Tìm ảnh hay tạo ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến
Cách tìm ảnh hay tạo ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến
Trong chuyên đề Phép tịnh tiến Toán 11, kỹ năng tìm ảnh hoặc tạo ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến là kiến thức nền tảng giúp học sinh hiểu sâu bản chất của phép biến hình và cách áp dụng vào các bài toán hình học phẳng. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách xác định ảnh của điểm dựa trên vectơ tịnh tiến, kèm theo ví dụ minh họa trực quan và bài tập luyện tập có đáp án. Đây là tài liệu hữu ích giúp bạn nắm chắc chuyên đề và tự tin hơn trong các bài kiểm tra hình học 11.
A. Công thức tìm ảnh (tạo ảnh) của 1 điểm qua phép tịnh tiến T
Phương pháp: Sử dụng biểu thức tọa độ:
\(M'(x';y') =
T_{\overrightarrow{v}}(M) \Leftrightarrow \overrightarrow{MM'} =
\overrightarrow{v}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x' - x = a \\
y' - y = b
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x' = x + a \\
y' = y + b
\end{matrix} \right.\)
B. Bài tập minh họa tìm ảnh của 1 điểm
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(A(3;0)\) và véc tơ \(\overrightarrow{v} = (1;2)\). Phép tịnh tiến \(T_{\overrightarrow{v}}\) biến \(A\) thành \(A'\). Tọa độ điểm \(A'\) là
A. \(A'(2; - 2)\). B. \(A'(2; - 1)\). C. \(A'( - 2;2)\). D. \(A'(4;2)\).
Hướng dẫn giải
Biểu thức tọa độ của phép tịnh \(T_{\overrightarrow{v}}\) là \(\left\{ \begin{matrix}
x' = x + 1 \\
y' = y + 2
\end{matrix} \right.\), nên tọa độ điểm \(A'(4;2)\).
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M(1; - 3)\). Phép tịnh tiến theo véctơ \(\overrightarrow{v} = (2;4)\)biến \(M\) thành điểm
A. \(M'(1;7)\). B. \(M'(3;2)\). C. \(M'(3;1)\). D. \(M'( - 1; - 7)\).
Hướng dẫn giải
Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{v} = (2;4)\) biến \(M\) thành điểm \(M'\) có tọa độ là \(\left\{ \begin{matrix}
x_{M'} = 1 + 2 = 3 \\
y_{M'} = - 3 + 4 = 1
\end{matrix} \right.\ .\)
Vậy \(M'(3;1)\).
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho \(\overrightarrow{u} = (1; - 2)\) và điểm \(M(2; - 3)\). Ảnh của điểm \(M\)qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{u}\) là điểm có tọa độ nào trong các điểm sau?
A. \(M( - 2;3)\). B. \(M(1; - 3)\). C. \(M(3; - 5)\). D. \(M(1; - 1)\).
Hướng dẫn giải
Gọi \(M(x;y)\) có ảnh qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{u} =
(a;b)\) là điểm \(M'(x';y')\).
Ta có \(T_{\overrightarrow{u}}(M) = M'
\Leftrightarrow \overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{u}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x' = x + a \\
y' = y + b
\end{matrix} \right.\).
Áp dụng công thức vào bài ta có tọa độ điểm \(M'\) là ảnh của \(M\)qua \(T_{\overrightarrow{u}}\) là \(M'(3; - 5)\).
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) nếu phép tịnh tiến biến điểm \(M(4;\ 2)\) thành điểm \(M'(4;\ 5)\) thì nó biến điểm \(A(2;\ 5)\) thành
A. điểm \(A'(2;\ 8)\). B. điểm \(A'(1;\ 6)\). C. điểm \(A'(5;\ 2)\). D. điểm \(A'(2;\ 5)\).
Hướng dẫn giải
Phép tịnh tiến biến điểm \(M(4;\
2)\) thành điểm \(M'(4;\
5)\), biến điểm \(A(2;\ 5)\) thành \(A'(x;\ y)\ .\)
\(\Rightarrow
\overrightarrow{M'A'} = \ \overrightarrow{MA}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 4 = 2 - 4 \\
y - 5 = 5 - 2
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = 8
\end{matrix} \right.\ \ .\)
Ví dụ 5. Cho hình bình hành \(ABCD\). Phép tịnh tiến \(T_{\overrightarrow{DA}}\) biến
A. \(C\) thành \(A\). B. \(B\)thành \(C\). C. \(A\) thành \(D\). D. \(C\) thành \(B\).
Hướng dẫn giải
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{DA} =
\overrightarrow{CB}\) nên qua \(T_{\overrightarrow{DA}}\) ta có \(C\) thành \(B\).
-------------------------------------
Việc thành thạo cách tìm ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến không chỉ giúp bạn giải nhanh bài tập hình học mà còn xây dựng nền tảng vững chắc cho các phép biến hình khác trong Toán 11. Hy vọng với hệ thống lý thuyết rõ ràng và bài tập thực hành đi kèm, bạn đã nắm được phương pháp làm bài một cách hiệu quả. Hãy tiếp tục luyện tập để nâng cao kỹ năng hình học và đạt kết quả cao trong học tập.
