Tìm ảnh hay tạo ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến (T)
Phép tịnh tiến đường tròn Toán 11
Trong chuyên đề Phép tịnh tiến Toán 11, việc tìm ảnh hoặc tạo ảnh của một đường tròn qua phép tịnh tiến (T) là kỹ năng nền tảng giúp học sinh hiểu rõ cách các hình giữ nguyên dạng khi chịu tác động của một vectơ. Bài viết dưới đây hướng dẫn bạn cách xác định ảnh đường tròn sau tịnh tiến thông qua tâm và bán kính, kèm ví dụ minh họa và bài tập có đáp án chi tiết. Đây là tài liệu hữu ích giúp bạn học nhanh – nhớ lâu – làm đúng trong mọi dạng bài.
A. Công thức tìm ảnh (tạo ảnh) của đường tròn qua phép tịnh tiến
Phương pháp:
Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ:
\(M'(x';y') =
T_{\overrightarrow{v}}(M) \Leftrightarrow \overrightarrow{MM'} =
\overrightarrow{v}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x' - x = a \\
y' - y = b
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x' = x + a \\
y' = y + b
\end{matrix} \right.\)
Cách 2. Sử dụng phương pháp tìm phương trình đường tròn của lớp 10.
B. Bài tập minh họa tìm ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ảnh của đường tròn \((C)\): \((x +
1)^{2} + (y - 3)^{2} = 4\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{v} = (3;2)\) là đường tròn có phương trình
A. \((x + 2)^{2} + (y + 5)^{2} =
4\). B. \((x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} =
4\).
C. \((x - 2)^{2} + (y - 5)^{2} =
4\). D. \((x + 4)^{2} + (y - 1)^{2} =
4\).
Hướng dẫn giải
Đường tròn \((C)\) có tâm \(I( - 1;3)\), bán kính \(R = 2\).
Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{v}\) biến đường tròn \((C)\) thành \((C')\) có tâm \(I'\) và bán kính \(R' = 2\).
\(\Rightarrow\) \(T_{\overrightarrow{v}}(I) = I'(x';y')
\Leftrightarrow \overrightarrow{II'} =
\overrightarrow{v}\).
Ta có: \(\overrightarrow{II'} = (x'
+ 1;y' - 3)\); \(\overrightarrow{v}(3;2) \Rightarrow \left\{
\begin{matrix}
x' + 1 = 3 \\
y' - 3 = 2
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x' = 2 \\
y' = 5
\end{matrix} \right.\).
Do đó phương trình của đường tròn \((C')\): \((x
- 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 4\).
Ví dụ 2. Cho \(\overrightarrow{v\
}(3;3)\) và đường tròn \((C):x^{2} +
y^{2} - 2x + 4y - 4 = 0\). Ảnh của \((C)\)qua \(T_{\overrightarrow{v\ }}\) là\((C')\)có phương trình
A. \((x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} =
9\). B. \((x + 4)^{2} + (y + 1)^{2} =
9\).
C. \(x^{2} + y^{2} + 8x + 2y - 4 =
0\). D. \((x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} =
4\).
Hướng dẫn giải
Ta có \((C):x^{2} + y^{2} - 2x + 4y - 4 = 0
\Leftrightarrow (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9\)
Suy ra \(R = 3;I(1; - 2)\) là bán kính và tâm của \((C)\). Gọi \((C')\) là đường tròn là ảnh của \((C)\) qua phép tịnh tiến \(T_{\overrightarrow{v\ }}\).
Ta có \(R' = R = 3\) và ảnh của tâm \(I\) chính là tâm \(I'\) của \((C')\).
Theo công thức phép tịnh tiến ta có \(I'(4;1)\).
Vậy \((C'):(x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} =
9\).
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ảnh của đường tròn \((C)\): \((x +
1)^{2} + (y - 3)^{2} = 4\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{v} = (3;2)\) là đường tròn có phương trình
A. \((x + 2)^{2} + (y + 5)^{2} =
4\). B. \((x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} =
4\).
C. \((x - 2)^{2} + (y - 5)^{2} =
4\). D. \((x + 4)^{2} + (y - 1)^{2} =
4\).
Hướng dẫn giải
Đường tròn \((C)\) có tâm \(I( - 1;3)\), bán kính \(R = 2\).
Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{v}\) biến đường tròn \((C)\) thành \((C')\) có tâm \(I'\) và bán kính \(R' = 2\).
\(\Rightarrow\) \(T_{\overrightarrow{v}}(I) = I'(x';y')
\Leftrightarrow \overrightarrow{II'} =
\overrightarrow{v}\).
Ta có: \(\overrightarrow{II'} = (x'
+ 1;y' - 3)\); \(\overrightarrow{v}(3;2) \Rightarrow \left\{
\begin{matrix}
x' + 1 = 3 \\
y' - 3 = 2
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x' = 2 \\
y' = 5
\end{matrix} \right.\).
Do đó phương trình của đường tròn \((C')\): \((x
- 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 4\).
C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết
Bài tập 1. Cho \(\overrightarrow{v}(3; -
2)\) và đường tròn \((C):x^{2} + y^{2}
- 4x + 4y - 1 = 0\). Ảnh của \((C)\) qua \(T_{\overrightarrow{v}}\) là \((C')\):.
A. \(x^{2} + y^{2} + 8x + 2y - 4 =
0\) B. \((x + 5)^{2} + (y - 4)^{2} =
9\).
C. \((x + 1)^{2} + y^{2} = 9\). D. \((x - 5)^{2} + (y + 4)^{2} = 9\).
Bài tập 2. Tìm ảnh của đường tròn \((C):(x
+ 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 4\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{v} = (1;2)\).
A. \((x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} =
4\). B. \((x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} =
9\).
C. \((x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} =
4\). D. \((x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} =
4\).
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
-------------------------------
Hiểu và vận dụng đúng phép tịnh tiến trên đường tròn là bước quan trọng để chinh phục các bài tập biến hình trong Toán 11. Hy vọng nội dung bài viết giúp bạn nắm chắc cách tìm ảnh đường tròn, tự tin xử lý các câu hỏi trong đề kiểm tra và kỳ thi. Tiếp tục luyện bài và đối chiếu đáp án để củng cố kiến thức vững vàng hơn từng ngày.
