Tìm ảnh, tạo ảnh của đường thẳng qua một phép dời hình

Trong chương Phép dời hình của Toán 11, việc tìm ảnh và tạo ảnh của đường thẳng qua một phép dời hình là kỹ năng nền tảng giúp học sinh hiểu sâu bản chất các phép biến đổi hình học như tịnh tiến, đối xứng, quay. Bài viết này mang đến cho bạn kiến thức lý thuyết cô đọng, quy trình tìm ảnh đường thẳng, cùng bài tập Toán 11 có đáp án chi tiết, giúp bạn nắm chắc kỹ thuật và tự tin xử lý mọi dạng bài.

A. Phương pháp tìm ảnh của đường thẳng qua một phép dời hình

• Nếu phép dời hình là phép tịnh tiến thì \(d\) và \(d’\) là hai đường thẳng cùng phương.
• Nếu phép dời hình là phép quay thì:

Cho đường thẳng \(d:Ax + By + C = 0\) và \(Q_{(I,\ \alpha)}(d) = d'\).

• • Nếu \(\alpha = \frac{\pi}{2} + k.\pi\) thì \(d'\bot d\). Khi đó \(d'\) có phương trình dạng: \(- Bx + Ay + m = 0\).

  • Nếu \(\alpha = k2\pi\), \(I\) tuỳ ý hoặc \(\alpha = k\pi,\ I \in d\) thì \(d' \equiv d\).

  • Nếu \(\alpha = \pi + k2\pi,\ I \notin d\) thì \(d'\)// \(d\). Khi đó \(d'\) có phương trình dạng: \(Ax + By + m = 0\ (m \neq C)\).

• Tìm x theo x’, tìm y theo y’ rồi thay vào biểu thức tọa độ.

B. Bài tập minh họa tìm ảnh của đường thẳng qua phép dời hình

Hướng dẫn giải

Ta có

\(f\ :\ M(x;y) \rightarrow M' = f(M) = \left\{ \begin{matrix} x' = x - 2 \\ y' = y + 2 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = x' + 2 \\ y = y' - 2 \end{matrix} \right.\) \(M(x;y) \in (\Delta) \Leftrightarrow (x' + 2) + 2(y' - 2) - 5 = 0\)

\(\Leftrightarrow x' + 2y' - 7 = 0 \Leftrightarrow M'(x';y') \in (\Delta'):x + 2y - 7 = 0\)

Hướng dẫn giải

Vì \(Q_{\left( O,\ \ 180^{0} \right)}(d) = d'\) nên \(d'//d\).

Do đó \(d'\) có phương trình dạng: \(2x - y + m = 0;(m \neq 3)\)

Chọn \(M(1;5) \in d\), gọi \(M'(x';\ y') \in d'\) là ảnh của điểm \(M\) qua phép quay \(Q_{\left( 0,\ \ 180^{0} \right)}.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x' = - y_{M} = - 1 \\ y' = - x_{M} = - 5 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow M'( - 1; - 5).\)

Do \(M'( - 1; - 1) \in d'\) nên \(2.( - 1) - ( - 5) + m = 0\ \Leftrightarrow m = - 3.\)

Vậy \(d'\) có phương trình là \(2x - y - 3 = 0.\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(F = T_{\overrightarrow{v}} \circ Q_{\left( O;90^{0} \right)}\) là phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay \(Q_{\left( O;90^{0} \right)}\) và phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\).

Gọi \(d' = F(d)\)thì \(d'\bot d \Rightarrow d':x - 2y + c = 0\).

Lấy \(O(0;0) \in d\) \(\Rightarrow F(O) = T_{\overrightarrow{v}}.Q_{\left( O;90^{0} \right)}(O) = T_{\overrightarrow{v}}(O) = O'(3; - 1)\); \(O' \in d' \Rightarrow c = - 5\).

Vậy \(F(d) = d':x - 2y - 5 = 0\).

------------------------------------------

Qua bài viết này, bạn đã được hệ thống hóa toàn bộ kiến thức về cách xác định ảnh của đường thẳng qua phép dời hình, đồng thời thực hành qua nhiều bài tập có lời giải rõ ràng. Hãy tận dụng các phương pháp và ví dụ trong bài để củng cố kỹ năng hình học và nâng cao tốc độ làm bài.