Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm m để bất phương trình có nghiệm

Bất phương trình chứa tham số lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Chuyên đề Toán Lớp 10

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tìm tham số m để bất phương trình có nghiệm

I. Bài tập tham khảo có hướng dẫn
II. Bài tập tự rèn luyện củng cố kiến thức

Tìm m để bất phương trình có nghiệm môn Toán lớp 10 vừa được VnDoc.com tổng hợp và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng phân tích các phương pháp giải quyết bài toán tìm m, cách xác định điều kiện để bất phương trình có nghiệm, đồng thời làm quen với các ví dụ minh họa cụ thể để áp dụng vào bài tập. Bài viết được tổng hợp các dạng bài tập và hướng dẫn chi tiết về bất phương trình phổ biến trong các kì thi, bài kiểm tra trong chương trình trọng tâm Toán 10 nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, nâng cao kĩ năng tư duy bài tập. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả!

Tìm m để bất phương trình có nghiệm

A. Bài tập tham khảo Tìm m để bất phương trình có nghiệm có hướng dẫn

Bài 1: Tìm m để bất phương trình x² - 2(m + 1) + m² + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1].

Hướng dẫn giải:

Đặt x² - 2(m + 1) + m² + 2m ≤ 0

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1]

Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn:

${{x}_{1}}\le 1<2\le {{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}kf(0)\le 0 \\kf(1)\le 0 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{m}^{2}}+2m\le 0 \\{{m}^{2}}-1\le 0 \\\end{matrix}\Leftrightarrow -1\le m\le 0 \right.$

Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.

Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2)x² - 2mx + m² + 2m ≤ 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:

(1) ⇔ 4x + 4 <0 ⇔ x < -1

Bất phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: Với m < -2

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :

$\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2>0\Leftrightarrow \left| m \right|>\sqrt{2}\Leftrightarrow$

Vậy với |m| < $\sqrt{2}$ thì bất phương trình có nghiệm.

Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m²x + 3 < mx + 4.

Hướng dẫn giải:

Bất phương trình tương đương với: m²x - mx < 4 ⇔ (m² - m)x < 1; m² - m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x .

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Với m² - m ≠ 0 ⇔ m ≠ {0; 1} thì bất phương trình trở thành luôn có nghiệm là

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.

Bài 4: Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m² + 1)x² + (2m - 1)x - 5 < 0. Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix}f(-1)\le 0 \\f(1)\le 0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{m}^{2}}-2m-3\le 0 \\{{m}^{2}}+2m-5\le 0 \\\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}-1\le m\le 3 \\-\sqrt{6}\le m\le \sqrt{6}-1 \\\end{matrix} \right.$

⇔ -1 ≤ m ≤ $\sqrt 6$ - 1

Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m ∈ (-1; $\sqrt{6}$ - 1)

Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x: (m + 4)x² - 2mx + 2m - 6 < 0.

Hướng dẫn giải:

+ Với m = - 4 thì bất phương trình trở thành: 8x - 14 < 0, ∀x (loại)

+ Với

$\Rightarrow\left\{ \begin{matrix}m<-4 \\m\in (-\infty ,-4)\cup (6,+\infty ) \\\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow m<-4$

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4.

Bài 6: Cho bất phương trình: x² + 4x + 3 + m ≤ 0

a. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm.

b. Tìm m để bất phương trình có đúng một nghiệm.

c. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Hướng dẫn giải

a. Bất phương trình vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 ⇔ 1 - m < 0 ⇔ m > 1

Vậy m > 1 thì bất phương trình vô nghiệm.

b. Bất phương trình có đúng một nghiệm. ⇔ Δ' = 0 ⇔ 1 - m = 0 ⇔ m = 1

Vậy m = 1 bất phương trình có đúng một nghiệm

c. Để bất phương trình có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 2 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x, x’ thỏa mãn điều kiện:

$\begin{align} & \left| x-x' \right|=2 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta '>0 \\ \left| \dfrac{\sqrt{\Delta }}{a} \right|=2 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1-m>0 \\ \sqrt{1-m}=2 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow m=-3 \right. \\ \end{align}$

Vậy m = -3 thì bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Bài 7: Tìm m để bất phương trình: x⁴ + 2mx² + m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x.

Hướng dẫn giải

Đặt t = x², t ≥ 0

Khi đó bất phương trình trở thành:

f(t) = t² +2mt + m ≥ 0 (*) ⇒Δ' = m² - m

Trường hợp 1: Δ' ≤ 0 ⇔ m² - m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1

Khi đó (*) luôn đúng.

Trường hợp 2: Nếu Δ' > 0, điều kiện là phương trình f(t) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: t₁ < t₂ ≤ 0

Tóm lại ta cần suy ra như sau: $\left\{ \begin{matrix} \Delta '>0 \\ a.f(0)\ge 0 \\ \dfrac{S}{2}<0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}-m>0 \\ m\ge 0 \\ -m<0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>1$

Vậy m ≥ 0 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị x.

Bài 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình (m² - 4)x²+ (m - 2)x + 1 < 0 vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét m² - 4 = 0 ⇔ m = ± 2

Với m = -2, bất phương trình trở thành $x > \frac{1}{4}$ : không thỏa mãn.

Với m = 2, bất phương trình trở thành 1 < 0 (vô nghiệm).

Do đó m = 2 thỏa mãn.

Xét m ≠ ± 2. Yêu cầu bài toán:

(m² -4)x²+ (m - 2)x + 1 ≥ 0; $\forall x\mathbb{\in R}$ $\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 4 > 0 \\ \Delta = (m - 2)^{2} - 4\left( m^{2} - 4 \right) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \leq - \dfrac{10}{3} \\ m > 2 \\ \end{matrix} \right.$

Kết hợp hai trường hợp, ta được $m \leq - \frac{10}{3}$ hoặc m ≥ 2.

Bài 9. Tìm các giá trị của m để các biểu thức sau luôn âm:

a) f(x) = mx² - x - 1.

b) g(x) = (m - 4)x² + (2m - 8)x + m - 5.

Hướng dẫn giải

a. Với m = 0 thì f(x) = -x - 1 lấy cả giá trị dương (chẳng hạn f(-2) = 1) nên m = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m ≠ 0 thì f(x) = mx² - x - 1 là tam thức bậc hai do đó $f(x) < 0,\ \ \forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = m < 0 \\ \Delta = 1 + 4m < 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 0 \\ m > - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < m < 0 \right.$

Vậy với $- \frac{1}{4} < m < 0$ thì biểu thức f(x) luôn âm.

b. Với m = 4 thì g(x) = -1 < 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m ≠ 4 thì g(x) = (m - 4)x² + (2m - 8)x + m - 5 là tam thức bậc hai do đó:

$g(x) < 0,\ \ \forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = m - 4 < 0 \\ \Delta' = m - 4 < 0 \\ \end{matrix} \right.$ ⇔ m ≤ 4

Vậy với m ≤ 4 thì biểu thức g(x) luôn âm.

Bài 10. Tìm giá trị của tham số m để g(x) = (2m² + m - 6)x² + (2m - 3)x - 1 không dương.

Hướng dẫn giải

Xét $2m^{2} + m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 2 \\ m = \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.$

+) $m = - 2 \Rightarrow g(x) = - 7x - 1 > 0 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{7}$ (không thỏa mãn yêu cầu bài toán)

+) $m = \frac{3}{2} \Rightarrow g(x) = 0$ (không thỏa mãn)

Xét $2m^{2} + m - 6 \neq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq - 2 \\ m \neq \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.$ :

$g(x) \leq 0,\ \ \forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2m^{2} + m - 6 < 0 \\ \Delta' = 12m^{2} - 8m - 15 \leq 0 \\ \end{matrix} \right.$

$2m^{2} + m - 6 \neq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq - 2 \\ m \neq \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.$

Bài 11. Tìm các giá trị của tham số m để biểu thức sau luôn dương:

$h(x) = \frac{- x^{2} + 4(m + 1)x + 1 - 4m^{2}}{- 4x^{2} + 5x - 2}$

Hướng dẫn giải

Tam thức -4x² + 5x - 2 có a = -4 < 0; Δ = -7 < 0

suy ra 4x² + 5x - 2 < 0 với mọi x

Do đó h(x) luôn dương khi và chỉ khi h'(x) = -x² + 4(m +1)x + 1 - 4m² luôn âm

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 < 0 \\ \Delta' = 4(m + 1)^{2} + \left( 1 - 4m^{2} \right) < 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow 8m + 5 < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{5}{8}$

Vậy với $m < - \frac{5}{8}$ thì biểu thức h(x) luôn dương.

Bài 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình (2m² - 3m - 2)x² + 2(m - 2)x - 1 ≤ 0 có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ .

Hướng dẫn giải

Xét $2m^{2} - 3m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$ hoặc m = 2

Khi $m = - \frac{1}{2}$ thì bất phương trình trở thành $x \geq - \frac{1}{5}$ nên không có nghiệm đúng với mọi x.

hi m = 2 thì bất phương trình trở thành $- 1 \leq 0$ nên có nghiệm đúng với mọi x.

Khi $\left\{ \begin{matrix} m \neq - \dfrac{1}{2} \\ m \neq 2 \\ \end{matrix} \right.$ thì yêu cầu bài toán ⇔ (2m² - 3m - 2)x² + 2(m - 2)x - 1 ≤ 0 $\forall x\mathbb{\in R}$ $\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' \leq 0 \\ a < 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3m^{2} - 7m + 2 \leq 0 \\ 2m^{2} - 3m - 2 < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{3} \leq m \leq 2 \\ - \frac{1}{2} < m < 2 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq m < 2 \right.$

Kết hợp hai trường hợp ta được $\frac{1}{3} \leq m \leq 2$ là giá trị cần tìm.

Bài 13: Phương trình x² + 2(m + 2)x - 2m - 1 = 0 (với m là tham số) có nghiệm khi

A. $\left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} \right.\ .$ B. $- \ 5 \leq m \leq - \ 1.$

C. $\left\lbrack \begin{matrix} m < - \ 5 \\ m > - 1 \\ \end{matrix} \right.\ .$ D. $\left\lbrack \begin{matrix} m \leq - \ 5 \\ m \geq - \ 1 \\ \end{matrix} \right.\ .$

Hướng dẫn giải

Xét phương trình x² + 2(m + 2)x - 2m - 1 = 0 có ${\Delta'}_{x} = (m + 2)^{2} + 2m + 1.$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \ \ {\Delta'}_{x} \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} + 4m + 4 + 2m + 1 \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} + 6m + 5 \geq 0$

$\Leftrightarrow (m + 1)(m + 5) \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq - \ 1 \\ m \leq - \ 5 \\ \end{matrix} \right.$ là giá trị cần tìm.

Bài 14: Phương trình mx² - (3m + 2)x + 1 = 0, với m là tham số:

A. Luôn có hai nghiệm với mọi giá trị m.

B. Vô nghiệm với mọi giá trị m.

C. Luôn có nghiệm với mọi giá trị m.

D. Luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị m.

Hướng dẫn giải

Với phương trình trở thành $- 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ suy ra phương trình có nghiệm

Với $m \neq 0$ , ta có Δ = (3m + 2)²- 4m = 9m² + 8m + 4

Vì tam thức 9m² + 8m + 4 có $a_{m} = 9 > 0,\ \ \Delta'_{m} = - 20 < 0$ nên 9m² + 8m + 4 > 0 với mọi m

Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 15: Cho bất phương trình: $x^{2} + 2|x + m| + 2mx + 3m^{2} - 3m + 1 < 0$ . Để bất phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số là:

A. $- 1 < m < - \frac{1}{2}$ . B. $- 1 < m < \frac{1}{2}$ .

C. $- \frac{1}{2} < m < 1$ . D. $\frac{1}{2} < m < 1$ .

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:

x² + 2|x + m| + 2mx + 3m²- 3m + 1 < 0

⇔ (x + m)²+ 2|x + m| + 2m²- 3m + 1 < 0

$\Leftrightarrow \left( |x + m| + 1 \right)^{2} < - 2m^{2} + 3m$ có nghiệm khi và chỉ khi $- 2m^{2} + 3m > 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} < m < 1$

Bài 16: Tìm giá trị của tham số a để bất phương trình x² + 4x ≤ a(|x + 2| + 1) có nghiệm?

A. Với mọi . B. Không có . C. a ≥ -4. D. a ≤ -4..

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

x² + 4x ≤ a(|x + 2| + 1)

$\Leftrightarrow (x + 2)^{2} - a|x + 2| - a - 4 \leq 0$

$\Leftrightarrow (x + 2)^{2} - a|x + 2| + \frac{a^{2}}{4} \leq \frac{a^{2}}{4} + a + 4$

$\Leftrightarrow \left( |x + 2| - \frac{a}{2} \right)^{2} \leq \frac{a^{2}}{4} + a + 4$

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi $\frac{a^{2}}{4} + a + 4 \geq 0$ luôn đúng với $\forall a$ .

Bài 17: Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{matrix}x^{2} - 3x - 4 \leq 0 \\x^{3} - 3|x|x - m^{2} + 6m \geq 0\end{matrix} \right.$ . Để hệ có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

A. 2 ≤ m ≤ 8. B. -8 ≤ m ≤ 2.

C. -2 ≤ m ≤ 8. D. -8 ≤ m ≤ -2.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có $x^{2} - 3x - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq x \leq 4$ .

Trường hợp 1: $x \in \lbrack 0;4\rbrack$ , bất phương trình hai trở thành;

$x^{3} - 3x^{2} - m^{2} + 6m \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6m \leq x^{3} - 3x^{2}$ , mà $x^{3} - 3x^{2} \leq 16\ \ \forall x \in \lbrack 0;4\rbrack$

Suy ra $\Leftrightarrow m^{2} - 6m \leq 16 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 8$ .

Trường hợp 2: $x \in \lbrack - 1;0)$ , bất phương trình hai trở thành;

$x^{3} + 3x^{2} - m^{2} + 6m \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6m \leq x^{3} + 3x^{2}$ , mà $x^{3} - 3x^{2} \leq 2\ \ \forall x \in \lbrack - 1;0)$

Suy ra $\Leftrightarrow m^{2} - 6m \leq 2 \Leftrightarrow 3 - \sqrt{11} \leq m \leq 3 + \sqrt{11}$ .

Vậy -2 ≤ m ≤ 8 thì hệ bất phương trình đã cho có nghiệm.

-------------------------------------------

FAQ – Tìm m Để Bất Phương Trình Có Nghiệm

1. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là dạng toán gì?

Đây là dạng toán chứa tham số thường gặp trong chương trình Toán 10. Nhiệm vụ của học sinh là xác định các giá trị của tham số m để bất phương trình có ít nhất một nghiệm thỏa mãn điều kiện của đề bài.

Dạng toán này giúp rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số và phân tích điều kiện nghiệm.

2. Vì sao cần xét tham số m trong bất phương trình?

Tham số m ảnh hưởng trực tiếp đến tập nghiệm của bất phương trình. Khi thay đổi giá trị của m, số nghiệm và khoảng nghiệm của bất phương trình cũng có thể thay đổi.

Do đó, việc tìm m là bước quan trọng để xác định khi nào bất phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc đúng với mọi giá trị của biến.

3. Có những phương pháp nào để tìm m để bất phương trình có nghiệm?

Một số phương pháp thường dùng gồm:

Xét điều kiện của bất phương trình.
Biến đổi về dạng tương đương.
Sử dụng bảng xét dấu.
Xét đồ thị hàm số.
Áp dụng điều kiện về biệt thức Delta đối với biểu thức bậc hai.

Tùy từng dạng bài mà học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp.

Tải về

Chọn file muốn tải về: