Cách giải các dạng bài tập lượng giác lớp 10
Cách giải các dạng bài tập lượng giác lớp 10
VnDoc.com xin giới thiệu tới các bạn học sinh Cách giải các dạng bài tập lượng giác lớp 10 để bạn đọc cùng tham khảo. Bài tập lượng giác này sẽ giúp các bạn ôn tập và luyện các dạng bài tập về công thức lượng giác cơ bản, định hướng cách làm bài tập,... trong chương trình trọng tâm phần Đại số môn Toán 10. Mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé.
- Bài tập công thức lượng giác lớp 10
- Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12
- Giáo án ôn tập hè môn Toán lớp 10
- Bài tập trắc nghiệm hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
- Cách học thuộc nhanh Bảng công thức lượng giác bằng thơ
Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.
Công thức lượng giác lớp 10
1. Công thức Lượng giác cơ bản
 \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) |
\(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\) |
|
sin2x + cos2x = 1 |
tan x . cot x = 1 |
|
1 + tan2 x = |
1 + cot2 x = |
Chú ý: 1800 ứng với π.
Chú ý
- Nếu \(\alpha\) là góc nhọn thù các giá trị lượng giác của \(\alpha\) đều dương.
- Nếu \(\alpha\) là góc tù thì \(\sin \alpha > 0,\cos \alpha < 0,\tan \alpha < 0,\cot \alpha > 0\)
- \(\tan \alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha \ne {90^0}\)
- \(\cot \alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha \ne {0^0};\alpha \ne {180^0}\).
2. Dấu của các giá trị lượng giác
| Góc phần tư số | I | II | III | IV |
| Giá trị lượng giác | ||||
| sin x | + | + | - | - |
| cos x | + | - | - | + |
| tan x | + | - | + | - |
| cot x | + | - | + | - |
Ví dụ: Xác định dấu của các biểu thức
a) \(A = \sin {50^0}.\cos \left( { - {{100}^0}} \right)\) b) \(B = \sin {195^0}.\tan \frac{{20\pi }}{7}\)
Hướng dẫn giải
a) \(A = \sin {50^0}.\cos \left( { - {{100}^0}} \right)\)
Ta có:
Điểm cuối của cung \(50^0\) thuộc góc phần tư thứ \(I\) nên \(\sin50^0 > 0\).
Điểm cuối của cung \(−100^0\) thuộc góc phần tư thứ \(III\) nên \(\cos(−100^0) < 0\).
=> \(A < 0\)
b) \(B = \sin {195^0}.\tan \frac{{20\pi }}{7}\)
Ta có:
Điểm cuối của cung 1950 thuộc góc phần tư thứ \(III\) nên \(\sin195^0 < 0\).
Điểm cuối của cung \(\frac{{20\pi }}{7} = \frac{{6\pi }}{7} + 2\pi\) thuộc góc phần tư thứ \(II\) nên tan \(\tan \frac{{20\pi }}{7} < 0\).
=> \(B > 0\)
3. Hai góc bù nhau
Với mọi góc \(\alpha\) thỏa mãn \({{0^o} \leqslant \alpha \leqslant {{180}^o}}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha } \\
{\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cos \alpha } \\
{\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha ,(\alpha \ne {{90}^o})} \\
{\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha ,({0^o} < \alpha < {{180}^o})}
\end{array}\)
4. Hai góc phụ nhau
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha } \\
{\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha } \\
{\tan \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cot \alpha ,(\alpha \ne {{90}^o},{0^o} < \alpha < {{180}^o})} \\
{\cot \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \tan \alpha ,(\alpha \ne {{90}^o},{0^o} < \alpha < {{180}^o})}
\end{array}\)
Ví dụ: Rút gọn biểu thức \(A = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) + \cos \left( {2\pi - x} \right) + \cos \left( {3\pi + x} \right)\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix}
\left\{ \begin{gathered}
\cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = - \sin x \hfill \\
\cos \left( {2\pi - x} \right) = \cos x \hfill \\
\cos \left( {3\pi + x} \right) = - \cos x \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\Rightarrow A = - \sin x + \cos x - \cos x = - \sin x \hfill \\
\end{matrix}\)
Ví dụ: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng \(\sin(A+B+2C) = −\sin C\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(A+B+C = 180^0\)
\(⇒ A+B+2C = 180^0 +C\)
\(⇒ \sin(A+B+2C) = \sin(180^0 +C) = −\sin C\)
3. Bài tập lượng giác
Câu 1: Đổi tọa độ cung tròn từ độ sang radian
| a. 1200 | b. 460 |
| c. 200 | d. 1750 |
Hướng dẫn giải
a. 1200 → \(\frac{120}{180}\pi =\frac{2\pi }{3}\)
b. 460 → \(\frac{46}{180}\pi =\frac{23\pi }{90}\)
c. 200 → \(\frac{20}{180}\pi =\frac{\pi }{9}\)
d. 1750 → \(\frac{175}{180}\pi =\frac{35\pi }{36}\)
Câu 2: Đổi tọa độ cung tròn từ radian sang độ
| \(a. \frac{3\pi }{2}\) |
\(b. \frac{\pi }{8}\) |
\(c. \frac{5\pi }{12}\) |
| \(d. \frac{7\pi }{9}\) |
\(e. \frac{5\pi }{9}\) |
Hướng dẫn giải
\(a. \frac{3\pi }{2}\to \frac{3\pi }{2}.\frac{{{180}^{0}}}{\pi }={{270}^{0}}\)
\(b. \frac{\pi }{8}\to \frac{\pi }{8}.\frac{{{180}^{0}}}{\pi }={{22.5}^{0}}\)
\(c. \frac{5\pi }{12}\to \frac{5\pi }{12}.\frac{{{180}^{0}}}{\pi }={{75}^{0}}\)
\(d. \frac{7\pi }{9}\to \frac{7\pi }{9}.\frac{{{180}^{0}}}{\pi }={{140}^{0}}\)
\(e. \frac{5\pi }{9}\to \frac{5\pi }{9}.\frac{{{180}^{0}}}{\pi }={{100}^{0}}\)
Câu 3: Tình các góc lượng giác:
| \(a. \sin x=\frac{3}{5},x\in \left( \frac{\pi }{2},\pi \right)\) |
\(b. \cos x=\frac{4}{13},x\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)\) |
| \(c. \tan x=\frac{-4}{5},\frac{3\pi }{2}< x<2\pi\) |
\(d. \cot x=\frac{-4}{19},\frac{3\pi }{2}< x<2\pi\) |
Hướng dẫn giải
+ Nếu biết sinx hoặc cosx thì ta sẽ dùng công thức sin2x + cos2x = 1 để tính giá trị còn lại , chú ý công thức: \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\), tan x . cot x = 1
+ Nếu biết trước tan x hoặc cot x thì sẽ sử dụng công thức: \(1+{{\tan }^{2}}x=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}, 1+{{\cot }^{2}}x=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\)
Việc xét dấu của x ta sẽ dựa vào đường tròn lượng giác để loại nghiệm ví dụ: \(x\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)\) ta dễ thấy x nằm trong góc phần tư thứ nhất nên sin x > 0, cos x > 0 ⇒ tan x > 0 , cot x > 0
Câu 4: Chứng minh đẳng thức lượng giác dưới đây:
a. \(\frac{{{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x}{\sin x+\cos x}=1-3\sin x\cos x\)
b. \(\frac{{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x}{1+2\sin x\cos x}=\frac{\tan x-1}{\tan x+1}\)
c. 2(sin6x + cos6x) + 1 = 3cos22x
d. 3(sin4x + cos4x) - 2(sin6x + cos6x) - 1 = 0
Hướng dẫn giải
a. \(VT=\frac{\left( \sin x+\cos x \right)\left( {{\sin }^{2}}x-\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x \right)}{\sin x+\cos x}\)
= (sin x + cos x)2 - 3sinx.cosx = 1 - 3 sinx.cosx = VP
b. \(VT=\frac{{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x}{1+2\sin x\cos x}=\frac{\left( \sin x-\cos x \right)\left( \sin x+\cos x \right)}{{{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x}\)
\(=\frac{\left( \sin x-\cos x \right)\left( \sin x+\cos x \right)}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}}=\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\)
\(=\dfrac{\dfrac{\sin x}{\cos x}-\dfrac{\cos x}{\cos x}}{\dfrac{\sin x}{\cos x}-\dfrac{\cos x}{\cos x}}=\dfrac{\tan x-1}{\tan x+1}\)
c. VP = 2(sin6x + cos6x) + 1 = 2[ (sin2x)3 + (cos2x)3] + 1
= 2[(sin2x + cos2x)(sin4x - sin2x.cos2x + cos4x)] + 1
= 2[(sin2x + cos2x)2 - 3sin2x.cos2x] + 1
= 2(1 - 3sin2x.cos2x) + 1 = 3 - 6sin2x.cos2x = 3cos22x = VP
d. 3(sin4x + cos4x) - 2(sin6x + cos6x) - 1 = 0
= 3(1 - 2sin2x.cos2x) - 2(1 - 3sin2x.cos2x) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0
Câu 5: Đơn giản biểu thức:
a. A = (1 - sin2x).cot2x + 1 - cot2x
\(A={{\cot }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x.\frac{{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{2}}x}+1-{{\cot }^{2}}x\)
A = 1 - cos2x = sin2x
b. \(B=\frac{{{\sin }^{2}}x-{{\tan }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x-{{\cot }^{2}}x}=\dfrac{{{\sin }^{2}}x\left( 1-\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x} \right)}{{{\cos }^{2}}x\left( 1-\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)}\)
\(=\frac{{{\sin }^{4}}x.\left( -{{\sin }^{2}}x \right)}{{{\cos }^{4}}x\left( -{{\cos }^{2}}x \right)}={{\tan }^{6}}x\)
Câu 6: Cho tam giác ABC và các mệnh đề
(I) \(\cos\frac{B+C}{2}=\sin\frac{A}{2}\) (II) \(\tan\frac{A+B}{2}\tan\frac{C}{2}=1\)
(III) \(\cos (A +B - C)=\cos 2C\)
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ I B. II và III C. I và II D. Chỉ III
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix} \cos \dfrac{{B + C}}{2} = \cos \dfrac{{{{180}^0} - A}}{2} \hfill \\ = \cos \left( {{{90}^0} - \dfrac{A}{2}} ight) = \sin \dfrac{A}{2} \hfill \\ \end{matrix}\)
=> Mệnh đề đúng
\(\begin{matrix} \tan \dfrac{{A + B}}{2}.\tan \dfrac{C}{2} = \tan \dfrac{{{{180}^0} - C}}{2}.\tan \dfrac{C}{2} \hfill \\ = \tan \left( {{{90}^0} - \dfrac{C}{2}} ight).\tan \dfrac{C}{2} \hfill \\ = \cot \dfrac{C}{2}.\tan \dfrac{C}{2} = 1 \hfill \\ \end{matrix}\)
=> Mệnh đề đúng
\(\begin{matrix} \cos (A + B - C) = \cos ({180^0} - C - C) \hfill \\ = \cos ({180^0} - 2C) = \sin 2C \hfill \\ \end{matrix}\)
=> Mệnh đề sai
Câu 7: Cho góc α, (0° ≤ α ≤ 180°). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. \(\sin^{2}α + \cos^{2}α = 1\)
B. \(\tanα . \cotα = 1\), (0° < α < 180° và α ≠ 90°)
C. \(1+\tan^{2}α=\frac{1}{\cos^{2}α}\), (α ≠ 90°)
D. \(1+\cot^{2}α=\frac{1}{\cos^{2}α}\), (0° < α < 180° và α ≠ 90°)
Hướng dẫn giải
Khẳng định sai là: " \(1+\cot^{2}α=\frac{1}{\cos^{2}α}\), (0° < α < 180° và α ≠ 90°)"
Sửa lại là " \(1+\cot^{2}α=-\frac{1}{\sin^{2}α}\), (0° < α < 180° và α ≠ 90°)".
------------------------------------------------------
Tải thêm tài liệu tại: Chuyên đề toán 10
Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn bài Cách giải các dạng bài tập lượng giác lớp 10. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài học rồi đúng không ạ? Bài viết cho chúng ta thấy được các dạng bài tập lượng giác lớp 10, các công thức lượng giác cơ bản, dấu của các giá trị lượng giác... Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh sẽ nắm chắc kiến thức vận dụng tốt vào giải bài tập từ đó học tốt môn Toán lớp 10. Chúc các bạn học tốt và nhớ thường xuyên tương tác để cập nhật được nhiều bài tập hay bổ ích nhé!
Ngoài ra, để giúp bạn đọc có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa VnDoc giới thiệu thêm tới bạn đọc tham khảo một vài tài liệu liên quan tới chương trình lớp 10 do chúng tôi tổng hợp và biên soạn tại các mục: Ngữ Văn 10, Tiếng Anh lớp 10, Vật lý lớp 10,...
Để giúp bạn đọc có thể giải đáp được những thắc mắc và trả lời được những câu hỏi khó trong quá trình học tập. VnDoc.com mời bạn đọc cùng đặt câu hỏi tại mục hỏi đáp học tập của VnDoc nhé.
