Tìm ảnh, tạo ảnh của đường tròn qua một phép dời hình
Cách tìm ảnh (tạo ảnh) của đường tròn qua phép dời hình
Trong chương trình Bài tập Toán 11 có đáp án, việc xác định ảnh và tạo ảnh của đường tròn qua phép dời hình là kiến thức quan trọng giúp học sinh hiểu sâu về các phép biến hình. Bài viết Tìm ảnh, tạo ảnh của đường tròn qua phép dời hình sẽ hướng dẫn bạn cách xác định tâm, bán kính và vị trí đường tròn sau khi thực hiện phép tịnh tiến, đối xứng hoặc quay. Với ví dụ minh họa rõ ràng, đây là tài liệu hữu ích để ôn tập và rèn kỹ năng hình học 11.
A. Phương pháp tìm ảnh (tạo ảnh) của đường tròn qua phép biến hình
Cách 1: Dùng tính chất (bán kính đường tròn không đổi)
\((C)\left\{ \begin{matrix}
+ Tâm\ I \\
+ \ bk:\ R
\end{matrix} \right.\ \rightarrow (C')\left\{ \begin{matrix}
+ Tâm:I' \\
+ \ bk\ :\ R' = \ R
\end{matrix} \right.\) Cần tìm \(I’\).
Cách 2: Dùng biểu thức tọa độ
Tìm \(x\) theo \(x’\), tìm \(y\) theo \(y’\) rồi thay vào biểu thức tọa độ.
B. Bài tập minh họa
Bài tập 1: Trong mặt phẳng \((Oxy)\) cho phép dời hình \(f:M(x;y)\ \rightarrow
M' = f(M) = (x - 3;y + 1)\)
Tìm ảnh của đường tròn \((C):(x + 1)^{2} +
(y - 2)^{2} = 2\)
Hướng dẫn giải
Ta có
\(f\ :\ M(x;y) \rightarrow M' =
f(M) = \left\{ \begin{matrix}
x'\ = \ x - 3 \\
y' = y + 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = x' + 3 \\
y = y' - 1
\end{matrix} \right.\)
Vì \(M(x;y) \in (C) : (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 2\)\(\Leftrightarrow (x' + 4)^{2} + (y' -3)^{2} = 2\)
\(\Leftrightarrow M'(x';y') \in
(C')\ :\ (x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 2\)
Bài tập 2: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \((C):(x - 3)^{2} + (y + 4)^{2}
= 16\). Tìm ảnh của đường tròn \((C)\) qua phép quay tâm \(O\), góc quay \(180^{\circ}\).
Hướng dẫn giải
Đường tròn \((C)\) có tâm\(I(2;\ - 3)I(3;\ - 4)\) và bán kính \(R = 4.\)
Gọi \(C'(I',R')\) là ảnh của \((C)\) qua phép quay \(Q_{\left( O,\ \ 180^{0} \right)}\).
Khi đó ta có: \(R' = R = 4\) và \(Q_{\left( O,\ \ 180^{0} \right)}(I) =
I'\), suy ra: \(\left\{
\begin{matrix}
x_{I'} = - x_{I} = - 3 \\
y_{I'} = - y_{I} = 4
\end{matrix} \right.\ \ \ \Rightarrow \ \ I'( - 3;\
4)\).
Vậy \((C')\) có phương trình là: \((x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 16.\)
Bài tập 3: Cho phép dời hình F có quy tắc đặt ảnh tương ứng điểm \(M\left( x_{M};y_{M} \right)\) có ảnh là điểm \(M'(x';y')\) theo công thức \(F:\left\{ \begin{matrix}
x' = x_{M} - 1 \\
y' = y_{M} + 2
\end{matrix} \right.\). Viết phương trình đường tròn \((C')\) là ảnh của đường tròn \((C):x^{2} + y^{2} - 2x - 4y - 1 = 0\) qua phép dời hình F.
Hướng dẫn giải
Theo công thức \(F:\left\{ \begin{matrix}
x' = x_{M} - 1 \\
y' = y_{M} + 2
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
x' + 1 = x_{M} \\
y' - 2 = y_{M}
\end{matrix} \right.\) thay vào \((C)\) ta có: \((x' + 1)^{2} + (y' - 2)^{2} - 2(x' +
1) - 4(y' - 2) - 1 = 0\)
\(\Rightarrow x'^{2} + (y' -
4)^{2} = 6 \Rightarrow (C'):x^{2} + (y - 4)^{2} = 6\)
Bài tập 4: Cho phép dời hình F có quy tắc đặt ảnh tương ứng điểm \(M\left( x_{M};y_{M} \right)\) có ảnh là điểm \(M'(x';y')\) theo công thức \(F:\left\{ \begin{matrix}
x' = - x_{M} \\
y' = y_{M}
\end{matrix} \right.\). Viết phương trình đường tròn \((C')\) là ảnh của đường tròn \((C):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9\) qua phép dời hình F.
Hướng dẫn giải
Gọi \(M\left( x_{M};y_{M} \right) \in (C)
\Leftrightarrow \left( x_{M} + 1 \right)^{2} + \left( y_{M} - 2
\right)^{2} = 9\) (1)
Với \(F(M) =
M'(x';y')\), theo quy tắc: \(\left\{ \begin{matrix}
x' = - x_{M} \\
y' = y_{M}
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{M} = - x' \\
y_{M} = y'
\end{matrix} \right.\) thay vào (1) ta có:
\(( - x' + 1)^{2} + (y' - 2)^{2} =
9 \Rightarrow M' \in (C'):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} =
9\).
-----------------------------------------------
Hy vọng nội dung trên đã giúp bạn hiểu quy tắc tìm ảnh của đường tròn qua từng loại phép dời hình và vận dụng chính xác vào các bài toán liên quan. Hãy tiếp tục luyện tập thêm nhiều dạng bài trong mục Bài tập Toán 11 có đáp án để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng xử lý hình học. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao!
