Tổng hợp lý thuyết phép đối xứng trục Toán 11

Phép đối xứng trục là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, đặc biệt trong phần Hình học Oxy. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và công thức của phép đối xứng trục giúp học sinh xử lý nhanh các bài toán liên quan đến biến đổi hình, vị trí điểm và phương trình đường thẳng. Bài viết này tổng hợp đầy đủ và dễ hiểu nhất lý thuyết phép đối xứng trục Toán 11, được trình bày khoa học, kèm ví dụ minh họa giúp bạn ghi nhớ nhanh và ứng dụng chính xác trong giải bài tập.

A. Định nghĩa Phép đối xứng trục

Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn MM’ được gọi là phép đối xứng trục d, kí hiệu là \(D_{a}\)

Minh họa bằng hình vẽ:

Nếu \(M \in a\) thì \(D_{a}(M) = M\): Xem M là điểm đối xứng với chính nó qua a.

Nếu \(M \notin a\) thì \(D_{a}(M) = M' \Leftrightarrow a\) là đường trung trực của \(MM'\).

\(D_{a}(M) = M'\) thì \(D_{a}(M') = M\)

\(D_{a}(H) = H'\) thì \(D_{a}(H') = H\), \(H'\)là hình đối xứng của hình \(H\).

Biểu thức tọa độ: \(M(x;y) \rightarrow M' = D_{d}(M) = (x';y')\)

\(d \equiv Ox:\ \ \left\{ \begin{matrix} x' = \ x\ \\ y'\ = - y \end{matrix} \right.\ \ \ \ \ ;d \equiv Oy:\ \left\{ \begin{matrix} x' = - x\ \\ y'\ = \ y \end{matrix} \right.\\)

Định lí: Phép đối xứng trục là một phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.

Hệ quả: Phép đối xứng trục biến:

• Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
• Tam giác thành tam giác bằng nó.
• Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính và có tâm là ảnh của tâm.
• Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ban đầu.
• Tia thành tia
• Góc thành góc
• Đường thẳng thành đường thẳng.

B. Các dạng toán đối xứng trục thường gặp

Dạng 1. Tìm ảnh (tạo ảnh) của một điểm

Phương pháp: Tìm ảnh \(M' = D_{a}(M)\) ta thực hiện các bước:

• Bước 1. \(M \in d;d\bot a\)
• Bước 2. \(H = d \cap a\)
• Bước 3. \(H\) là trung điểm của \(MM'\) từ đó suy ra \(M'\).

Dạng 2. Tìm ảnh (tạo ảnh) của đường thẳng

Phương pháp: Tìm ảnh của đường thẳng \(\Delta' = D_{a}(\Delta)\)

Trường hợp 1. \((\Delta)//(a)\)

• Lấy điểm \(A,B \in (\Delta):\ A \neq B\)
• Tìm ảnh \(A' = D_{a}(A)\)
• \(\ A' \in \Delta',\Delta'//(a) \rightarrow \Delta'\)

Trường hợp 2. \(\Delta\) không song song với \(a\)

• Tìm \(K\ = \ \Delta \cap a\)
• Lấy \(P \in \Delta:P \neq K\). Tìm \(Q = D_{a}(P)\)
• \(\Delta' \equiv (KQ)\)

Dạng 3. Tìm ảnh của một đường tròn

Phương pháp: Tìm ảnh của tâm I qua phép đối xứng trục và dùng tính chất “Phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính”

Dạng 4. Tìm \(M \in (\Delta)\) sao cho \(MA + MB\) nhỏ nhất

Loại 1. A; B nằm cùng phía đối với \((\Delta)\)

• Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua \((\Delta)\)
• Với \(\forall M \in (\Delta)\) thì \(MA + MB = MA' + MB \geq A'B\)
• Khi đó: \((MA + MB)_{\min} = \ A'B \Leftrightarrow M = (A'B) \cap (\Delta)\)

Loại 2. A; B nằm khác phía đối với \((\Delta)\)

\(\forall M \in (\Delta),\ thì\ MA\ + \ MB \geq AB\)

Khi đó:

\((MA + MB)_{\min} = \ AB \Leftrightarrow M = (AB) \cap (\Delta)\)

C. Bài tập minh họa Phép đối xứng trục

Bài 1. Trong mặt phẳng \(Oxy\). Tìm ảnh của điểm \(M(2;1)\) đối xứng qua trục \(Ox\), rồi đối xứng qua trục \(Oy\)?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(M(2;1)\overset{D_{ox}}{\rightarrow}M'(2; - 1)\overset{D_{oy}}{\rightarrow}M''( - 2; - 1)\)

Bài 2. Trong mặt phẳng \(Oxy\). Tìm ảnh của điểm \(M(a;b)\) đối xứng qua trục \(Oy\), rồi đối xứng qua trục \(Ox\)?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(M(a;b)\overset{D_{Oy}}{\rightarrow}M'( - a;b)\overset{D_{ox}}{\rightarrow}M''( - a; - b)\)

Bài 3. Cho điểm \(M( - 1;2)\)và đường thẳng \((a):x + 2y + 2 = 0\). Tìm ảnh của điểm \(M\) qua \(D_{a}\)?

Hướng dẫn giải

\(\left. \ \begin{matrix} (d):2x - y + 4 = 0 \\ H = d \cap a\ \end{matrix} \right\} \rightarrow H( - 2;0)\)

H là trung điểm của \(MM' \rightarrow M'( - 3; - 2)\)

Bài 4. Cho điểm \(M( - 4;1)\)và đường thẳng \((a):x + y = 0\). Tìm ảnh của điểm \(M\) qua \(D_{a}\)?

Hướng dẫn giải

Ta có: \(M' = \ D_{a}(M) = ( - 1;4)\)

Bài 5. Cho hai đường thẳng \((\Delta):4x - y + 9 = 0;(a):x - y + 3 = 0\). Tìm ảnh \(\Delta' = D_{a}(\Delta)\)?

Hướng dẫn giải

Vì \(\frac{4}{1} \neq \frac{- 1}{- 1}\)nên \(\Delta\) cắt \(a \rightarrow K = \Delta \cap a \rightarrow K( - 2;1)\)

\(M( - 1;5) \in \Delta \rightarrow M \in d,d\bot a\)

\(\rightarrow d:x + y - 4 = 0 \rightarrow H\left( \frac{1}{2};\frac{7}{2} \right)\)

Vì H là trung điểm của\(MM' \rightarrow M' = D_{a}(M) = (2;2)\)

\(\ \Delta' \equiv KM':\ x - 4y\ + \ 6\ = \ 0\)

Bài 6. Tìm \(b = D_{a}(Ox)\) với đường thẳng \((a):x + 3y + 3 = 0\)?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(a \cap Ox = K( - 3;0)\)

\(M \equiv O(0;0) \in Ox:M' = D_{a}(M) = \left( - \frac{3}{5}; - \frac{9}{5} \right)\)

\(b \equiv KM':3x + 4y + 9 = 0\)

----------------------------------

Hy vọng bản tổng hợp lý thuyết phép đối xứng trục Toán 11 đã giúp bạn hệ thống hóa kiến thức và hiểu rõ bản chất của phép biến hình quan trọng này. Hãy tiếp tục luyện tập với các bài tập Toán lớp 11 khác để củng cố tư duy, tăng tốc độ làm bài và đạt kết quả học tập cao hơn. Đừng quên lưu lại bài viết để sử dụng khi cần thiết trong quá trình ôn tập.