Cách giải các dạng bài tập lượng giác lớp 10
Cách giải các dạng bài tập lượng giác lớp 10
VnDoc.com xin giới thiệu tới các bạn học sinh Cách giải các dạng bài tập lượng giác lớp 10 để bạn đọc cùng tham khảo. Bài tập lượng giác này sẽ giúp các bạn ôn tập và luyện các dạng bài tập về công thức lượng giác cơ bản, định hướng cách làm bài tập,... trong chương trình trọng tâm phần Đại số môn Toán 10. Mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé.
- Bài tập công thức lượng giác lớp 10
- Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12
- Giáo án ôn tập hè môn Toán lớp 10
- Bài tập trắc nghiệm hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
- Cách học thuộc nhanh Bảng công thức lượng giác bằng thơ
Công thức lượng giác lớp 10
1. Công thức Lượng giác cơ bản
 \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) |
\(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\) |
|
sin2x + cos2x = 1 |
tan x . cot x = 1 |
|
1 + tan2 x = |
1 + cot2 x = |
Chú ý: 1800 ứng với π.
Chú ý
- Nếu \(\alpha\) là góc nhọn thù các giá trị lượng giác của \(\alpha\) đều dương.
- Nếu \(\alpha\) là góc tù thì \(\sin \alpha > 0,\cos \alpha < 0,\tan \alpha < 0,\cot \alpha > 0\)
- \(\tan \alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha \ne {90^0}\)
- \(\cot \alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha \ne {0^0};\alpha \ne {180^0}\).
2. Dấu của các giá trị lượng giác
| Góc phần tư số | I | II | III | IV |
| Giá trị lượng giác | ||||
| sin x | + | + | - | - |
| cos x | + | - | - | + |
| tan x | + | - | + | - |
| cot x | + | - | + | - |
Ví dụ: Xác định dấu của các biểu thức
a) A = sin500.cos(-1000) b) \(B = \sin {195^0}.\tan \frac{{20\pi }}{7}\)
Hướng dẫn giải
a) A = sin500.cos(-1000)
Ta có:
Điểm cuối của cung 500 thuộc góc phần tư thứ I nên sin500 > 0.
Điểm cuối của cung -1000 thuộc góc phần tư thứ III nên cos(-1000) < 0.
=> A < 0
b) \(B = \sin {195^0}.\tan \frac{{20\pi }}{7}\)
Ta có:
Điểm cuối của cung 1950 thuộc góc phần tư thứ III nên sin1950 < 0.
Điểm cuối của cung \(\frac{{20\pi }}{7} = \frac{{6\pi }}{7} + 2\pi\) thuộc góc phần tư thứ II nên tan \(\tan \frac{{20\pi }}{7} < 0\).
=> B > 0
3. Hai góc bù nhau
Với mọi góc \(\alpha\) thỏa mãn 00 ≤ α ≤ 1800
sin(1800 - α) = sinα
cos(1800 - α) = - cosα
tan(1800 - α) = -tanα; (α ≠ 900)
cot(1800 - α) = -cotα; (00 < α < 1800)
4. Hai góc phụ nhau
sin(900 - α) = cosα
cos(900 - α) = sinα
tann(900 - α) = cotα; (α ≠ 900; 00 < α < 1800)
cot(900 - α) = tanα; α ≠ 900; 00 < α < 1800)
Ví dụ: Rút gọn biểu thức \(A = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) + \cos \left( {2\pi - x} \right) + \cos \left( {3\pi + x} \right)\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = - \sin x \hfill \\ \cos \left( {2\pi - x} \right) = \cos x \hfill \\ \cos \left( {3\pi + x} \right) = - \cos x \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{matrix}\)
=> A = -sinx + cosx- cosx = -sinx
Ví dụ: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng sin(A + B + 2C) = -sin C.
Hướng dẫn giải
Ta có:
A + B + C = 1800
=> A + B + 2C = 1800 + C
=>sin(A+ B + 2C) = sin(1800 + C) = -sinC
3. Bài tập lượng giác
Câu 1: Đổi tọa độ cung tròn từ độ sang radian
| a. 1200 | b. 460 |
| c. 200 | d. 1750 |
Hướng dẫn giải
a. 1200 → \(\frac{120}{180}\pi =\frac{2\pi }{3}\)
b. 460 → \(\frac{46}{180}\pi =\frac{23\pi }{90}\)
c. 200 → \(\frac{20}{180}\pi =\frac{\pi }{9}\)
d. 1750 → \(\frac{175}{180}\pi =\frac{35\pi }{36}\)
Câu 2: Đổi tọa độ cung tròn từ radian sang độ
| \(a. \frac{3\pi }{2}\) |
\(b. \frac{\pi }{8}\) |
\(c. \frac{5\pi }{12}\) |
| \(d. \frac{7\pi }{9}\) |
\(e. \frac{5\pi }{9}\) |
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\frac{3\pi }{2}\to \frac{3\pi }{2}.\frac{{{180}^{0}}}{\pi }={{270}^{0}}\)
b. Ta có: \(\frac{\pi }{8}\to \frac{\pi }{8}.\frac{{{180}^{0}}}{\pi }={{22.5}^{0}}\)
c. Ta có: \(\frac{5\pi }{12}\to \frac{5\pi }{12}.\frac{{{180}^{0}}}{\pi }={{75}^{0}}\)
d. Ta có: \(\frac{7\pi }{9}\to \frac{7\pi }{9}.\frac{{{180}^{0}}}{\pi }={{140}^{0}}\)
e. Ta có: \(\frac{5\pi }{9}\to \frac{5\pi }{9}.\frac{{{180}^{0}}}{\pi }={{100}^{0}}\)
Câu 3: Tình các góc lượng giác:
| a) \(\sin x=\frac{3}{5},x\in \left( \frac{\pi }{2},\pi \right)\) |
b. \(\cos x=\frac{4}{13},x\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)\) |
| c. \(\tan x=\frac{-4}{5},\frac{3\pi }{2}< x<2\pi\) |
d) \(\cot x=\frac{-4}{19},\frac{3\pi }{2}< x<2\pi\) |
Hướng dẫn giải
+ Nếu biết sinx hoặc cosx thì ta sẽ dùng công thức sin2x + cos2x = 1 để tính giá trị còn lại , chú ý công thức: \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\), tan x . cot x = 1
+ Nếu biết trước tan x hoặc cot x thì sẽ sử dụng công thức: \(1+{{\tan }^{2}}x=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}, 1+{{\cot }^{2}}x=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\)
Việc xét dấu của x ta sẽ dựa vào đường tròn lượng giác để loại nghiệm ví dụ: \(x\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)\) ta dễ thấy x nằm trong góc phần tư thứ nhất nên sin x > 0, cos x > 0 ⇒ tan x > 0 , cot x > 0
Câu 4: Chứng minh đẳng thức lượng giác dưới đây:
a. \(\frac{{{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x}{\sin x+\cos x}=1-3\sin x\cos x\) b. \(\frac{{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x}{1+2\sin x\cos x}=\frac{\tan x-1}{\tan x+1}\)
c. 2(sin6x + cos6x) + 1 = 3cos22x d. 3(sin4x + cos4x) - 2(sin6x + cos6x) - 1 = 0
Hướng dẫn giải
a. \(VT=\frac{\left( \sin x+\cos x \right)\left( {{\sin }^{2}}x-\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x \right)}{\sin x+\cos x}\)
= (sin x + cos x)2 - 3sinx.cosx = 1 - 3 sinx.cosx = VP
b. \(VT=\frac{{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x}{1+2\sin x\cos x}=\frac{\left( \sin x-\cos x \right)\left( \sin x+\cos x \right)}{{{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x}\)
\(=\frac{\left( \sin x-\cos x \right)\left( \sin x+\cos x \right)}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}}=\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\)
\(=\dfrac{\dfrac{\sin x}{\cos x}-\dfrac{\cos x}{\cos x}}{\dfrac{\sin x}{\cos x}-\dfrac{\cos x}{\cos x}}=\dfrac{\tan x-1}{\tan x+1}\)
c. VP = 2(sin6x + cos6x) + 1 = 2[ (sin2x)3 + (cos2x)3] + 1
= 2[(sin2x + cos2x)(sin4x - sin2x.cos2x + cos4x)] + 1
= 2[(sin2x + cos2x)2 - 3sin2x.cos2x] + 1
= 2(1 - 3sin2x.cos2x) + 1 = 3 - 6sin2x.cos2x = 3cos22x = VP
d. 3(sin4x + cos4x) - 2(sin6x + cos6x) - 1 = 0
= 3(1 - 2sin2x.cos2x) - 2(1 - 3sin2x.cos2x) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0
Câu 5: Đơn giản biểu thức:
a. A = (1 - sin2x).cot2x + 1 - cot2x
\(A={{\cot }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x.\frac{{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{2}}x}+1-{{\cot }^{2}}x\)
A = 1 - cos2x = sin2x
b. \(B=\frac{{{\sin }^{2}}x-{{\tan }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x-{{\cot }^{2}}x}=\dfrac{{{\sin }^{2}}x\left( 1-\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x} \right)}{{{\cos }^{2}}x\left( 1-\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)}\)
\(=\frac{{{\sin }^{4}}x.\left( -{{\sin }^{2}}x \right)}{{{\cos }^{4}}x\left( -{{\cos }^{2}}x \right)}={{\tan }^{6}}x\)
Câu 6: Cho tam giác ABC và các mệnh đề
(I) \(\cos\frac{B+C}{2}=\sin\frac{A}{2}\) (II) \(\tan\frac{A+B}{2}\tan\frac{C}{2}=1\)
(III) \(\cos (A +B - C)=\cos 2C\)
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ I B. II và III C. I và II D. Chỉ III
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix} \cos \dfrac{{B + C}}{2} = \cos \dfrac{{{{180}^0} - A}}{2} \hfill \\ = \cos \left( {{{90}^0} - \dfrac{A}{2}} ight) = \sin \dfrac{A}{2} \hfill \\ \end{matrix}\)
=> Mệnh đề đúng
\(\begin{matrix} \tan \dfrac{{A + B}}{2}.\tan \dfrac{C}{2} = \tan \dfrac{{{{180}^0} - C}}{2}.\tan \dfrac{C}{2} \hfill \\ = \tan \left( {{{90}^0} - \dfrac{C}{2}} ight).\tan \dfrac{C}{2} \hfill \\ = \cot \dfrac{C}{2}.\tan \dfrac{C}{2} = 1 \hfill \\ \end{matrix}\)
=> Mệnh đề đúng
cos(A + B - C) = cos(1800 - C - C) = cos(1800 - 2C) = sin2C
=> Mệnh đề sai
Câu 7: Cho góc α, (0° ≤ α ≤ 180°). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. sin2α + cos2α = 1
B. \(\tanα . \cotα = 1\), (0° < α < 180° và α ≠ 90°)
C. \(1+\tan^{2}α=\frac{1}{\cos^{2}α}\), (α ≠ 90°)
D. \(1+\cot^{2}α=\frac{1}{\cos^{2}α}\), (0° < α < 180° và α ≠ 90°)
Hướng dẫn giải
Khẳng định sai là: " \(1+\cot^{2}α=\frac{1}{\cos^{2}α}\), (0° < α < 180° và α ≠ 90°)"
Sửa lại là " \(1+\cot^{2}α=-\frac{1}{\sin^{2}α}\), (0° < α < 180° và α ≠ 90°)".
------------------------------------------------------
FAQ – Cách giải các dạng bài tập lượng giác lớp 10 | Bài tập công thức lượng giác lớp 10
1. Chuyên đề lượng giác lớp 10 gồm những nội dung nào?
Chuyên đề lượng giác lớp 10 bao gồm các kiến thức như góc lượng giác, đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác của một góc, các công thức lượng giác cơ bản, công thức biến đổi và các dạng bài tập vận dụng. Đây là nội dung quan trọng trong chương trình Toán 10.
2. Làm thế nào để giải tốt các dạng bài tập lượng giác lớp 10?
Để giải tốt bài tập lượng giác, học sinh cần nắm chắc các công thức cơ bản, hiểu ý nghĩa của từng công thức và biết lựa chọn phương pháp phù hợp với từng dạng bài. Thường xuyên luyện tập và phân tích lời giải sẽ giúp nâng cao tốc độ và độ chính xác.
3. Bài tập công thức lượng giác lớp 10 thường có những dạng nào?
Các dạng bài phổ biến gồm tính giá trị lượng giác của một góc, áp dụng công thức lượng giác, chứng minh đẳng thức lượng giác, rút gọn biểu thức lượng giác, xác định góc từ giá trị lượng giác và giải các bài toán thực tế có liên quan.
4. Học sinh thường gặp khó khăn gì khi học lượng giác lớp 10?
Khó khăn phổ biến là ghi nhớ nhiều công thức, nhầm lẫn dấu của các giá trị lượng giác theo từng góc, áp dụng sai công thức biến đổi hoặc chưa biết cách nhận dạng dạng toán để lựa chọn hướng giải phù hợp.
5. Làm sao để ghi nhớ công thức lượng giác lớp 10 hiệu quả?
Học sinh nên học theo từng nhóm công thức, kết hợp sơ đồ tư duy, luyện tập bài tập theo chuyên đề và thường xuyên ôn tập. Việc vận dụng công thức vào nhiều dạng bài khác nhau sẽ giúp ghi nhớ lâu và sử dụng linh hoạt hơn.
-------------------------------------------
Tải thêm tài liệu tại: Chuyên đề toán 10
Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn bài Cách giải các dạng bài tập lượng giác lớp 10. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài học rồi đúng không ạ? Bài viết cho chúng ta thấy được các dạng bài tập lượng giác lớp 10, các công thức lượng giác cơ bản, dấu của các giá trị lượng giác... Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh sẽ nắm chắc kiến thức vận dụng tốt vào giải bài tập từ đó học tốt môn Toán lớp 10. Chúc các bạn học tốt và nhớ thường xuyên tương tác để cập nhật được nhiều bài tập hay bổ ích nhé!
Ngoài ra, để giúp bạn đọc có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa VnDoc giới thiệu thêm tới bạn đọc tham khảo một vài tài liệu liên quan tới chương trình lớp 10 do chúng tôi tổng hợp và biên soạn tại các mục: Ngữ Văn 10, Tiếng Anh lớp 10, Vật lý lớp 10,...
Để giúp bạn đọc có thể giải đáp được những thắc mắc và trả lời được những câu hỏi khó trong quá trình học tập. VnDoc.com mời bạn đọc cùng đặt câu hỏi tại mục hỏi đáp học tập của VnDoc nhé.
