VnDoc.com

Bài tập phương trình lượng giác (Có đáp án)

Giải phương trình lượng giác

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập phương trình lượng giác

Phần I. Bài tập Phương trình lượng giác
Phần II. Đáp án bài tập phương trình lượng giác

VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Bài tập phương trình lượng giác Toán 11. Tài liệu này bổ trợ cho các bạn cách tìm tập xác định của hàm lượng giác, cách giải phương trình lượng giác đã được chia thành các dạng cụ thể giúp các bạn nắm chắc kiến thức, tăng khả năng nhận biết, tính toán bài tập. Tài liệu được VnDoc biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

Phần I. Bài tập Phương trình lượng giác

Bài tập 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\sin x = 0$ $\sin x = 0$ b) $\sin\left( \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} \right) = 0$ $\sin\left( \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} \right) = 0$

c) $\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ d) $\sin x.cosx = \frac{1}{2}$ $\sin x.cosx = \frac{1}{2}$

e) $cos3x = \cos\frac{\pi}{15}$ $cos3x = \cos\frac{\pi}{15}$ f) $\tan x = \cot x$ $\tan x = \cot x$

Bài tập 2. Hỏi trên đoạn $\lbrack - 2023;2023\rbrack$ $\lbrack - 2023;2023\rbrack$, phương trình $\left( \sin x + 1 \right)\left( \sin x - \sqrt{2} \right) = 0$ $\left( \sin x + 1 \right)\left( \sin x - \sqrt{2} \right) = 0$ có tất cả bao nhiêu nghiệm?

Bài tập 3. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\sin\left( 3x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin\left( 3x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ bằng bao nhiêu?

Bài tập 4. Cho $\widehat{AOC} = \widehat{AOF} = \frac{\pi}{6}$ $\widehat{AOC} = \widehat{AOF} = \frac{\pi}{6}$ như hình vẽ dưới đây. Nghiệm của phương trình $2sinx + 1 = 0$ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?

Bài tập 5. Tìm tập các giá trị của tham số $m$ để phương trình $2\sin\left( x + \frac{2017\pi}{2} \right) + 3m = 0$ $2\sin\left( x + \frac{2017\pi}{2} \right) + 3m = 0$ có nghiệm?

Bài tập 6. Tìm tập nghiệm của các phương trình lượng giác sau:

a) $2sin\left( 4x - \frac{\pi}{3} \right) - 1 = 0.$ $2sin\left( 4x - \frac{\pi}{3} \right) - 1 = 0.$b) $\tan\left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) + \sqrt{3} = 0$ $\tan\left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) + \sqrt{3} = 0$c) $4sin^{2}x = 3$ $4sin^{2}x = 3$

Bài tập 7. a) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\sqrt{3}\cos x + m - 1 = 0$ $\sqrt{3}\cos x + m - 1 = 0$ có nghiệm?

b) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\lbrack - 2023;\ \ \ 2023\rbrack$ $\lbrack - 2023;\ \ \ 2023\rbrack$ để phương trình $m\cos x + 1 = 0$ $m\cos x + 1 = 0$ có nghiệm?

c) Tìm giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $(m - 2)sin2x = m + 1$ nhận $x = \frac{\pi}{12}$ $x = \frac{\pi}{12}$ làm nghiệm.

Bài tập 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để các phương trình dưới đây có nghiệm:

a) $(m + 1)\sin x + 2 - m = 0$ $(m + 1)\sin x + 2 - m = 0$. b) $(m - 2)sin2x = m + 1$ .

Bài tập 9. Hỏi trên $\left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} \right)$ $\left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} \right)$, phương trình $2sin^{2}x - 3sinx + 1 = 0$ $2sin^{2}x - 3sinx + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

Bài tập 10. Số nghiệm của phương trình $sin2x + \sqrt{3}cos2x = \sqrt{3}$ $sin2x + \sqrt{3}cos2x = \sqrt{3}$ trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$ $\left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$ là?

Bài tập 11. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $sin^{2}x - \left( \sqrt{3} + 1 \right)\sin x\cos x + \sqrt{3}cos^{2}x = 0.$ $sin^{2}x - \left( \sqrt{3} + 1 \right)\sin x\cos x + \sqrt{3}cos^{2}x = 0.$

b) $cos^{2}x - sin2x = \sqrt{2} + sin^{2}x$ $cos^{2}x - sin2x = \sqrt{2} + sin^{2}x$

c) $3sin3x - \sqrt{3}cos9x = 1 + 4sin^{3}3x.$ $3sin3x - \sqrt{3}cos9x = 1 + 4sin^{3}3x.$

d) $\sqrt{3}\cos\left( x + \frac{\pi}{2} \right) + \sin\left( x - \frac{\pi}{2} \right) = 2sin2x.$ $\sqrt{3}\cos\left( x + \frac{\pi}{2} \right) + \sin\left( x - \frac{\pi}{2} \right) = 2sin2x.$

Bài tập 12. Xác định số nghiệm của phương trình $sin5x + \sqrt{3}cos5x = 2sin7x$ $sin5x + \sqrt{3}cos5x = 2sin7x$ trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$ $\left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$?

Bài tập 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\lbrack - 10;10\rbrack$ $\lbrack - 10;10\rbrack$ để phương trình $\sin\left( x - \frac{\pi}{3} \right) - \sqrt{3}\cos\left( x - \frac{\pi}{3} \right) = 2m$ $\sin\left( x - \frac{\pi}{3} \right) - \sqrt{3}\cos\left( x - \frac{\pi}{3} \right) = 2m$ vô nghiệm.

Bài tập 14. Tính tổng $T$ tất cả các nghiệm của phương trình $2cos2x + 2cosx - \sqrt{2} = 0$ $2cos2x + 2cosx - \sqrt{2} = 0$ trên đoạn $\lbrack 0;3\pi\rbrack$ $\lbrack 0;3\pi\rbrack$.

Bài tập 15. Biết rằng khi $m = m_{0}$ $m = m_{0}$ thì phương trình $2sin^{2}x - (5m + 1)\sin x + 2m^{2} + 2m = 0$ $2sin^{2}x - (5m + 1)\sin x + 2m^{2} + 2m = 0$ có đúng $5$ nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};3\pi \right)$ $\left( - \frac{\pi}{2};3\pi \right)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $m = - 3$ B. $m = \frac{1}{2}$ $m = \frac{1}{2}$ C. $m_{0} \in \left( \frac{3}{5};\frac{7}{10} \right\rbrack$ $m_{0} \in \left( \frac{3}{5};\frac{7}{10} \right\rbrack$ D. $m_{0} \in \left( - \frac{3}{5}; - \frac{2}{5} \right)$ $m_{0} \in \left( - \frac{3}{5}; - \frac{2}{5} \right)$

Phần II. Đáp án bài tập phương trình lượng giác

Bài tập 1.

a) Ta có: $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$ $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$, $k\mathbb{\in Z}$ $k\mathbb{\in Z}$

b) Phương trình $\sin\left( \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} = k\pi$ $\sin\left( \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} = k\pi$

$\Leftrightarrow \frac{2x}{3} = \frac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + \frac{k3\pi}{2}\ \left( k\mathbb{\in Z} \right).$ $\Leftrightarrow \frac{2x}{3} = \frac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + \frac{k3\pi}{2}\ \left( k\mathbb{\in Z} \right).$

c) Ta có:

$\sin\left( x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{3} + k2\pi\end{matrix} \right.$ $\sin\left( x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{3} + k2\pi\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \frac{\pi}{12} + k2\pi \\x = \frac{5\pi}{12} + k2\pi\end{matrix} \right.\ \left( k\mathbb{\in Z} \right)$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \frac{\pi}{12} + k2\pi \\x = \frac{5\pi}{12} + k2\pi\end{matrix} \right.\ \left( k\mathbb{\in Z} \right)$

d) Ta có:

$\sin x.cosx = \frac{1}{2}\Leftrightarrow sin2x = 1$ $\sin x.cosx = \frac{1}{2}\Leftrightarrow sin2x = 1$

$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ $\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ $\left( k\mathbb{\in Z} \right)$ $\left( k\mathbb{\in Z} \right)$.

e) Ta có:

$cos3x = \cos\frac{\pi}{15}\Leftrightarrow 3x = \pm \frac{\pi}{15} + k2\pi$ $cos3x = \cos\frac{\pi}{15}\Leftrightarrow 3x = \pm \frac{\pi}{15} + k2\pi$ $\Leftrightarrow x = \pm\frac{\pi}{45} + \frac{k2\pi}{3}$ $\Leftrightarrow x = \pm\frac{\pi}{45} + \frac{k2\pi}{3}$.

f) Điều kiện $\left\{ \begin{matrix} \sin x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{matrix} \right.\ \ \Leftrightarrow sin2x \neq 0\ \Leftrightarrow x \neq m\frac{\pi}{2}\ \ ,\ m\mathbb{\in Z}$ $\left\{ \begin{matrix} \sin x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{matrix} \right.\ \ \Leftrightarrow sin2x \neq 0\ \Leftrightarrow x \neq m\frac{\pi}{2}\ \ ,\ m\mathbb{\in Z}$

$\tan x = \cot x \Leftrightarrow \tan x =\tan\left( \frac{\pi}{2} - x \right)$ $\tan x = \cot x \Leftrightarrow \tan x =\tan\left( \frac{\pi}{2} - x \right)$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} -x + k\pi$ $\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} -x + k\pi$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\ \ \ \left(\ k\mathbb{\in Z} \right)$ $\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\ \ \ \left(\ k\mathbb{\in Z} \right)$ thỏa mãn điều kiện.

Bài tập 2.

Gợi ý:

Áp dụng Công thức lượng giác cơ bản của hàm sin(x); sau đó xét các khoảng giá trị tương ứng của k.

Hướng dẫn giải:

Ta xét phương trình: $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x = - 1 \\ \sin x = \sqrt{2}(VN) \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x = - 1 \\ \sin x = \sqrt{2}(VN) \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi\ \ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right).$ $\Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi\ \ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right).$

Theo giả thiết ta có:

$- 2023 \leq -\frac{\pi}{2} + k2\pi \leq 2023$ $- 2023 \leq -\frac{\pi}{2} + k2\pi \leq 2023$

$\Leftrightarrow \frac{- 2023 +\frac{\pi}{2}}{2\pi} \leq k \leq \frac{2023 +\frac{\pi}{2}}{2\pi}$ $\Leftrightarrow \frac{- 2023 +\frac{\pi}{2}}{2\pi} \leq k \leq \frac{2023 +\frac{\pi}{2}}{2\pi}$

$\overset{xap\ xi}{\rightarrow} - 321,720 \leq k \leq 322,220\overset{k\mathbb{\in Z}}{\rightarrow}k \in \left\{ - 321; - 320;...;321;322 \right\}.$ $\overset{xap\ xi}{\rightarrow} - 321,720 \leq k \leq 322,220\overset{k\mathbb{\in Z}}{\rightarrow}k \in \left\{ - 321; - 320;...;321;322 \right\}.$

Vậy có tất cả $644$ giá trị nguyên của $k$ tương úng với có $644$ nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 3.

Gợi ý:

Áp dụng Công thức lượng giác cơ bản của hàm sin(x); sau đó xét các khoảng giá trị tương ứng của x rồi so sánh tìm ra nghiệm âm MAX và nghiệm dương MIN.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\sin\left( 3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin\left( 3x -\frac{\pi}{4} \right) = \sin\frac{\pi}{3}$ $\sin\left( 3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin\left( 3x -\frac{\pi}{4} \right) = \sin\frac{\pi}{3}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\3x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{3} + k2\pi\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\3x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{3} + k2\pi\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3x = \frac{7\pi}{12} + k2\pi \\ 3x = \frac{11\pi}{12} + k2\pi \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3} \\ x = \frac{11\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3} \end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right).$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3x = \frac{7\pi}{12} + k2\pi \\ 3x = \frac{11\pi}{12} + k2\pi \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3} \\ x = \frac{11\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3} \end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right).$

Trường hợp 1. Với $x = \frac{7\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3}\overset{Cho}{\rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} x > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{7}{24} \Rightarrow k_{\min} = 0 \rightarrow x = \frac{7\pi}{36} \\ x < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{7}{24} \Rightarrow k_{\max} = - \ 1 \rightarrow x = - \frac{17\pi}{36} \end{matrix} \right.\ .$ $x = \frac{7\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3}\overset{Cho}{\rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} x > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{7}{24} \Rightarrow k_{\min} = 0 \rightarrow x = \frac{7\pi}{36} \\ x < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{7}{24} \Rightarrow k_{\max} = - \ 1 \rightarrow x = - \frac{17\pi}{36} \end{matrix} \right.\ .$

Trường hợp 2. Với $x = \frac{11\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3}\overset{Cho}{\rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} x > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{11}{24} \Rightarrow k_{\min} = 0 \rightarrow x = \frac{11\pi}{36} \\ x < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{11}{24} \Rightarrow k_{\max} = - \ 1 \rightarrow x = - \frac{13\pi}{36} \end{matrix} \right.\ .$ $x = \frac{11\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3}\overset{Cho}{\rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} x > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{11}{24} \Rightarrow k_{\min} = 0 \rightarrow x = \frac{11\pi}{36} \\ x < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{11}{24} \Rightarrow k_{\max} = - \ 1 \rightarrow x = - \frac{13\pi}{36} \end{matrix} \right.\ .$

So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là $x = - \frac{13\pi}{36}$ $x = - \frac{13\pi}{36}$ và nghiệm dương nhỏ nhất là $x = \frac{7\pi}{36}$ $x = \frac{7\pi}{36}$. Khi đó tổng hai nghiệm này bằng $- \frac{13\pi}{36} + \frac{7\pi}{36} = - \frac{\pi}{6}$ $- \frac{13\pi}{36} + \frac{7\pi}{36} = - \frac{\pi}{6}$.

Bài tập 4.

Gợi ý:

Áp dụng Công thức lượng giác cơ bản của hàm sin(x); sau đó xét các khoảng giá trị tương ứng của x trên đường tròn lượng giác.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $2sinx + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{- 1}{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right)$ $2sinx + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{- 1}{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right)$.

Các cung lượng giác $x = - \frac{\pi}{6} + k2\pi$ $x = - \frac{\pi}{6} + k2\pi$, $x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi$ $x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi$ lần lượt được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi các điểm $F$ và $E$.

Bài tập 5.

Ta có: $2\sin\left( x + \frac{2017\pi}{2} \right) + 3m = 0 \Leftrightarrow sin\left( x + \frac{2017\pi}{2} \right) = - \frac{3m}{2}$ $2\sin\left( x + \frac{2017\pi}{2} \right) + 3m = 0 \Leftrightarrow sin\left( x + \frac{2017\pi}{2} \right) = - \frac{3m}{2}$ có nghiệm

khi và chỉ khi $- 1 \leq - \frac{3m}{2} \leq 1 \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \leq m \leq \frac{2}{3}$ $- 1 \leq - \frac{3m}{2} \leq 1 \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \leq m \leq \frac{2}{3}$.

Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!

------------------------------------------------

Trên đây VnDoc đã chia sẻ đến các bạn học sinh Bài tập phương trinh lượng giác - Có đáp án. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của đề thi rồi đúng không ạ? Bài viết nhằm cung cấp cơ sở kiến thức ôn tập cho các bạn học sinh, giúp các bạn tiếp xúc với nhiều dạng bài về hàm số lượng giác.

Mong rằng qua bài viết này bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 11 nhé. Để giúp các bạn có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa, VnDoc.com mời bạn đọc cùng tham khảo thêm tài liệu học tập các môn học khác. Chúc các bạn ôn tập thật tốt!

Ngoài ra, VnDoc mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Bài tập phương trình lượng giác (Có đáp án)

621,3 KB

Tải xuống Word
242 KB

Chia sẻ bởi:
Đen2017

18

16.923

Bài trước

Bài sau

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!