Định lý Viète phương trình bậc ba
Hệ thức Viète trong phương trình bậc ba
Định lý Viète trong phương trình bậc ba là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Toán học THPT, giúp học sinh hiểu sâu hơn mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững cách áp dụng định lý Viète cho phương trình bậc ba, kèm theo ví dụ minh họa, bài tập vận dụng và mẹo giải nhanh, hỗ trợ hiệu quả trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia và làm bài kiểm tra học kỳ.
A. Định lý Viète
Cho phương trình 
\(ax^{3} + bx^{2} + cx + d
= 0\) \((a \neq 0)\), có các nghiệm là \(x_{1},\ \ x_{2},\ \ x_{3}\) (kể cả nghiệm bội). Khi đó: \(\left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a} \\
x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{1} = \frac{c}{a} \\
x_{1}x_{2}x_{3} = - \frac{d}{a}
\end{matrix} \right.\)
B. Ví dụ minh họa áp dụng hệ thức Viète
Ví dụ 1. Cho phương trình \(x^{3} - 6mx + 5
- 5m^{2} = 0\) với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Hướng dẫn giải
Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt là \(x_{1},\ \ x_{2},\ \ x_{3}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng, suy ra: \(x_{1} + x_{3} =
2x_{2}\ \ \ \ (1).\)
Theo định lý Viète thì \(x_{1} + x_{2} +
x_{3} = 0\ \ \ (2).\)
Từ (1) và (2) được \(x_{2} =
0.\)
Thay \(x = 0\) vào phương trình: \(0^{3} - 6m.0 + 5 - 5m^{2} = 0
\Leftrightarrow m = \pm 1\).
Điều kiện đủ:
• Với \(m = 1\) phương trình là:
\(x^{3} - 6x = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = \pm \sqrt{6}
\end{matrix} \right.\) (thỏa mãn).
• Với \(m = - 1\) phương trình là:
\(x^{3} + 6x = 0 \Leftrightarrow x =
0\) (không thỏa mãn).
Kết luận: \(m = 1\).
Ví dụ 2. Gọi \(M\left( x_{M};y_{M}
\right)\) là một điểm thuộc \((C):y =
x^{3} - 3x^{2} + 2,\) biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tạ điểm \(N\left( x_{N};y_{N} \right)\) (khác M). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P =
5x_{M}^{2} + x_{N}^{2}.\)
Hướng dẫn giải
Giả sử tuyến của (C) tại \(M\) là \(d:y = px + q\). Khi đó ta có phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^{3} - 3x^{2} - px + 2 - q = 0\ \ \
(*).\)
Theo đề bài \((*)\) có hai nghiệm \(x_{M},\ \ x_{N}\) trong đó nghiệm \(x_{M}\) là nghiệm kép (do \(M\) là tiếp điểm).
Theo định lý Viète thì \(x_{M} + x_{M} +
x_{N} = 3 \Rightarrow x_{N} = 3 - 2x_{M}\) dẫn đến:
\(P = 5x_{M}^{2} + \left( 3 - 2x_{M}
\right)^{2} = 9x_{M}^{2} - 12x_{M} + 9 = \left( 3x_{M} - 2 \right)^{2} +
5 \geq 5.\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x_{M} =
\frac{2}{3}\).
Vậy \(\min P = 5.\)
Ví dụ 3. Cho các số thực dương \(a;b;c\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{matrix}
a < 1 \\
abc = 1000 \\
bc(1 - a) + a(b + c) = 110
\end{matrix} \right.\). Chứng minh rằng \(c \in (10;100).\)
Hướng dẫn giải
Từ \(\left\{ \begin{matrix}
abc = 1000 \\
bc(1 - a) + a(b + c) = 110
\end{matrix} \right.\)
Suy ra \(\left\{ \begin{matrix}
ab + bc + ca = 1110 \\
abc = 1000
\end{matrix} \right.\).
Do đó \(a,\ \ b,\ \ c\) là ba nghiệm của phương trình \(x^{3} - mx^{2} + 1110x -
1000 = 0\) với \(m = a + b + c >
0.\)
Phương trình được viết lại:
\((x - 1)(x - 10)(x - 100) = (m -
111)x^{2}\ \ \ (*).\)
Do \(x = a\) là nghiệm của \((*)\) và \(0 <
a < 1\) nên \((m - 111)a^{2} = (a -
1)(a - 10)(a - 100) < 0 \Rightarrow m - 111 < 0.\)
Dẫn đến: \(\left\{ \begin{matrix}
(c - 1)(c - 10)(c - 100) = (m - 111)c^{2} < 0 \\
(b - 1)(b - 10)(b - 100) = (m - 111)b^{2} < 0
\end{matrix} \right.\)
\(\Rightarrow b,c \in (0;1) \cup
(10;100).\)
Nếu \(c \in (0;1) \Rightarrow b =
\frac{1000}{ac} > \frac{1000}{1} > 100\) (vô lý).
Vậy \(c \in (10;100)\) (điều phải chứng minh).
------------------------------------
Qua bài viết này, bạn đã được hệ thống lại kiến thức trọng tâm về Định lý Viète phương trình bậc ba, hiểu rõ cách thiết lập, biến đổi và vận dụng hệ thức Viète trong giải toán. Việc nắm vững định lý này không chỉ giúp bạn rút gọn lời giải nhanh hơn, mà còn tăng độ chính xác khi làm bài thi. Hãy tiếp tục luyện tập thêm nhiều bài tập hệ thức Viète nâng cao để củng cố kỹ năng và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
