Phép đối xứng tâm: Định nghĩa – Tính chất – Cách áp dụng

Phép đối xứng tâm Toán 11

Phép đối xứng tâm là một trong những phép biến hình quan trọng của chương trình Toán lớp 11, giúp học sinh hiểu rõ hơn về quan hệ vị trí, biến đổi điểm và các bài toán hình học trong mặt phẳng Oxy. Bài viết này tổng hợp đầy đủ và dễ hiểu nhất về định nghĩa, tính chất và cách áp dụng phép đối xứng tâm, đi kèm ví dụ minh họa giúp bạn ghi nhớ nhanh và vận dụng chính xác vào bài tập. Với nội dung trình bày khoa học, đây là tài liệu lý tưởng hỗ trợ ôn tập và củng cố kiến thức Hình học 11 hiệu quả.

A. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa Phép đối xứng tâm

Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm O. Kí hiệu là \(D_{O}\). Điểm O được gọi là tâm đối xứng.

Nhận xét:

• Phép đối xứng tâm O chính là phép quay tâm O, góc quay \(\pi\), do đó, phép đối xứng tâm có đầy đủ tính chất của phép quay.
• Nếu M’ là ảnh của M qua \(D_{O}\) thì M cũng là ảnh của M’ qua \(D_{O}\). Do đó nếu hình H’ là ảnh của hình H qua \(D_{O}\) thì hình H cũng là ảnh của H’ qua \(D_{O}\) và ta mói H và H’ đối xứng với nhau qua O.
• \(D_{O}\) biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
• Hình H nhận điểm O là tâm đối xứng khi và chỉ khi \(D_{O}\) biến H thành chính nó.
• Một hình có thể không có tâm đối xứng

Tổng quát:

• \(D_{I}(M) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow{IM'} = - \overrightarrow{IM}\)
• Nếu \(M \equiv I\) thì \(M' \equiv I\)
• Nếu \(M \neq I\) thì \(M' = D_{I}(M)\) \(\Leftrightarrow\) \(I\) là trung điểm của \(MM'\)
• Nếu điểm I là tâm đối xứng của hình H \(\Leftrightarrow D_{I}(H) = H\)

2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

3. Tính chất của phép đối xứng tâm

Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

• Biến một tia thành tia
• Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm ban đầu.
• Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó
• Biến tam giác thành tham giác bằng nó
• Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
• Biến góc thành góc bằng nó
• Biến đường tròn thành đường tròn bằng nó, \(I \rightarrow I',R' = R\)

B. Các dạng bài tập và phương pháp giải chủ để đối xứng tâm

Dạng 1. Tìm ảnh của một điểm

Phương pháp: Sử dụng biểu thức tọa độ

Cho \(I\left( x_{0};y_{0} \right)\) và phép đối xứng tâm I.

\(M(x;y)\overset{D_{I}}{\rightarrow}M' = D_{I}(M) = (x';y')\) thì \(\left\{ \begin{matrix} x' = 2x_{0} - x \\ y' = 2y_{0} - y \end{matrix} \right.\).

Dạng 2. Tìm ảnh của một đường thẳng

Phương pháp:

• Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ.
• Cách 2. Xét đường thẳng \(\Delta'//\Delta\) rồi dùng công thức tính khoảng cách \(\ d(\Delta;\Delta') \rightarrow \Delta'\)
• Cách 3. Lấy bất kì \(A;B \in \Delta\) rồi tìm ảnh của \(A';B' \in \Delta'\) \(\Leftarrow \Delta' \equiv A'B'\).

Dạng 3. Tìm ảnh của một đường tròn

• Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ.
• Cách 2: Tìm ảnh của tâm I qua phép đối xứng tâm và dùng tính chất “Phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính”

C. Bài tập vận dụng

Bài tập 1. Tìm ảnh của \(A( - 2;3)\) qua phép đối xứng tâm \((1;2)\)?

Hướng dẫn giải

Giả sử \(A' = D_{I}(A) \Leftrightarrow \overrightarrow{IA} = - \overrightarrow{IA} \Leftrightarrow (x' - 1;y' - 2) = - ( - 3;1)\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x' - 1 = 3 \\ y' - 2 = - 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x' = 4 \\ y' = 1 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow A'(4;1)\)

Vậy ảnh của \(A( - 2;3)\) qua phép đối xứng tâm \((1;2)\) là điểm \(A'(4;1)\).

Bài tập 2. Tìm ảnh của đường thẳng \((\Delta):x + 2y + 5 = 0\) qua phép đối xứng tâm \(I(2; - 1)\)?

Hướng dẫn giải

Cách 1. Ta có: \(M(x;y)\overset{D_{I}}{\rightarrow}M'\left\{ \begin{matrix} x' = 4 - x \\ y' = - 2 - y \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 - x' \\ y = - 2 - y' \end{matrix} \right.\)

Vì \(M(x;y) \in \Delta \Leftrightarrow x +2y + 5 = 0\)

\(\Leftrightarrow (4 - x') + 2( - 2 - y') + 5 = 0\Leftrightarrow x' + 2y' - 5 = 0\)

\(\Leftrightarrow M'(x';y') \in \Delta'\ :x + 2y - 5 = 0\)

Vậy \((\Delta)\overset{D_{I}}{\rightarrow}\ (\Delta')\ :x + 2y - 5 = 0\)

Cách 2. Gọi \(\Delta' = D_{I}(\Delta) \Rightarrow \Delta'\ //\ \Delta \Rightarrow \Delta':x + 2y + m = 0;(m \neq 5)\)

\(d(I;\Delta) = d(I;\Delta')\)\(\Leftrightarrow \frac{|5|}{\sqrt{1^{2}}} = \frac{|m|}{\sqrt{1^{2} +2^{2}}}\)\(\Leftrightarrow 5 = |m| \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 5(ktm) \\m = - 5\end{matrix} \right.\)

\(\ \ \rightarrow (\Delta'):x + 2y - 5 = 0\)

Cách 3. Lấy \(A( - 5;0),B( - 1; - 2) \in\Delta\)

\(\Rightarrow A'(9; - 2),B'(5;0)\)\(\Rightarrow \Delta'\equiv A'B':x + 2y - 5 = 0\)

Bài tập 3. Trong mặt phẳng \((Oxy)\), tìm phương trình đường tròn \((C')\) là ảnh của đường tròn \((C)\): \((x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 9\) qua phép đối xứng tâm \(O(0;0)\).

Hướng dẫn giải

Đường tròn \((C)\): \((x - 3)^2+ (y + 1)^2 = 9\) có tâm \(I(3; - 1)\) và có bán kính \(R = 3\).

Điểm đối xứng với \(I(3; - 1)\) qua \(O(0;0)\) là \(I'( - 3;1)\).

Vậy phương trình \((C')\) là: \((x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 9\).

-----------------------------------------

Qua phần kiến thức về phép đối xứng tâm, hy vọng bạn đã nắm chắc bản chất phép biến hình này và biết cách áp dụng vào các bài toán từ cơ bản đến nâng cao. Hãy tiếp tục luyện tập và khám phá thêm nhiều chủ đề khác trong chương trình Toán lớp 11 để củng cố tư duy hình học và nâng cao hiệu quả học tập. Chúc bạn tự tin, học tốt và đạt kết quả thật cao!