Cách giải hệ phương trình mũ
Giải hệ phương trình mũ - Toán 11
A. Cách giải phương trình mũ
Phương trình dạng 
\(a^{x} = b\), trong đó \(a\) và \(b\) là những số cho trước, \(a > 0,a \neq 1\)
-
Nếu
\(b > 0\) thì phương trình luôn có nghiệm duy nhất \(x =
log_{a}b\). -
Nếu
\(b \leq 0\) thì phương trình vô nghiệm.
B. Bài tập minh họa giải hệ phương trình mũ
Bài tập 1. Giải hệ phương trình \(\left\{
\begin{matrix}
x + 2y = - 1 \\
4^{x + y^{2}} = 16
\end{matrix} \right.\).
A. \((x;y) = ( - 1;1)\), \((x;y) = (3; - 7)\). B. \((x;y) = (1; - 1)\), \((x;y) = ( - 7;3)\).
C. \((x;y) = (1;1)\), \((x;y) = (3;7)\). D. \((x;y) = ( - 1;1)\), \((x;y) = (3;7)\).
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình tương đương với \(\left\{
\begin{matrix}
x + 2y = - 1 \\
4^{x + y^{2}} = 4^{2}
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + 2y = - 1 \\x + y^{2} = 2\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - 2y - 1 \\y^{2} - 2y - 1 = 2\end{matrix} \right.\)
\(\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - 2y - 1 \\y^{2} - 2y - 3 = 0\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = - 2y - 1 \hfill \\
\left[ \begin{gathered}
y = - 1 \hfill \\
y = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
y = - 1;\,\,x = 1 \hfill \\
y = 3;\,\,x = - 7 \hfill \\
\end{gathered} \right..\)
Cách trắc nghiệm: Thay ngược từng đáp án và bấm máy tính.
Bài tập 2. Hệ phương trình \(\left\{
\begin{matrix}
2^{x}.9^{y} = 162 \\
3^{x}.4^{y} = 48
\end{matrix} \right.\) có tất cả bao nhiêu nghiệm \((x;y)\)?
A. \(0\). B. \(1\). C. \(2\). D. \(3\).
Hướng dẫn giải
Nhân vế theo vế trong hệ phương trình, ta được \(6^{x}.36^{y} = 162.48\)
\(\Leftrightarrow 6^{x + 2y} = 6^{5}
\Leftrightarrow x + 2y = 5\).
Thay \(x = 5 - 2y\) và phương trình thứ hai của hệ, ta có \(3^{5 - 2y}.4^{y} =
48\)
\(\Leftrightarrow
\frac{3^{5}}{9^{y}}.4^{y} = 2^{4}.3 \Leftrightarrow \left( \frac{2}{3}
\right)^{2y} = \left( \frac{2}{3} \right)^{4} \Leftrightarrow 2y = 4
\Leftrightarrow y = 2\overset{}{\rightarrow}x = 1.\)
Vậy hệ phương trình có duy nhất nghiệm \((x;y) = (1;2)\). Chọn B.
Bài tập 3. Tìm tất cả các cặp số \((x;y)\) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{matrix}
6^{x} - 2.3^{y} = 2 \\
6^{x}.3^{y} = 12
\end{matrix} \right.\ .\)
A. \((x;y) = \left( 1;log_{3}4
\right).\) B. \((x;y) = \left(
log_{6}2;1 \right).\)
C. \((x;y) = \left( 1;log_{3}2
\right).\) D. \((x;y) = \left(
1;log_{3}2 \right)\), \((x;y) = \left(
log_{6}2;1 \right).\)
Hướng dẫn giải
Đặt \(\left\{ \begin{matrix}
6^{x} = a > 0 \\
3^{y} = b > 0
\end{matrix} \right.\). Hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{matrix}
a - 2b = 2 \\
ab = 12
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2b + 2 \\(2b + 2)b = 12\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2b + 2 \\b^{2} + b - 6 = 0\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = 2b + 2 \hfill \\
\left[ \begin{gathered}
b = - 3\left( L \right) \hfill \\
b = 2\left( {TM} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = 6 \hfill \\
b = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Suy ra \(\left\{ \begin{matrix}
6^{x} = 6 \\
3^{y} = 2
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = log_{3}2
\end{matrix} \right.\). Chọn C.
Bài tập 4. Cho hệ phương trình \(\left\{
\begin{matrix}
\left( \frac{2}{3} \right)^{2x - y} + 6\left( \frac{2}{3}
\right)^{\frac{2x - y}{2}} - 7 = 0 \\
3^{log_{9}(x - y)} = 1
\end{matrix} \right.\). Chọn khẳng định đúng?
A. Điều kiện xác định của hệ phương trình là \(x > y > 0\).
B. Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm \((x;y)\).
C. Hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất \((x;y) = ( - 1; - 2)\).
D. Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(x - y > 0 \Leftrightarrow x
> y\). Do đó A sai.
Xét phương trình thứ nhất của hệ:
\(\left(
\frac{2}{3} \right)^{2x - y} + 6\left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{2x -
y}{2}} - 7 = 0\). Đặt \(t = \left(
\frac{2}{3} \right)^{\frac{2x - y}{2}} > 0\)
Phương trình trở thành
\(t^{2} + 6t - 7 = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}t = 1(tm) \\t = - 7(L)\end{matrix} \right.\)\(\ \overset{}{\rightarrow}\left( \frac{2}{3}\right)^{\frac{2x - y}{2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{2x - y}{2} =0.\)
Phương tình thứ hai của hệ:
\(3^{log_{9}(x- y)} = 1 \Leftrightarrow 3^{log_{9}(x - y)} = 3^{0}\)\(\Leftrightarrow \log_{9}(x - y) = 0 \Leftrightarrow x - y = 1.\)
Từ đó ta có \(\Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
2x - y = 0 \\
x - y = 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 1 \\
y = - 2
\end{matrix} \right.\ :\) thỏa mãn điều kiện.
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất \((x;y) = ( - 1; - 2)\). Chọn C.
------------------------------------------
Qua các phương pháp và ví dụ minh họa trong bài viết, bạn đã có thể nắm chắc cách giải hệ phương trình mũ trong chương trình Toán 11. Việc rèn luyện thường xuyên với các dạng bài tập có đáp án sẽ giúp bạn củng cố kỹ năng và tự tin hơn trong quá trình làm bài kiểm tra. Hãy tiếp tục khám phá thêm các chuyên đề Toán 11 khác để hệ thống hóa kiến thức một cách toàn diện và hiệu quả hơn.
