Chứng minh phép biến hình là phép dời hình
Phép biến hình và phép dời hình Toán 11
A. Cách chứng minh phép biến hình là phép dời hình
Để chứng minh một phép biến hình là phép dời hình thì cần nắm chắc tính chất “bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ”.
Tức là phải chỉ rõ 
\(\forall
M,N:\left\{ \begin{matrix}
F(M) = M' \\
F(N) = N'
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow M'N' = MN\)
B. Bài tập minh họa phép biến hình. phép dời hình
Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ \((Oxy)\) phép biến hình nào sau đây là phép dời hình?
a) Phép biến hình \(F_{1}\) biến mỗi điểm \(M(x;y)\) thành điểm \(M'(y; - x)\)
b) Phép biến hình \(F_{2}\) biến mỗi điểm \(M(x;y)\) thành điểm \(M'(2x;y)\)
Hướng dẫn giải
Lấy hai điểm \(M\left( x_{1};y_{1}
\right),N\left( x_{2};y_{2} \right)\), ta có: \(MN = \sqrt{\left( x_{2} - x_{1} \right)^{2} +
\left( y_{2} - y_{1} \right)^{2}}\)
a) Ảnh của \(M,N\) qua phép biến hình \(F_{1}\) lần lượt được \(M'\left( y_{1}; - x_{1} \right),N'\left(
y_{2}; - x_{2} \right)\)
Ta có: \(M'N' = \sqrt{\left( y_{2}
- y_{1} \right)^{2} + \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}} =
MN\)
Vậy phép biến hình \(F_{1}\) là phép dời hình.
b) Tương tự, xét ảnh của \(M,N\)qua phép biến hình \(F_{2}\) lần lượt được \(M'\left( 2x_{1};y_{1} \right),N'\left(
2x_{2};y_{2} \right)\).
Ta có: \(M'N' = \sqrt{2\left( x_{1}
- x_{2} \right)^{2} + \left( y_{2} - y_{1} \right)^{2}}\)
Để ý rằng, nếu \(x_{1} \neq x_{2}\) thì \(M^{/}N^{/} \neq MN\).
Kết luận: Phép biến hình \(F_{2}\) không là phép dời hình (vì có một số điểm không bảo toàn khoảng cách).
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho phép biến hình \(f:M(x;y) \rightarrow \ M'
= f(M) = (3x;y)\). Hỏi \(f\) có phải phép dời hình hay không?
Hướng dẫn giải
Lấy hai điểm bất kì \(M(x_{1};y_{1}),N(x_{2};y_{2})\)
Khi đó:
\(f:M(x_{1};y_{1}) \rightarrow \ M' =
f(M) = \left( 3x_{1};y_{1} \right)\)
\(f:N(x_{2};y_{2}) \rightarrow \ N' =
f(N) = \left( 3x_{2};y_{2} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
MN = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}\ \\
M'N' = \sqrt{9(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}
\end{matrix} \right.\)
Nếu \(x_{1} \neq x_{2}\) thì \(M'N' \neq MN\)
Vậy f không phải là phép dời hình (vì có 1 số điểm không bảo toàn khoảng cách)
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho hai phép biến hình
a) \(\ f:M(x;y)\ \rightarrow M' = \
f(M) = (y;x - 2)\)
b) \(\ g:M(x;y) \rightarrow M' = g(M) =
(2x;y + 1)\)
Phép biến hình nào là phép dời hình?
Hướng dẫn giải
a) \(f\) là phép dời hình
b) \(g\) không phải là phép dời hình (vì \(x_{1} \neq x_{2}\) thì \(M'N' \neq MN\))
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho hai phép biến hình
a) \(f:M(x;y) \rightarrow M' = f(M) =
(y + 1\ ; - x)\ \ \ \ \ \\)
b) \(g:M(x;y) \rightarrow M' = g(M) =
(x;3y)\)
Phép biến hình nào là phép dời hình?
Hướng dẫn giải
a) \(f\) là phép dời hình
b) \(g\) không phải là phép dời hình (vì \(y_{1} \neq y_{2}\) thì \(M'N' \neq MN\))
----------------------------------------------
Hy vọng bài viết đã giúp bạn xác định rõ điểm khác biệt giữa phép dời hình và phép biến hình, từ đó tránh nhầm lẫn khi làm bài tập hoặc học các chuyên đề tiếp theo. Đây là nền tảng quan trọng để hiểu sâu các phép như tịnh tiến, đối xứng, quay… Hãy tiếp tục khám phá thêm nhiều bài học hữu ích khác trong mục Toán lớp 11 có hướng dẫn để học hiệu quả hơn mỗi ngày.
