Tìm ảnh, tạo ảnh của một điểm qua phép dời hình

Trong chương trình Bài tập Toán 11 có đáp án, việc tìm ảnh và tạo ảnh của một điểm qua phép dời hình là kỹ năng quan trọng giúp học sinh nắm vững bản chất của các phép biến hình như tịnh tiến, đối xứng và quay. Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết, ví dụ minh họa dễ hiểu và phương pháp xác định vị trí điểm sau phép dời hình, giúp bạn chủ động luyện tập và áp dụng hiệu quả trong bài kiểm tra.

A. Phương pháp tìm ảnh (tạo ảnh) của 1 điểm qua phép dời hình

1. Tìm ảnh của điểm M

Phương pháp:

Cách 1: Dựa vào hình vẽ trực quan (trong hệ trục toạ độ)

Cách 2: Dựa vào biểu thức toạ độ (ưu tiên dùng)

• Phép quay: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho \(M(x;y),M'(x';y'),I(a;b)\) và \(Q_{(I,\ \alpha)}(M) = M'\).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{matrix} x' - a = (x - a)\cos\alpha - (y - b)\sin\alpha \\ y' - b = (x - a)\sin\alpha + (y - b)\cos\alpha \end{matrix} \right.\)

• Phép tịnh tiến: \(M(x;y)\overset{T_{\overrightarrow{u}}}{\rightarrow}M' = T_{\overrightarrow{u}}(M) = (x';y')\) thì \(\left\{ \begin{matrix} \ x' = \ x\ + \ a \\ \ y' = \ y\ + \ b \end{matrix} \right.\ \\) với \(\overrightarrow{u}(a;b)\)

2. Tìm tạo ảnh của điểm M

Phương pháp: Dựa vào biểu thức toạ độ

Chú ý: Với phép quay ta có : \(Q_{(I,\ \alpha)}(N) = M \Leftrightarrow Q_{(I,\ - \alpha)}(M) = N\)

B. Bài tập minh họa tìm ảnh (tạo ảnh) của điểm qua phép dời hình

Bài tập 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ\((Oxy)\) phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}(1;3)\) biến điểm \(M( - 3;1)\) thành điểm \(M'\) có tọa độ là:

Hướng dẫn giải

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là \(\left\{ \begin{matrix} x' = x + 1 \\ y' = y + 3 \end{matrix} \right.\) nên \(\left\{ \begin{matrix} x' = - 2 \\ y' = 4 \end{matrix} \right.\)

Bài tập 2: Trong mp \((Oxy)\) cho phép dời hình:

\(f_{1}:M(x;y)\ \rightarrow M'\ = \ f_{1}(M)\ = \ (x\ + \ 2\ ;\ y - 4)\)

\(f_{2}:M(x;y)\ \rightarrow \ M'\ = f_{2}(M) = ( - x; - y)\)

Tìm tọa độ ảnh \(A(4; - 1)\) qua \(f_{1}\) rồi \(f_{2}\)?

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A(4; - 1)\overset{f_{1}}{\rightarrow}A'(6; - 5)\ \overset{f_{2}}{\rightarrow}A''( - 6;5)\)

Bài tập 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \((Oxy)\), cho điểm \(E(4;5)\). Tìm tạo ảnh của điểm \(E\) qua phép dời hình \(\left\{ \begin{matrix} x' = x + 2 \\ y' = y + 1 \end{matrix} \right.\) ?

Hướng dẫn giải

Theo biểu thức tọa độ :

\(\left\{ \begin{matrix} x' = x + 2 \\ y' = y + 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4 = 2 + x_{A} \\ 5 = 1 + y_{A}\ \ \end{matrix} \right.\ \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{A} = 2 \\ y_{A} = 4 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow A(2;4)\) là tạo ảnh của \(E\).

Bài tập 4: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm\(M(1;2)\). Tìm toạ độ điểm \(N\) sao cho điểm \(M\) là ảnh của \(N\) qua phép quay tâm \(I(2;\ 4)\), góc quay \(90^{\circ}\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(Q_{\left( I,\ \ 90^{0} \right)}(N) = M \Leftrightarrow Q_{\left( I,\ \ - 90^{0} \right)}(M) = N\) nên \(\left\{ \begin{matrix} x_{N} - 2 = y_{M} - 4 \\ y_{N} - 4 = - \left( x_{M} - 2 \right) \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{N} = 0 \\ y_{N} = 5 \end{matrix} \right.\).

Vậy \(M(0;5).\)

----------------------------------------------

Qua bài viết, mong rằng bạn đã nắm chắc cách xác định ảnh của một điểm qua các phép dời hình và hiểu rõ quy trình dựng ảnh theo từng bước. Kỹ năng này sẽ hỗ trợ bạn giải nhanh nhiều dạng bài thuộc chuyên đề biến hình. Hãy tiếp tục khám phá thêm các nội dung trong mục Bài tập Toán 11 có đáp án để củng cố kiến thức toàn diện và đạt kết quả cao hơn.