VnDoc.com

Tìm m để bất phương trình có nghiệm

Bất phương trình chứa tham số lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tìm tham số m để bất phương trình có nghiệm

I. Bài tập tham khảo có hướng dẫn
II. Bài tập tự rèn luyện củng cố kiến thức

Bất phương trình toán học là một trong những phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học lớp 10 và lớp 11. Một dạng bài tập thường gặp là tìm m để bất phương trình có nghiệm, nơi người học cần xác định giá trị của tham số mmm sao cho bất phương trình có ít nhất một nghiệm thực. Đây là một dạng toán giúp học sinh phát triển kỹ năng giải quyết các bài toán phương trình, bất phương trình và rèn luyện tư duy logic.

Tìm m để bất phương trình có nghiệm môn Toán lớp 10 vừa được VnDoc.com tổng hợp và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng phân tích các phương pháp giải quyết bài toán tìm m, cách xác định điều kiện để bất phương trình có nghiệm, đồng thời làm quen với các ví dụ minh họa cụ thể để áp dụng vào bài tập. Bài viết được tổng hợp các dạng bài tập và hướng dẫn chi tiết về bất phương trình phổ biến trong các kì thi, bài kiểm tra trong chương trình trọng tâm Toán 10 nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, nâng cao kĩ năng tư duy bài tập. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả!

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Tìm m để bất phương trình có nghiệm

I. Bài tập tham khảo có hướng dẫn

Bài 1: Tìm m để bất phương trình x² - 2(m + 1) + m² + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1]

Hướng dẫn giải:

Đặt x² - 2(m + 1) + m² + 2m ≤ 0

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1]

Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn ${{x}_{1}}\le 1<2\le {{x}_{2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} kf(0)\le 0 \\ kf(1)\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}+2m\le 0 \\ {{m}^{2}}-1\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow -1\le m\le 0 \right.$ ${{x}_{1}}\le 1<2\le {{x}_{2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} kf(0)\le 0 \\ kf(1)\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}+2m\le 0 \\ {{m}^{2}}-1\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow -1\le m\le 0 \right.$

Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.

Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2)x² - 2mx + m² + 2m ≤ 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:

(1) ⇔ 4x + 4 <0 ⇔ x < -1

Bất phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: Với m < -2

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :

$\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2>0\Leftrightarrow \left| m \right|>\sqrt{2}\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2>0\Leftrightarrow \left| m \right|>\sqrt{2}\Leftrightarrow$ _{$\left\{\begin{matrix} m>\sqrt{2} \\ -2 < m <-\sqrt{2} \end{matrix}\right.$}

Vậy với |m| < $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ thì bất phương trình có nghiệm.

Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m²x + 3 < mx + 4

Hướng dẫn giải:

Bất phương trình tương đương với: m²x - mx < 4 ⇔ (m² - m)x < 1; m² - m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x .

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Với m² - m ≠ 0 ⇔ m ≠ {0; 1} thì bất phương trình trở thành _{$x<\frac{1}{m^{2}-m}$} luôn có nghiệm là _{$x<\frac{1}{m^{2}-m}$}

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.

Bài 4: Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m² + 1)x² + (2m - 1)x - 5 < 0. Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1)

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}f(-1)\le 0 \\f(1)\le 0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{m}^{2}}-2m-3\le 0 \\{{m}^{2}}+2m-5\le 0 \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}-1\le m\le 3 \\-\sqrt{6}\le m\le \sqrt{6}-1 \\\end{matrix} \right. \right.$ $\left\{ \begin{matrix}f(-1)\le 0 \\f(1)\le 0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{m}^{2}}-2m-3\le 0 \\{{m}^{2}}+2m-5\le 0 \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}-1\le m\le 3 \\-\sqrt{6}\le m\le \sqrt{6}-1 \\\end{matrix} \right. \right.$

⇔ -1 ≤ m ≤ $\sqrt 6$ $\sqrt 6$ - 1

Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m ∈ (-1; $\sqrt{6}$ $\sqrt{6}$ - 1)

Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x: (m + 4)x² - 2mx + 2m - 6 < 0

Hướng dẫn giải:

+ Với m = - 4 thì bất phương trình trở thành: 8x - 14 < 0, ∀x (loại)

+ Với _{$m\ne -4 \Rightarrow f(x) < 0,\forall x
\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}

a<0 \\
\Delta '< 0 \\

\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}

m<-4 \\

{{m}^{2}}-(m+4)(2m-6)<0 \\

\end{matrix}\right.$}

$\Rightarrow\left\{ \begin{matrix} m<-4 \\ m\in (-\infty ,-4)\cup (6,+\infty ) \\ \end{matrix}\left\{ \begin{matrix} m<-4 \\ m\in (-\infty ,-4)\cup (6,+\infty ) \\ \end{matrix}\right. \right.$ $\Rightarrow\left\{ \begin{matrix} m<-4 \\ m\in (-\infty ,-4)\cup (6,+\infty ) \\ \end{matrix}\left\{ \begin{matrix} m<-4 \\ m\in (-\infty ,-4)\cup (6,+\infty ) \\ \end{matrix}\right. \right.$ $\Leftrightarrow m<-4$ $\Leftrightarrow m<-4$

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4.

Bài 6: Cho bất phương trình: x² + 4x + 3 + m ≤ 0

a. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm.

b. Tìm m để bất phương trình có đúng một nghiệm.

c. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Hướng dẫn giải

a. Bất phương trình vô nghiệm

⇔ Δ' < 0 ⇔ 1 - m < 0 ⇔ m > 1

Vậy m > 1 thì bất phương trình vô nghiệm.

b. Bất phương trình có đúng một nghiệm.

⇔ Δ' = 0 ⇔ 1 - m = 0 ⇔ m = 1

Vậy m = 1 bất phương trình có đúng một nghiệm

c. Để bất phương trình có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 2 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x, x’ thỏa mãn điều kiện:

$\begin{align} & \left| x-x$ $\begin{align} & \left| x-x' \right|=2 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta '>0 \\ \left| \dfrac{\sqrt{\Delta }}{a} \right|=2 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1-m>0 \\ \sqrt{1-m}=2 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow m=-3 \right. \\ \end{align}$

Vậy m = -3 thì bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Bài 7: Tìm m để bất phương trình: x⁴ + 2mx² + m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x.

Hướng dẫn giải

Đặt t = x², t ≥ 0

Khi đó bất phương trình trở thành:

f(t) = t² +2mt + m ≥ 0 (*)

⇒Δ' = m² - m

Trường hợp 1: Δ' ≤ 0 ⇔ m² - m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1

Khi đó (*) luôn đúng.

Trường hợp 2: Nếu Δ' > 0, điều kiện là phương trình f(t) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: t₁ < t₂ ≤ 0

Tóm lại ta cần suy ra như sau:

$\left\{ \begin{matrix} \Delta$ $\left\{ \begin{matrix} \Delta '>0 \\ a.f(0)\ge 0 \\ \dfrac{S}{2}<0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}-m>0 \\ m\ge 0 \\ -m<0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>1$

Vậy m ≥ 0 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị x.

Bài 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình $\left( m^{2} - 4 \right)x^{2} + (m - 2)x + 1 < 0$ $\left( m^{2} - 4 \right)x^{2} + (m - 2)x + 1 < 0$ vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét $m^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2$ $m^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2$

Với $m = - 2$, bất phương trình trở thành $x > \frac{1}{4}$ $x > \frac{1}{4}$: không thỏa mãn.

Với $m = 2$, bất phương trình trở thành $1 < 0$: vô nghiệm.

Do đó $m = 2$ thỏa mãn.

Xét $m \neq \pm 2$ $m \neq \pm 2$. Yêu cầu bài toán

$\Leftrightarrow \left( m^{2} - 4 \right)x^{2} + (m - 2)x + 1 \geq 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R}$ $\Leftrightarrow \left( m^{2} - 4 \right)x^{2} + (m - 2)x + 1 \geq 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 4 > 0 \\ \Delta = (m - 2)^{2} - 4\left( m^{2} - 4 \right) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \leq - \dfrac{10}{3} \\ m > 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 4 > 0 \\ \Delta = (m - 2)^{2} - 4\left( m^{2} - 4 \right) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \leq - \dfrac{10}{3} \\ m > 2 \\ \end{matrix} \right.$

Kết hợp hai trường hợp, ta được $m \leq - \frac{10}{3}$ $m \leq - \frac{10}{3}$ hoặc $m \geq 2$ $m \geq 2$.

Bài 9. Tìm các giá trị của $m$ để các biểu thức sau luôn âm:

a. $f(x) = mx^{2} - x - 1$ $f(x) = mx^{2} - x - 1$

b. $g(x) = (m - 4)x^{2} + (2m - 8)x + m - 5$ $g(x) = (m - 4)x^{2} + (2m - 8)x + m - 5$

Hướng dẫn giải

a. Với $m = 0$ thì $f(x) = - x - 1$ lấy cả giá trị dương (chẳng hạn $f( - 2) = 1$) nên $m = 0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với $m \neq 0$ $m \neq 0$ thì $f(x) = mx^{2} - x - 1$ $f(x) = mx^{2} - x - 1$ là tam thức bậc hai do đó $f(x) < 0,\ \ \forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = m < 0 \\ \Delta = 1 + 4m < 0 \\ \end{matrix} \right.$ $f(x) < 0,\ \ \forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = m < 0 \\ \Delta = 1 + 4m < 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 0 \\ m > - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < m < 0 \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 0 \\ m > - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < m < 0 \right.$

Vậy với $- \frac{1}{4} < m < 0$ $- \frac{1}{4} < m < 0$ thì biểu thức $f(x)$ luôn âm.

b. Với $m = 4$ thì $g(x) = - 1 < 0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với $m \neq 4$ $m \neq 4$ thì $g(x) = (m - 4)x^{2} + (2m - 8)x + m - 5$ $g(x) = (m - 4)x^{2} + (2m - 8)x + m - 5$ là tam thức bậc hai dó đó $g(x) < 0,\ \ \forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = m - 4 < 0 \\ \Delta$ $g(x) < 0,\ \ \forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = m - 4 < 0 \\ \Delta' = m - 4 < 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow m < 4$ $\Leftrightarrow m < 4$

Vậy với $m \leq 4$ $m \leq 4$ thì biểu thức $g(x)$ luôn âm.

Bài 10. Tìm m để $g(x) = \left( 2m^{2} + m - 6 \right)x^{2} + (2m - 3)x - 1$ $g(x) = \left( 2m^{2} + m - 6 \right)x^{2} + (2m - 3)x - 1$ không dương.

Hướng dẫn giải

Xét $2m^{2} + m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 2 \\ m = \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.$ $2m^{2} + m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 2 \\ m = \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.$

+) $m = - 2 \Rightarrow g(x) = - 7x - 1 > 0 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{7}$ $m = - 2 \Rightarrow g(x) = - 7x - 1 > 0 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{7}$ (không thỏa mãn yêu cầu bài toán)

+) $m = \frac{3}{2} \Rightarrow g(x) = 0$ $m = \frac{3}{2} \Rightarrow g(x) = 0$ (không thỏa mãn)

Xét $2m^{2} + m - 6 \neq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq - 2 \\ m \neq \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.$ $2m^{2} + m - 6 \neq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq - 2 \\ m \neq \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.$

$g(x) \leq 0,\ \ \forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2m^{2} + m - 6 < 0 \\ \Delta$ $g(x) \leq 0,\ \ \forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2m^{2} + m - 6 < 0 \\ \Delta' = 12m^{2} - 8m - 15 \leq 0 \\ \end{matrix} \right.$

$2m^{2} + m - 6 \neq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq - 2 \\ m \neq \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.$ $2m^{2} + m - 6 \neq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq - 2 \\ m \neq \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.$

Bài 11. Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn dương

$h(x) = \frac{- x^{2} + 4(m + 1)x + 1 - 4m^{2}}{- 4x^{2} + 5x - 2}$ $h(x) = \frac{- x^{2} + 4(m + 1)x + 1 - 4m^{2}}{- 4x^{2} + 5x - 2}$

Hướng dẫn giải

Tam thức $- 4x^{2} + 5x - 2$ $- 4x^{2} + 5x - 2$ có $a = - 4 < 0,\ \ \Delta = - 7 < 0$ $a = - 4 < 0,\ \ \Delta = - 7 < 0$

suy ra $- 4x^{2} + 5x - 2 < 0\ \ \forall x$ $- 4x^{2} + 5x - 2 < 0\ \ \forall x$

Do đó $h(x)$ luôn dương khi và chỉ khi $h'(x) = - x^{2} + 4(m + 1)x + 1 - 4m^{2}$ luôn âm

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 < 0 \\ \Delta$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 < 0 \\ \Delta' = 4(m + 1)^{2} + \left( 1 - 4m^{2} \right) < 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow 8m + 5 < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{5}{8}$ $\Leftrightarrow 8m + 5 < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{5}{8}$

Vậy với $m < - \frac{5}{8}$ $m < - \frac{5}{8}$ thì biểu thức $h(x)$ luôn dương.

Bài 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình $\left( 2m^{2} - 3m - 2 \right)x^{2} + 2(m - 2)x - 1 \leq 0$ $\left( 2m^{2} - 3m - 2 \right)x^{2} + 2(m - 2)x - 1 \leq 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

Xét $2m^{2} - 3m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$ $2m^{2} - 3m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$ hoặc $m = 2$

Khi $m = - \frac{1}{2}$ $m = - \frac{1}{2}$ thì bất phương trình trở thành $x \geq - \frac{1}{5}$ $x \geq - \frac{1}{5}$ nên không có nghiệm đúng với mọi $x$.

hi $m = 2$ thì bất phương trình trở thành $- 1 \leq 0$ $- 1 \leq 0$ nên có nghiệm đúng với mọi $x$.

Khi $\left\{ \begin{matrix} m \neq - \dfrac{1}{2} \\ m \neq 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} m \neq - \dfrac{1}{2} \\ m \neq 2 \\ \end{matrix} \right.$ thì yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left( 2m^{2} - 3m - 2 \right)x^{2} + 2(m - 2)x - 1 \leq 0\ \ \forall x\mathbb{\in R}$ $\Leftrightarrow \left( 2m^{2} - 3m - 2 \right)x^{2} + 2(m - 2)x - 1 \leq 0\ \ \forall x\mathbb{\in R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' \leq 0 \\ a < 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3m^{2} - 7m + 2 \leq 0 \\ 2m^{2} - 3m - 2 < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{3} \leq m \leq 2 \\ - \frac{1}{2} < m < 2 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq m < 2 \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{3} \leq m \leq 2 \\ - \frac{1}{2} < m < 2 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq m < 2 \right.$

Kết hợp hai trường hợp ta được $\frac{1}{3} \leq m \leq 2$ $\frac{1}{3} \leq m \leq 2$ là giá trị cần tìm.

Bài 13: Phương trình $x^{2} + 2(m + 2)x - 2m - 1 = 0$ $x^{2} + 2(m + 2)x - 2m - 1 = 0$ ($m$ là tham số) có nghiệm khi

A. $\left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} \right.\ .$ $\left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} \right.\ .$ B. $- \ 5 \leq m \leq - \ 1.$ $- \ 5 \leq m \leq - \ 1.$

C. $\left\lbrack \begin{matrix} m < - \ 5 \\ m > - 1 \\ \end{matrix} \right.\ .$ $\left\lbrack \begin{matrix} m < - \ 5 \\ m > - 1 \\ \end{matrix} \right.\ .$ D. $\left\lbrack \begin{matrix} m \leq - \ 5 \\ m \geq - \ 1 \\ \end{matrix} \right.\ .$ $\left\lbrack \begin{matrix} m \leq - \ 5 \\ m \geq - \ 1 \\ \end{matrix} \right.\ .$

Hướng dẫn giải

Xét phương trình $x^{2} + 2(m + 2)x - 2m - 1 = 0,$ $x^{2} + 2(m + 2)x - 2m - 1 = 0,$ có ${\Delta$ ${\Delta'}_{x} = (m + 2)^{2} + 2m + 1.$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \ \ {\Delta$ $\Leftrightarrow \ \ {\Delta'}_{x} \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} + 4m + 4 + 2m + 1 \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} + 6m + 5 \geq 0$

$\Leftrightarrow (m + 1)(m + 5) \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq - \ 1 \\ m \leq - \ 5 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow (m + 1)(m + 5) \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq - \ 1 \\ m \leq - \ 5 \\ \end{matrix} \right.$ là giá trị cần tìm.

Bài 14: Phương trình $mx^{2} - (3m + 2)x + 1 = 0$ $mx^{2} - (3m + 2)x + 1 = 0$:

A. Luôn có hai nghiệm với mọi giá trị $m$.

B. Vô nghiệm với mọi giá trị $m$.

C. Luôn có nghiệm với mọi giá trị $m$.

D. Luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị $m$.

Hướng dẫn giải

Với $m = 0$ phương trình trở thành $- 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ $- 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ suy ra phương trình có nghiệm

Với $m \neq 0$ $m \neq 0$, ta có $\Delta = (3m + 2)^{2} - 4m = 9m^{2} + 8m + 4$ $\Delta = (3m + 2)^{2} - 4m = 9m^{2} + 8m + 4$

Vì tam thức $9m^{2} + 8m + 4$ $9m^{2} + 8m + 4$ có $a_{m} = 9 > 0,\ \ \Delta$ $a_{m} = 9 > 0,\ \ \Delta'_{m} = - 20 < 0$ nên $9m^{2} + 8m + 4 > 0$ $9m^{2} + 8m + 4 > 0$ với mọi $m$

Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi $m$.

Bài 15: Cho bất phương trình: $x^{2} + 2|x + m| + 2mx + 3m^{2} - 3m + 1 < 0$ $x^{2} + 2|x + m| + 2mx + 3m^{2} - 3m + 1 < 0$. Để bất phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số $m$ là:

A. $- 1 < m < - \frac{1}{2}$ $- 1 < m < - \frac{1}{2}$. B. $- 1 < m < \frac{1}{2}$ $- 1 < m < \frac{1}{2}$.

C. $- \frac{1}{2} < m < 1$ $- \frac{1}{2} < m < 1$. D. $\frac{1}{2} < m < 1$ $\frac{1}{2} < m < 1$.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:

$x^{2} + 2|x + m| + 2mx + 3m^{2} -3m + 1 < 0$ $x^{2} + 2|x + m| + 2mx + 3m^{2} -3m + 1 < 0$

$\Leftrightarrow (x + m)^{2} + 2|x + m| + 2m^{2} - 3m + 1< 0$ $\Leftrightarrow (x + m)^{2} + 2|x + m| + 2m^{2} - 3m + 1< 0$

$\Leftrightarrow \left( |x + m| + 1 \right)^{2} < - 2m^{2} + 3m$ $\Leftrightarrow \left( |x + m| + 1 \right)^{2} < - 2m^{2} + 3m$ có nghiệm khi và chỉ khi $- 2m^{2} + 3m > 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} < m < 1$ $- 2m^{2} + 3m > 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} < m < 1$

Bài 16: Tìm $a$ để bất phương trình $x^{2} + 4x \leq a\left( |x + 2| + 1 \right)$ $x^{2} + 4x \leq a\left( |x + 2| + 1 \right)$c ó nghiệm?

A. Với mọi $a$. B. Không có $a$. C. $a \geq - 4$ $a \geq - 4$. D. $a \leq - 4$ $a \leq - 4$.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:$a + 1$

$x^{2} + 4x \leq a\left( |x + 2| + 1 \right)$ $x^{2} + 4x \leq a\left( |x + 2| + 1 \right)$

$\Leftrightarrow (x + 2)^{2} - a|x + 2| - a - 4 \leq 0$ $\Leftrightarrow (x + 2)^{2} - a|x + 2| - a - 4 \leq 0$

$\Leftrightarrow (x + 2)^{2} - a|x + 2| + \frac{a^{2}}{4} \leq \frac{a^{2}}{4} + a + 4$ $\Leftrightarrow (x + 2)^{2} - a|x + 2| + \frac{a^{2}}{4} \leq \frac{a^{2}}{4} + a + 4$

$\Leftrightarrow \left( |x + 2| - \frac{a}{2} \right)^{2} \leq \frac{a^{2}}{4} + a + 4$ $\Leftrightarrow \left( |x + 2| - \frac{a}{2} \right)^{2} \leq \frac{a^{2}}{4} + a + 4$

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi $\frac{a^{2}}{4} + a + 4 \geq 0$ $\frac{a^{2}}{4} + a + 4 \geq 0$luôn đúng với $\forall a$ $\forall a$.

Bài 17: Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{matrix}x^{2} - 3x - 4 \leq 0 \\x^{3} - 3|x|x - m^{2} + 6m \geq 0\end{matrix} \right.$ $\left\{\begin{matrix}x^{2} - 3x - 4 \leq 0 \\x^{3} - 3|x|x - m^{2} + 6m \geq 0\end{matrix} \right.$. Để hệ có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

A. $2 \leq m \leq 8$ $2 \leq m \leq 8$. B. $- 8 \leq m \leq 2$ $- 8 \leq m \leq 2$.

C. $- 2 \leq m \leq 8$ $- 2 \leq m \leq 8$. D. $- 8 \leq m \leq - 2$ $- 8 \leq m \leq - 2$.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có $x^{2} - 3x - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq x \leq 4$ $x^{2} - 3x - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq x \leq 4$.

Trường hợp 1: $x \in \lbrack 0;4\rbrack$ $x \in \lbrack 0;4\rbrack$, bất phương trình hai trở thành;

$x^{3} - 3x^{2} - m^{2} + 6m \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6m \leq x^{3} - 3x^{2}$ $x^{3} - 3x^{2} - m^{2} + 6m \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6m \leq x^{3} - 3x^{2}$, mà $x^{3} - 3x^{2} \leq 16\ \ \forall x \in \lbrack 0;4\rbrack$ $x^{3} - 3x^{2} \leq 16\ \ \forall x \in \lbrack 0;4\rbrack$

Suy ra $\Leftrightarrow m^{2} - 6m \leq 16 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 8$ $\Leftrightarrow m^{2} - 6m \leq 16 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 8$.

Trường hợp 2: $x \in \lbrack - 1;0)$ $x \in \lbrack - 1;0)$, bất phương trình hai trở thành;

$x^{3} + 3x^{2} - m^{2} + 6m \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6m \leq x^{3} + 3x^{2}$ $x^{3} + 3x^{2} - m^{2} + 6m \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6m \leq x^{3} + 3x^{2}$, mà $x^{3} - 3x^{2} \leq 2\ \ \forall x \in \lbrack - 1;0)$ $x^{3} - 3x^{2} \leq 2\ \ \forall x \in \lbrack - 1;0)$

Suy ra $\Leftrightarrow m^{2} - 6m \leq 2 \Leftrightarrow 3 - \sqrt{11} \leq m \leq 3 + \sqrt{11}$ $\Leftrightarrow m^{2} - 6m \leq 2 \Leftrightarrow 3 - \sqrt{11} \leq m \leq 3 + \sqrt{11}$.

Vậy $- 2 \leq m \leq 8$ $- 2 \leq m \leq 8$ thì hệ bất phương trình đã cho có nghiệm.

II. Bài tập tự rèn luyện củng cố kiến thức

Bài 1: Cho tam thức f(x) = x² - 2mx + 3m - 2. Tìm điều kiện của m để tam thức f(x) > 0, ∀x ∈ [1; 2] .

Bài 2: Xác định m sao cho với mọi x ta đều có: mx² - 4x + 3m + 1 >0

Bài 3: Tìm m để bất phương trình: x² - 2x + 1 - m² ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ [1; 2].

Bài 4: Tìm m để bất phương trình: (m - 1)x² + (2 - m)x- 1 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (1; 2).

Bài 5: Tìm m để bất phương trình: 3(m - 2)x² + 2(m + 1)x + m - 1 < 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 3).

Bài 6: Tìm m để bất phương trình m² - 2mx + 4 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 0,5).

Bài 7: Tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của bất phương trình: x² + (m - 1)x - m ≤ 0

đều là nghiệm của bất phương trình.

Bài 8: Với giá trị nào của m thì bất phương trình: (m - 2)x² + 2mx - 2 - m < 0 có nghiệm

Bài 9: Tìm các giá trị của m để bất phương trình: f(x) = - (m² + 2)x² - 2mx + 1 - m > 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2; +∞)

Bài 10: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để bất phương trình f(x) = 2mx² - (1 - 5m)x + 3m+ 1>0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2; 0)_.

-------------------------------------------

Việc tìm m để bất phương trình có nghiệm là một kỹ năng quan trọng, không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức về bất phương trình mà còn phát triển tư duy phân tích và lập luận trong Toán học. Hãy nhớ rằng mỗi bài toán đều có cách tiếp cận riêng, và việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin hơn khi giải quyết các bài toán tương tự trong kỳ thi. Chúc bạn thành công trong việc áp dụng các phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm vào các bài toán thực tế, đồng thời phát triển khả năng giải toán hiệu quả.

Tải về

Chọn file muốn tải về: