Phép Vị Tự Toán 11: Lý Thuyết, Công Thức và Ví Dụ Minh Họa

A. Tóm tắt kiến thức về Phép vị tự

Định nghĩa Phép vị tự

Cho điểm \(O\) và số thực \(k \neq 0\). Phép biến hình biến mỗi điểm \(M\) thành điểm \(M'\) sao cho \(\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}\) được gọi là phép vị tự tâm \(O\), tỉ số \(k\). Kí hiệu là \(V_{(O;k)}\). Điểm \(O\) gọi là tâm vị tự, \(k\) gọi là tỉ số vị tự.

Biểu thức tọa độ phép vị tự

Cho \(I\left( x_{0};y_{0} \right)\) và phép vị tự \(V_{(I;k)}\)

Tính chất của phép vị tự

Từ tính chất trên, người ta chứng minh được rằng, phép vị tự tâm O, tỉ số k:

• Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó.

• Biến đoạn thẳng (độ dài \(a\)) thành đoạn thẳng (độ dài \(k|a|\)).

• Biến đường tròn (bán kính \(R\)) thành đường tròn (bán kính \(k|R|\)) với tâm là ảnh của tâm.

• Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó (Tỉ số đồng dạng là \(|k|\)).

• Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đó.

B. Các dạng bài tập thường gặp về Phép vị tự

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:2x + y - 4 = 0\).

a. Viết phương trình của đường thẳng \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k = 3\).

b. Viết phương trình đường thẳng \(d''\) là ảnh của \(d\) qua phép vị tự tâm \(I( - 1;2)\) tỉ số \(k = - 2\).

Hướng dẫn giải

a) Gọi \(M(x;y)\) là một điểm bất kỳ thuộc \(d\) và \(M'(x';y')\) là ảnh của \(M\) qua phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k = 3\). Nếu \(M\) chạy trên \(d\) thì \(M'\) chạy trên đường thảng \(d'\).

Theo tính chất của phép vị tự:

\(\overrightarrow{OM'} =3\overrightarrow{OM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x' = 3x \\y' = 3y\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{x'}{3} \\y = \dfrac{y'}{3}\end{matrix} \right.\).

Thay \((x;y)\) vào \(d:2\left( \frac{x'}{3} \right) + \left( \frac{y'}{3} \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow 2x' + y' - 12 = 0\).

Vậy \(d':2x + y - 12 = 0\).

b) Tương tự như trên ta có:

\(\overrightarrow{IM'} = - 2\overrightarrow{IM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x' + 1 = - 2(x + 1) \\ y' - 2 = - 2(y - 2) \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \left( \dfrac{x' + 1}{- 2} \right) - 1 = \dfrac{x' + 3}{- 2}\\y = \left( \dfrac{y' - 2}{- 2} \right) + 2 = \dfrac{y' - 6}{- 2}\end{matrix} \right.\).

Thay vào \(d:2\left( \frac{x' + 3}{- 2} \right) + \left( \frac{y' - 6}{- 2} \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow 2x' + y' + 2 = 0\)

Do đó \(d'':2x + y + 2 = 0\).

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(d:3x + 2y - 6 = 0\). Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm \(I(1;2)\) tỉ số vị tự \(k = - 2\)?

Hướng dẫn giải

Gọi \(M(x;y)\) thuộc d, \(M’(x’;y’)\) là một điểm bát kỳ thuộc d’ thì theo biểu thức tọa độ của phép vị tự ta có:

\(\left\{ \begin{matrix}x' - 1 = - 2(x - 1) \\y' - 2 = - 2(y - 2)\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{x' - 1}{- 2} + 1 = \dfrac{x' - 3}{- 2} \\y = \dfrac{y' - 2}{- 2} + 2 = \dfrac{y' - 6}{- 2}\end{matrix} \right.\).

Thay vào phương trình của đường thẳng d: \(3\left( \frac{x' - 3}{- 2} \right) + 2\left( \frac{y' - 6}{- 2} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow 3x' + 2y' - 9 = 0\)

Do vậy \(d’:3x + 2y - 9 = 0\)

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

-----------------------------------------------------

Hy vọng các phần lý thuyết, công thức và ví dụ minh họa về phép vị tự Toán 11 trong bài viết đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phép biến hình quan trọng này. Việc ôn luyện thường xuyên sẽ giúp bạn dễ dàng áp dụng vào bài tập và đạt kết quả tốt trong kiểm tra. Hãy tiếp tục theo dõi các chủ đề Toán lớp 11 khác để bổ sung thêm tài liệu chất lượng, phục vụ quá trình học tập hiệu quả và bền vững.