Tìm ảnh hoặc tạo ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến (T)
Cách xác định ảnh đường thẳng qua tịnh tiến
Trong chương trình Phép tịnh tiến Toán 11, việc tìm ảnh hoặc tạo ảnh của một đường thẳng qua phép tịnh tiến (T) là dạng bài quan trọng giúp học sinh hiểu rõ mối quan hệ giữa đường thẳng ban đầu và đường thẳng sau biến hình. Bài viết này cung cấp phương pháp xác định ảnh đường thẳng theo vectơ tịnh tiến, hướng dẫn từng bước với ví dụ minh họa và bài tập có đáp án. Đây sẽ là tài liệu hữu ích để bạn nắm chắc chuyên đề và cải thiện kỹ năng giải toán hình học 11.
A. Cách tìm ảnh (tạo ảnh) của một đường thẳng
Phương pháp:
Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ:
\(M'(x';y') =
T_{\overrightarrow{v}}(M) \Leftrightarrow \overrightarrow{MM'} =
\overrightarrow{v}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x' - x = a \\
y' - y = b
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x' = x + a \\
y' = y + b
\end{matrix} \right.\)
Cách 2. Sử dụng phương pháp tìm phương trình đường thẳng của lớp 10.
B. Bài tập minh họa tìm ảnh (tạo ảnh) một đường thẳng
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tìm ảnh của đường thẳng \(d:x + 2y - 3 = 0\) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v} = (1; - 1)\).
A. \(d':x + 2y - 4 = 0\). B. \(d':x - 2y - 4 = 0\).
C. \(d':x + 2y - 2 = 0\). D. \(d': - x + 2y + 2 = 0\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(T_{\overrightarrow{v}}(M) =
M'(x';y')\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x' = x + 1 \\
y' = y - 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = x' - 1 \\
y = y' + 1
\end{matrix} \right.\)
Mà: \(M(x;y) \in d \Rightarrow x' - 1 +
2(y' + 1) - 3 = 0 \Leftrightarrow x' - 2y' - 2 =
0\).
Vậy: \(d': - x + 2y + 2 =
0\).
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(\Delta:\ \ 3x - 7y + 12 = 0\), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{u}( -
3;2)\) biến đường thẳng \(\Delta\) thành đường thẳng \(\Delta'\) có phương trình là
A. \(3x - 7y - 9 = 0\). B. \(3x + 7y - 35 = 0\).
C. \(3x - 7y + 35 = 0\). D. \(3x + 7y + 9 = 0\).
Hướng dẫn giải
Gọi \(M(x,y) \in \Delta,\
M'(x',y') \in \Delta'\) sao cho \(T_{\overrightarrow{u}}(M) = M'\).
Do đó \(\overrightarrow{MM'} =
\overrightarrow{u} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x' - x = - 3 \\
y' - y = 2
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = x' + 3 \\
y = y' - 2
\end{matrix} \right.\)
Mà \(M \in \Delta:3x - 7y + 12 =
0\)
\(\Rightarrow 3(x' + 3) - 7(y' - 2)
+ 12 = 0 \Rightarrow 3x' - 7y' + 35 = 0\).
Vậy \(\Delta':3x - 7y + 35 =
0\).
Ví dụ 3: Trong hệ tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(d:x - 2y + 3 = 0\). Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{v}(2;2)\) biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng \(d'\) có phương trình là
A. \(2x - y + 5 = 0\). B. \(x - 2y + 5 = 0\).
C. \(x + 2y + 5 = 0\). D. \(x - 2y + 4 = 0\).
Hướng dẫn giải
Vì phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên\(T_{\overrightarrow{v}}(d) =
d'\) với \(d':x - 2y + m =
0\)
Gọi \(A( - 3;0) \in d\)
\(A' = T_{\overrightarrow{v}}(A)
\Rightarrow A'( - 1;2)\).
Mà \(A' \in d' \Rightarrow m =
5\).
Vậy \(d':x - 2y + 5 = 0\)
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(4x - y + 3 = 0\). Ảnh của đường thẳng \(\Delta\) qua phép tịnh tiến \(T\) theo vectơ \(\overrightarrow{v} = (2; - 1)\) có phương trình là
A. \(4x - y - 6 = 0\). B. \(4x - y + 10 = 0\).
C. \(4x - y + 5 = 0\). D. \(x - 4y - 6 = 0\).
Hướng dẫn giải
Gọi đường thẳng \(d\) là ảnh của đường thẳng \(\Delta\) qua phép tịnh tiến \(T\) theo vectơ \(\overrightarrow{v} = (2; - 1)\) khi đó phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \(4x - y + m = 0\).
Gọi \(A(0;3)\)thuộc đường thẳng \(d\), \(A'(x;y)\) là ảnh của điểm\(A\) qua phép tịnh tiến \(T\) khi đó \(A' \in d\).
Ta có \(\overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{v} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y - 3 = - 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = 2
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow A'(2;2)\).
Mà \(A' \in d\) nên \(8 - 2 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 6\) nên phương trình đường thẳng \(d\) là \(4x - y - 6 = 0\).
Ví dụ 5. Cho đường thẳng \(d:2x - y + 1 =
0.\) Phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\) biến đường thẳng d thành chính nó. Tìm \(\overrightarrow{v}\)?
A. \(\overrightarrow{v} = ( -
1;2).\) B. \(\overrightarrow{v} = (2; -
1).\) C. \(\overrightarrow{v} =
(1;2).\) D. \(\overrightarrow{v} =
(2;1).\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(d:2x - y + 1 = 0\) suy ra VTPT của \(d:\overrightarrow{n} = (2; - 1)
\Rightarrow\) VTCP của \(d:\overrightarrow{u} = (1;2)\).
Để \(T_{\overrightarrow{v}}(d) = d\) thì \(\overrightarrow{v}\) cùng phương \(\overrightarrow{u}\)
Chọn C
-----------------------------------------
Nắm vững quy tắc tịnh tiến và cách xác định ảnh của một đường thẳng sẽ giúp bạn xử lý hiệu quả các dạng bài trong chuyên đề phép biến hình. Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu sâu bản chất phép tịnh tiến và vận dụng thành thạo vào bài tập. Tiếp tục luyện tập với các ví dụ và bài tập kèm đáp án để củng cố kiến thức và đạt điểm cao trong các bài kiểm tra.
