Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Các công thức lượng giác Toán 10

VnDoc.com xin giới thiệu tới các bạn học sinh Các công thức lượng giác Toán 10. Tài liệu công thức lượng giác này sẽ giúp các bạn ôn tập những công thức lượng giác cơ bản, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc và các bài tập ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết ,... giúp các bạn củng cố, nâng cao kĩ năng tính toán và làm bài tập Toán 10. Mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 10, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 10 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

1. Công thức lượng giác cơ bản

  • {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1sin2x+cos2x=1
  • \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}cotx=cosxsinx
  • \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}tanx=sinxcosx
  • {{\cot }^{2}}x+1=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}cot2x+1=1sin2x
  • {{\tan }^{2}}x+1=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}tan2x+1=1cos2x
  • \tan x.\cot x=1tanx.cotx=1

2. Công thức cộng

  • \cos \left( a+b \right)=\cos a.\cos b-\sin a.\sin bcos(a+b)=cosa.cosbsina.sinb
  • \cos \left( a-b \right)=\cos a.\cos b+\sin a.\sin bcos(ab)=cosa.cosb+sina.sinb
  • \tan \left( a+b \right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a.\tan b}tan(a+b)=tana+tanb1tana.tanb
  • \sin \left( a+b \right)=\sin a.\cos b+\cos a.\sin bsin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb
  • \sin \left( a+b \right)=\sin a.\cos b-\cos a.\sin bsin(a+b)=sina.cosbcosa.sinb
  • \tan \left( a-b \right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a.\tan b}tan(ab)=tanatanb1+tana.tanb

3. Công thức nhân đôi, công thức nhân ba

  • \sin 2a=2\sin a.\cos bsin2a=2sina.cosb
  • \cos 2a={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}a=2{{\cos }^{2}}a-1=1-2{{\sin }^{2}}acos2a=cos2asin2a=2cos2a1=12sin2a
  • \cos 3a=4{{\cos }^{3}}a-3\cos acos3a=4cos3a3cosa
  • \sin 3a=3\sin a-4{{\sin }^{3}}asin3a=3sina4sin3a
  • \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{{\tan }^{2}}a}tan2a=2tana1tan2a

4. Công thức hạ bậc

  • \cos a=\pm \sqrt{\frac{1+\cos 2a}{2}}cosa=±1+cos2a2
  • \sin a=\pm \sqrt{\frac{1-\cos 2a}{2}}sina=±1cos2a2

Đặt t=\tan \frac{a}{2}t=tana2 ta có công thức sau:

  • \sin a=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}sina=2t1+t2
  • \cos a=\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}cosa=1t21+t2
  • \tan a=\frac{2t}{1-{{t}^{2}}}tana=2t1t2

5. Công thức biến đổi tổng thành tích

  • \cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}.\cos \frac{a-b}{2}cosa+cosb=2cosa+b2.cosab2
  • \cos a-\cos b=-\sin \frac{a+b}{2}.\sin \frac{a-b}{2}cosacosb=sina+b2.sinab2
  • \sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}.\cos \frac{a-b}{2}sina+sinb=2sina+b2.cosab2
  • \sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}.\sin \frac{a-b}{2}sinasinb=2cosa+b2.sinab2
  • \tan a+\tan b=\frac{\sin \left( a+b \right)}{\cos a.\cos b}tana+tanb=sin(a+b)cosa.cosb
  • \tan a-\tan b=\frac{\sin \left( a-b \right)}{\cos a.\cos b}tanatanb=sin(ab)cosa.cosb
  • \cot a+\cot b=\frac{\sin \left( a+b \right)}{\sin a.\sin b}cota+cotb=sin(a+b)sina.sinb
  • \cot a-\cot b=-\frac{\sin \left( a-b \right)}{\sin a.\sin b}cotacotb=sin(ab)sina.sinb

6. Công thức biến đổi tích thành tổng

\sin a.\sin b=\frac{1}{2}\left[ \sin \left( a+b \right)+\sin \left( a-b \right) \right]sina.sinb=12[sin(a+b)+sin(ab)]

\sin a.\sin b=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( a-b \right)+\cos \left( a+b \right) \right]sina.sinb=12[cos(ab)+cos(a+b)]

\cos a.\cos b=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( a+b \right)+\cos \left( a-b \right) \right]cosa.cosb=12[cos(a+b)+cos(ab)]

7. Bài tập công thức lượng giác

Bài tập 1: Chứng minh các biểu thức sau:

a. \frac{2\sin a-\sin2a}{2\sin a+\sin2a}=\frac{1}{\cos^2\frac{a}{2}}-12sinasin2a2sina+sin2a=1cos2a21

b. \frac{1+\cos 2x-\sin 2x}{1+\cos 2x+\sin 2x}=-\tan \left( x-\frac{\pi }{4} \right)1+cos2xsin2x1+cos2x+sin2x=tan(xπ4)

c. \frac{1+\sin x}{1-\sin x}={{\cot }^{2}}\left( \frac{\pi }{4}-\frac{a}{2} \right)1+sinx1sinx=cot2(π4a2)

Hướng dẫn giải

a. \frac{2\sin a-\sin 2a}{2\sin a+\sin 2a}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\frac{a}{2}}-12sinasin2a2sina+sin2a=1cos2a21

Biến đổi vế trái ta có:

\begin{align}

& \frac{2\sin a-\sin 2a}{2\sin a+\sin 2a}=\frac{2\sin a-2\sin a.\cos a}{2\sin a+2\sin a\cos a}=\frac{1-\cos a}{1+\cos a} \\

& =\frac{2{{\sin }^{2}}\dfrac{a}{2}}{2{{\cos }^{2}}\dfrac{a}{2}}={{\tan }^{2}}\frac{a}{2}=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\dfrac{a}{2}-1}=VP \\

\end{align}(1)2sinasin2a2sina+sin2a=2sina2sina.cosa2sina+2sinacosa=1cosa1+cosa(2)=2sin2a22cos2a2=tan2a2=1cos2a21=VP

b. \frac{1+\cos 2x-\sin 2x}{1+\cos 2x+\sin 2x}=-\tan \left( x-\frac{\pi }{4} \right)1+cos2xsin2x1+cos2x+sin2x=tan(xπ4)

Biến đổi vế trái ta có:

\begin{align}

& \frac{1+\cos 2x-\sin 2x}{1+\cos 2x+\sin 2x}=\frac{2{{\cos }^{2}}x-2\sin x.\cos x}{2{{\cos }^{2}}x+2\sin x.\cos x}=\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} \\

& =\frac{\sqrt{2}\sin \left( \dfrac{\pi }{4}-x \right)}{\sqrt{2}\cos \left( \dfrac{\pi }{4}-x \right)}=\tan \left( \dfrac{\pi }{4}-x \right)=-\tan \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right) \\

\end{align}(3)1+cos2xsin2x1+cos2x+sin2x=2cos2x2sinx.cosx2cos2x+2sinx.cosx=cosxsinxcosx+sinx(4)=2sin(π4x)2cos(π4x)=tan(π4x)=tan(xπ4)

c. \frac{1+\sin x}{1-\sin x}={{\cot }^{2}}\left( \frac{\pi }{4}-\frac{x}{2} \right)1+sinx1sinx=cot2(π4x2)

Biến đổi vế trái ta có:

\begin{align}

& \frac{1+\sin x}{1-\sin x}=\dfrac{{{\cos }^{2}}\dfrac{x}{2}+{{\sin }^{2}}\dfrac{x}{2}+2\sin \dfrac{x}{2}.\cos \dfrac{x}{2}}{{{\cos }^{2}}\dfrac{x}{2}+{{\sin }^{2}}\dfrac{x}{2}-2\sin \dfrac{x}{2}.\cos \dfrac{x}{2}} \\

& =\dfrac{{{\left( \cos \dfrac{x}{2}+\sin \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}{{{\left( \cos \dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{2{{\cos }^{2}}\left( \dfrac{\pi }{4}-\dfrac{x}{2} \right)}{2{{\sin }^{2}}\left( \dfrac{\pi }{4}-\dfrac{x}{2} \right)}={{\cot }^{2}}\left( \dfrac{\pi }{4}-\dfrac{a}{2} \right)=VP \\

\end{align}(5)1+sinx1sinx=cos2x2+sin2x2+2sinx2.cosx2cos2x2+sin2x22sinx2.cosx2(6)=(cosx2+sinx2)2(cosx2sinx2)2=2cos2(π4x2)2sin2(π4x2)=cot2(π4a2)=VP

Bài tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a. 1-4{{\sin }^{2}}a.{{\cos }^{2}}a14sin2a.cos2a
b. \frac{1+\cos 2x-\cos x}{\sin 2x-\sin x}1+cos2xcosxsin2xsinx
c. \frac{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}cosx+cos2x+cos3xsinx+sin2x+sin3x
d. {{\cos }^{3}}x+{{\sin }^{3}}x-\sin x-\cos xcos3x+sin3xsinxcosx

Hướng dẫn giải

a. 1-4{{\sin }^{2}}a.{{\cos }^{2}}a=1-{{\sin }^{2}}2a={{\cos }^{2}}2a14sin2a.cos2a=1sin22a=cos22a

b. \frac{1+\cos 2x-\cos x}{\sin 2x-\sin x}=\frac{2{{\cos }^{2}}x-\cos x}{2\sin x.\cos x-\sin x}=\frac{\cos x\left( 2\cos x-1 \right)}{\sin x\left( 2\cos x-1 \right)}=\frac{\cos x}{\sin x}=\tan x1+cos2xcosxsin2xsinx=2cos2xcosx2sinx.cosxsinx=cosx(2cosx1)sinx(2cosx1)=cosxsinx=tanx

c.

\begin{align}

& \frac{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}=\frac{\cos 2x+\left( \cos x+\cos 3x \right)}{\sin 2x+\left( \sin x+\sin 3x \right)} \\

& =\frac{\cos 2x+2\cos 2x.\cos x}{\sin 2x+2\sin 2x.\cos x}=\frac{\cos 2x\left( 1+2\cos x \right)}{\sin 2x\left( 1+2\cos x \right)}=\cot 2x \\

\end{align}(7)cosx+cos2x+cos3xsinx+sin2x+sin3x=cos2x+(cosx+cos3x)sin2x+(sinx+sin3x)(8)=cos2x+2cos2x.cosxsin2x+2sin2x.cosx=cos2x(1+2cosx)sin2x(1+2cosx)=cot2x

d.

\begin{align}

& {{\cos }^{3}}x+{{\sin }^{3}}x-\sin x-\cos x \\

& =\left( \cos x+\sin x \right)\left( {{\cos }^{2}}x-\sin x.\cos x+{{\sin }^{2}}x \right)-\left( \sin x+\cos x \right) \\

& =\left( \sin x+\cos x \right)\left[ {{\cos }^{2}}x-\sin x.\cos x+{{\sin }^{2}}x-1 \right] \\

& =\left( \sin x+\cos x \right)\left( -\sin x.\cos x \right)=-\dfrac{\sin 2x.\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)}{\sqrt{2}} \\

\end{align}(9)cos3x+sin3xsinxcosx(10)=(cosx+sinx)(cos2xsinx.cosx+sin2x)(sinx+cosx)(11)=(sinx+cosx)[cos2xsinx.cosx+sin2x1](12)=(sinx+cosx)(sinx.cosx)=sin2x.sin(x+π4)2

Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số lượng giác sau:

a. y=\sqrt{1-\sin \left( {{x}^{2}} \right)}-1y=1sin(x2)1
b. y=2{{\sin }^{2}}x-\cos 2x+1y=2sin2xcos2x+1
c. y={{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{4}}xy=cos4xsin4x
d. y=1-8{{\cos }^{2}}x.{{\sin }^{2}}xy=18cos2x.sin2x

Hướng dẫn giải

a. y=\sqrt{1-\sin \left( {{x}^{2}} \right)}-1y=1sin(x2)1

Điều kiện xác định: 1-\sin \left( {{x}^{2}} \right)\ge 01sin(x2)0

Ta có:

\begin{align}

& -1\le \sin \left( {{x}^{2}} \right)\le 1 \\

& \Leftrightarrow 1\ge -\sin \left( {{x}^{2}} \right)\ge -1 \\

& \Leftrightarrow 0\ge 1-\sin \left( {{x}^{2}} \right)\ge 2 \\

& \Leftrightarrow -1\ge \sqrt{1-\sin \left( {{x}^{2}} \right)}-1\ge \sqrt{2}-1 \\

\end{align}(13)1sin(x2)1(14)1sin(x2)1(15)01sin(x2)2(16)11sin(x2)121

GTNN của hàm số là -1 tại x=\pm \sqrt{\frac{\pi }{2}+k2\pi },k\in {{\mathbb{Z}}^{+}}x=±π2+k2π,kZ+

GTLN của hàm số là \sqrt{2}-121 tại x=\pm \sqrt{\frac{-\pi }{2}+k2\pi },k\in {{\mathbb{Z}}^{+}}x=±π2+k2π,kZ+

b. y=2{{\sin }^{2}}x-\cos 2x+1=2{{\sin }^{2}}x-1+2{{\sin }^{2}}x+1=4{{\sin }^{2}}xy=2sin2xcos2x+1=2sin2x1+2sin2x+1=4sin2x

Ta có:

\begin{align}

& -1\le \sin \left( x \right)\le 1 \\

& \Leftrightarrow 0\le {{\sin }^{2}}\left( x \right)\le 1 \\

& \Leftrightarrow 0\le 4{{\sin }^{2}}\left( x \right)\le 4 \\

\end{align}(17)1sin(x)1(18)0sin2(x)1(19)04sin2(x)4

GTNN của hàm số là 0 tại x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}x=kπ,kZ

GTLN của hàm số là 4 tại x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}x=π2+kπ,kZ

c.

\begin{align}

& y={{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{4}}x={{\left( {{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-{{\left( {{\sin }^{2}}x \right)}^{2}} \\

& =\left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)\left( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x \right)=\cos 2x \\

& -1\le \cos 2x\le 1 \\

\end{align}(20)y=cos4xsin4x=(cos2x)2(sin2x)2(21)=(cos2xsin2x)(cos2x+sin2x)=cos2x(22)1cos2x1

GTNN của hàm số là -1 tại x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}x=π2+kπ,kZ

GTLN của hàm số là 1 tại x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}x=kπ,kZ

d.

\begin{align}

& y=1-8{{\cos }^{2}}x.{{\sin }^{2}}x=1-2{{\sin }^{2}}2x=\cos 4x \\

& -1\le \cos 4x\le 1 \\

\end{align}(23)y=18cos2x.sin2x=12sin22x=cos4x(24)1cos4x1

GTNN của hàm số là -1 tại x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}x=π4+kπ2,kZ

GTLN của hàm số là 1 tại x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}x=kπ2,kZ

Bài tập 4: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:

a. {{\cos }^{4}}x\left( 3-{{\cos }^{2}}x \right)+{{\sin }^{4}}x.\left( 3-2{{\sin }^{2}}x \right)cos4x(3cos2x)+sin4x.(32sin2x)

b. {{\sin }^{2}}x\left( 1+\cot x \right)+{{\cos }^{2}}x.\left( 1-\tan x \right)sin2x(1+cotx)+cos2x.(1tanx)

Hướng dẫn giải

a.

\begin{align}

& {{\cos }^{4}}x\left( 3-2{{\cos }^{2}}x \right)+{{\sin }^{4}}x.\left( 3-2{{\sin }^{2}}x \right) \\

& =3.\left( {{\cos }^{4}}x+{{\sin }^{4}}x \right)-2\left( {{\cos }^{6}}x+{{\sin }^{6}}x \right) \\

& =3\left( 1-2{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x \right)-2\left( 1-3{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x \right) \\

& =1 \\

\end{align}(25)cos4x(32cos2x)+sin4x.(32sin2x)(26)=3.(cos4x+sin4x)2(cos6x+sin6x)(27)=3(12sin2x.cos2x)2(13sin2x.cos2x)(28)=1

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến x

b.

\begin{align}

& {{\sin }^{2}}x\left( 1+\cot x \right)+{{\cos }^{2}}x.\left( 1-\tan x \right) \\

& ={{\sin }^{2}}x+\frac{{{\sin }^{2}}x.\cos x}{\sin x}+{{\cos }^{2}}x-\frac{{{\cos }^{2}}x.\sin x}{\cos x} \\

& =1 \\

\end{align}(29)sin2x(1+cotx)+cos2x.(1tanx)(30)=sin2x+sin2x.cosxsinx+cos2xcos2x.sinxcosx(31)=1

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến x

Bài tập 5: Rút gọn hệ thức

a. A=\cos \left( \frac{\pi }{2}+x \right)+\cos \left( 2\pi -x \right)+\cos \left( 3\pi +x \right)A=cos(π2+x)+cos(2πx)+cos(3π+x)

b. B=\cos \left( x+\frac{\pi }{2} \right)+\sin \left( x+\frac{3\pi }{2} \right)+\sin \left( 4\pi -x \right)+2\sin \left( x+\frac{\pi }{2} \right)B=cos(x+π2)+sin(x+3π2)+sin(4πx)+2sin(x+π2)

---------------------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn bài Các công thức lượng giác Toán 10. Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh sẽ nắm chắc kiến thức vận dụng tốt vào giải bài tập từ đó học tốt môn Toán lớp 10. Chúc các bạn học tốt và nhớ thường xuyên tương tác để cập nhật được nhiều bài tập hay bổ ích nhé!

Ngoài ra, VnDoc giới thiệu thêm tới bạn đọc tham khảo một vài tài liệu liên quan tới chương trình lớp 10: Ngữ Văn 10, Tiếng Anh lớp 10, Vật lý lớp 10,...

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
Chọn file muốn tải về:
Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Sắp xếp theo

    Nhiều người đang xem

    🖼️

    Gợi ý cho bạn

    Xem thêm
    🖼️

    Chuyên đề Toán 10

    Xem thêm
    Chia sẻ
    Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
    Mã QR Code
    Đóng