^{3}- 1 \right)$ có nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $(16; + \infty)$ $(16; + \infty)$?

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: $\left\{\begin{matrix}x > 0 \\\log_{2}^{2}2x - 4 \geq 0\end{matrix} \right.$ $\left\{\begin{matrix}x > 0 \\\log_{2}^{2}2x - 4 \geq 0\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x > 0 \\\log_{2}^{2}x + 2\log_{2}x - 3 \geq 0\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x > 0 \\\log_{2}^{2}x + 2\log_{2}x - 3 \geq 0\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} {\log _2}x \geqslant 1 \hfill \\ {\log _2}x \leqslant - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 0 < x \leqslant \frac{1}{8} \hfill \\ x \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} {\log _2}x \geqslant 1 \hfill \\ {\log _2}x \leqslant - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 0 < x \leqslant \frac{1}{8} \hfill \\ x \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.

Ta có:

$\sqrt{\log_{2}^{2}2x - 4} > m\left(\log_{8}x^{3} - 1 \right)$ $\sqrt{\log_{2}^{2}2x - 4} > m\left(\log_{8}x^{3} - 1 \right)$

$\Leftrightarrow \sqrt{\log_{2}^{2}x +2\log_{2}x - 3} > m\left( \log_{2}x - 1 \right)\ \ \ (*)$ $\Leftrightarrow \sqrt{\log_{2}^{2}x +2\log_{2}x - 3} > m\left( \log_{2}x - 1 \right)\ \ \ (*)$.

Do $x \in (16; + \infty)$ $x \in (16; + \infty)$ nên $\log_{2}x > 4 \Rightarrow \log_{2}x - 1> 0$ $\log_{2}x > 4 \Rightarrow \log_{2}x - 1> 0$

Suy ra $(*) \Leftrightarrow\frac{\sqrt{\log_{2}^{2}x + 2\log_{2}x - 3}}{\log_{2}x - 1} >m$ $(*) \Leftrightarrow\frac{\sqrt{\log_{2}^{2}x + 2\log_{2}x - 3}}{\log_{2}x - 1} >m$.

Đặt $t = log_{2}x$ $t = log_{2}x$. Do $x \in (16; + \infty)$ $x \in (16; + \infty)$ nên $t \in (4; + \infty)$ $t \in (4; + \infty)$.

Bất phương trình $(*)$ trở thành $\frac{\sqrt{t^{2} + 2t - 3}}{t - 1} > m\ \ \forall t \in (4; + \infty)$ $\frac{\sqrt{t^{2} + 2t - 3}}{t - 1} > m\ \ \forall t \in (4; + \infty)$.

Xét hàm $f(t) = \frac{\sqrt{t^{2} + 2t - 3}}{t - 1}$ $f(t) = \frac{\sqrt{t^{2} + 2t - 3}}{t - 1}$ với $t \in (4; + \infty)$ $t \in (4; + \infty)$.

Ta có $f'(t) = \frac{2 - 2t}{\sqrt{t^{2} + 2t - 3}.(t - 1)^{2}} < 0,\ \forall t \in (4; + \infty)$.

Suy ra hàm số $f(t)$ nghịch biến trên khoảng $(4; + \infty)$ $(4; + \infty)$.

Bảng biến thiên của hàm $f(t)$ như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $(16; + \infty)$ $(16; + \infty)$ khi $m \leq 1$ $m \leq 1$.

Do $m \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow m = 1$ $m \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow m = 1$.

C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Bài tập 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình $1 + \log_{3}\left( x^{2} + 1 \right)\geq \log_{3}\left( mx^{2} + 2x + m \right)$ $1 + \log_{3}\left( x^{2} + 1 \right)\geq \log_{3}\left( mx^{2} + 2x + m \right)$ có nghiệm đúng với mọi số thực x?

Bài tập 2. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $( - 2021\ ;\ 2021)$ $( - 2021\ ;\ 2021)$ sao cho bất phương trình $1 + \log_{3}\left( x^{3} +x^{2} - 3x + m \right) \geq \log_{3}\left( 3x^{2} + 1 \right)$ $1 + \log_{3}\left( x^{3} +x^{2} - 3x + m \right) \geq \log_{3}\left( 3x^{2} + 1 \right)$ nghiệm đúng với mọi $x$ trên đoạn $\lbrack 0;3\rbrack$ $\lbrack 0;3\rbrack$. Tính số phần tử của tập hợp $S$.

Bài tập 3. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $( - 2021\ ;\ 2021)$ $( - 2021\ ;\ 2021)$ sao cho bất phương trình $3\log_{2}^{2}2x - 12\log_{2}x- 1 - m \geq 0$ $3\log_{2}^{2}2x - 12\log_{2}x- 1 - m \geq 0$ nghiệm đúng với mọi $x$ trên khoảng $\left( \sqrt{2}; + \infty \right)$ $\left( \sqrt{2}; + \infty \right)$. Tính số phần tử của tập hợp $S$.

Bài tập 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $\log_{2}\left( x^{2} + mx + m + 2 \right) \geq\log_{2}\left( x^{2} + 2 \right)$ $\log_{2}\left( x^{2} + mx + m + 2 \right) \geq\log_{2}\left( x^{2} + 2 \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\mathbb{\in R}$ $x\mathbb{\in R}$?

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

-----------------------------------------------------------------

Qua bài viết này, bạn đã nắm được phương pháp tìm m để bất phương trình logarit nghiệm đúng với mọi x thuộc R, hiểu rõ bản chất của logarit và cách xử lý tham số trong bất phương trình. Hãy luyện tập thêm các dạng bài logarit có tham số khác để củng cố tư duy và nâng cao kỹ năng giải nhanh, giúp đạt kết quả cao trong các kỳ thi quan trọng.

Tải về

Chọn file muốn tải về: